高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.4 两条直线的平行与垂直学案及答案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.4 两条直线的平行与垂直学案及答案，共9页。

知识点一 互相平行的两条直线斜率之间的
关系
设两条不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时分别为k1，k2，则对应关系如下：
答案：k1＝k2 斜率都不存在
知识点二 相互垂直的两条直线斜率之间的关系
答案：k1·k2＝－1 不存在
[重点理解]
1．关于两条直线平行的理解
(1)利用k1＝k2⇔l1∥l2是否平行，可判断两直线的斜率是否相等，也可判断两直线的倾斜角是否相等．在利用k1＝k2来判定l1与l2平行时，一定要注意斜率是否存在，但利用倾斜角相等来判定两直线平行时，则无需讨论．
2．关于两条直线垂直的理解
(1)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：两直线的斜率均存在且均不为0.
(2)斜率同时存在的两条直线，若k1·k2≠－1，则两直线l1与l2一定不垂直．
(3)两条直线中，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．这样，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条斜率不存在，另一条斜率等于零．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴．()
(2)斜率相等的两条直线一定平行．()
(3)若k1·k2≠－1，则两直线必不垂直．(√)
(4)如果两直线垂直，则这两直线的斜率k1，k2满足k1·k2＝－1.()
2．过点A(m,1)，B(－1，m)的直线与过点P(1,2)，Q(－5,0)的直线垂直，则m＝________.
答案：－2
3．与直线x－2y－3＝0平行，且在y轴上的截距等于－3的直线的方程为________．
答案：x－2y－6＝0
研习1 两条直线平行与垂直的判定
[典例1] 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由．
(1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0；
(2)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0；
(3)l1：x＝2，l2：x＝4；
(4)l1：y＝－3，l2：x＝1.
(1)[解] 将两直线方程分别化为斜截式：l1：y＝－eq \f(3,5)x＋eq \f(6,5)，l2：y＝－eq \f(3,5)x－eq \f(3,10).
则k1＝－eq \f(3,5)，b1＝eq \f(6,5)，k2＝－eq \f(3,5)，b2＝－eq \f(3,10).∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2.
(2)[解] 将两直线方程分别化为斜截式：l1：y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(7,3)，l2：y＝－2x＋2.则k1＝eq \f(1,2)，k2＝－2.
∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2.
(3)[解] 由方程知l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两直线在x轴上的截距不相等，则l1∥l2.
(4)[解] 由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2.
[巧归纳] 已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法：
(1)若两直线l1与l2的斜率均存在，当k1·k2＝－1时，l1⊥l2；当k1＝k2，且它们在y轴上的截距不相等时，l1∥l2.
(2)若两直线斜率均不存在，且在x轴的截距不相等，则它们平行．
(3)若有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则它们垂直．
[练习1]直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是 ( )
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
答案：D
解析：设方程x2－3x－1＝0的两根为x1，x2，则x1x2＝－1，∴直线l1，l2的斜率k1k2＝－1，故l1与l2垂直.
研习2 利用两直线的位置关系求参数的值
[典例2] (2022甘肃会宁二中模拟)已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0.
(1)若l1⊥l2，求m的值；
(2)若l1∥l2，求m的值．
(1)[解] ∵直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，由l1⊥l2 ，可得 1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝eq \f(1,2).
(2)[解] 由题意可知m不等于0，由l1∥l2 可得eq \f(m－2,1)＝eq \f(3,m)≠eq \f(2m,8)，解得 m＝－1.
[巧归纳] 利用直线的位置关系求参数的思路：对于已知两直线平行或垂直求解参数的相关问题，首先需考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依斜率间的关系求解；若斜率不存在，则需注意特殊情形．此外，求解垂直问题时，还需注意斜率是否为零．
[练习2]若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y－2＝0互相垂直，则a的值为( )
A．1 B．－eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D．－2
答案：D
解析：由题意，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))×(－1)＝－1，a＝－2.
研习3 利用两直线平行或垂直求解直线方程
[典例3] 已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求：
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
(1)[解] 方法一：由l：3x＋4y－20＝0，得kl＝－eq \f(3,4).设过A点且平行于l的直线为l1，则kl1＝kl＝－eq \f(3,4)，所以l1的方程为y－2＝－eq \f(3,4)(x－2)，即3x＋4y－14＝0.
(2)[解] 设过点A与l垂直的直线为l2.因为kl·kl2＝－1，所以kl2＝eq \f(4,3)，故直线l2的方程为y－2＝eq \f(4,3)(x－2)，即4x－3y－2＝0.
方法二：(1)设过点A且平行于直线l的直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0.由点A(2,2)在直线l1上，得3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14，故直线l1的方程为3x＋4y－14＝0.
(2)设l2的方程为4x－3y＋m＝0.因为l2经过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2，故l2的方程为4x－3y－2＝0.
[巧归纳] 过点A(x0，y0)且与直线Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程的求法有两种：
(1)先求斜率(斜率存在时)，再用点斜式求直线方程．
(2)与Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程设为Ax＋By＋m＝0或Bx－Ay＋m＝0，再利用所求直线过点A(x0，y0)求出m，便可得到直线方程．
[练习3]直线l垂直于直线y＝x＋1，且l在y轴上的截距为eq \r(2)，则直线l的方程是( )
A．x＋y－eq \r(2)＝0
B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋eq \r(2)＝0
答案：A
解析：方法一：因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的斜率为－1，又l在y轴上截距为eq \r(2)，所以所求直线l的方程为y＝－x＋eq \r(2)，即x＋y－eq \r(2)＝0.
方法二：将直线y＝x＋1化为一般式x－y＋1＝0，因为直线l垂直于直线y＝x＋1，可以设直线l的方程为x＋y＋c＝0，令x＝0，得y＝－c，又直线l在y轴上截距为eq \r(2)，所以－c＝eq \r(2)，即c＝－eq \r(2)，所以直线l的方程为x＋y－eq \r(2)＝0.
研习4 直线平行、垂直关系的综合应用
[典例4] 已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判断▱ABCD是否为菱形．
(1)[解] 设D(a，b)，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴kAB＝kCD，kAD＝kBC，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(0－2,5－1)＝\f(b－4,a－3)，,\f(b－2,a－1)＝\f(4－0,3－5)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝6，))∴D(－1,6)．
(2)[解] ∵kAC＝eq \f(4－2,3－1)＝1，kBD＝eq \f(6－0,－1－5)＝－1，∴kAC·kBD＝－1，∴AC⊥BD.∴▱ABCD为菱形．
[巧归纳] 1.利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论．
2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
[练习4]已知△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
解：若∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(1＋1,1－5)＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即eq \f(1＋1,1－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，得m＝±2.
综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.
1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是 ( )
A．2x－3y＋5＝0 B．2x－3y＋8＝0
C．3x＋2y－1＝0 D．3x＋2y＋7＝0
答案：C
解析：设直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，将点(－1,2)代入，得－3＋4＋c＝0，∴c＝－1，∴直线l的方程为3x＋2y－1＝0，故选C.
2．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
答案：C
解析：kAB＝eq \f(－1－1,2＋1)＝－eq \f(2,3)，kAC＝eq \f(4－1,1＋1)＝eq \f(3,2)，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．
3．若直线2ay－1＝0与直线(3a－1)x＋y－1＝0平行，则实数a的值是________．
答案：eq \f(1,3)
解析：因为两直线平行，所以3a－1＝0，即a＝eq \f(1,3).
4．经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
答案：eq \f(14,5)
解析：由已知，得eq \f(m－3,2－m)×(－4)＝－1，解得m＝eq \f(14,5).
[误区警示]
忽略斜率不存在情况致错
[示例] 已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
[错解] 由斜率公式，得
kAB＝eq \f(4－2,－2m－4－－m－3)＝eq \f(2,－m＋1)，
kCD＝eq \f(3m＋2－m,3－－m)＝eq \f(2m＋1,m＋3).
∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，
即eq \f(2,－m＋1)·eq \f(2m＋1,m＋3)＝－1，
解得m＝1.∴m的值为1.
[错因分析] 两直线垂直⇔k1k2＝－1的前提条件是k1，k2均存在且不为零，本题出错的原因是忽视了前提条件，这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论．
[正解] ∵A，B两点纵坐标不相等，
∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，
∴CD与x轴不垂直，－m≠3，即m≠－3.
①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.
而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，
∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式
kAB＝eq \f(4－2,－2m－4－－m－3)＝eq \f(2,－m＋1)，
kCD＝eq \f(3m＋2－m,3－－m)＝eq \f(2m＋1,m＋3).
∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，
即eq \f(2,－m＋1)·eq \f(2m＋1,m＋3)＝－1，解得m＝1，
综上，m的值为1或－1.
[题后总结] (1)直线l1与l2垂直的条件有两种形式：一是A1A2＋B1B2＝0，适用于任何直线；二是k1k2＝－1，仅适用于斜率都存在的两条直线．(2)若两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1或其中一条直线斜率不存在，另一条直线的斜率为0.
新课程标准
新学法解读
能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
1.结合教材实例理解直线平行或垂直的判定条件．
2．结合教材实例会利用斜率解决与两条直线平行或垂直相关的问题．
3．会用斜率判定两条直线的位置关系，能利用斜率解决相关问题.
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应条件
l1∥l2⇔________
l1∥l2⇔两直线
________
图示
对应
关系
l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔________
l1与l2中的一条斜率________，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示