北师大版高中数学选择性必修第一册2-2-1双曲线及其标准方程学案

§2　双曲线

 2.1　双曲线及其标准方程

[笔记教材]

知识点一　双曲线的定义

答案：距离之差的绝对值　定点F1，F2　距离　||MF1|－|MF2||＝2a

知识点二　双曲线的标准方程

答案：－＝1(a>0，b>0)　(0，－c)　(0，c)　2c　a2＋b2

[重点理解]

1．对双曲线定义的理解

设双曲线上的点M到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a，则“0<2a<|F1F2|”这一条件不能忽略．否则，①若2a＝|F1F2|，则点M的轨迹是分别以F1，F2为端点且在直线F1F2上的两条射线；②若2a>|F1F2|，则点M的轨迹不存在；③若2a＝0，则点M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．

2．关于双曲线标准方程的四点说明

(1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．

(2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．

(3)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示．这个三角形就是双曲线的特征三角形．

(4)M(x，y)为双曲线－＝1(a>0，b>0)上的任意一点，左、右焦点分别为F1，F2.若点M在双曲线的右支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a；若点M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a. 因此得到|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆的定义中|MF1|＋|MF2|＝2a是不同的．

[自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()

(2)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.()

(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.()

2．(2022浙江舟山模拟)已知平面中的两点F1(－2，0)，F2(2,0)，则满足{M|||MF1|－|MF2||＝1}的点M的轨迹是(　　)

A．椭圆   B．双曲线

C．一条线段   D．两条射线

答案：B

3．(2022黑龙江大庆实验中学模拟)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)

A．2   B．4

C．6   D．10

答案：C

4．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．

答案：－＝1或－＝1.

5．(2022四川泸县第二中学月考)已知点A(0,2)，B(0，－2)，C(3,2)，若动点M(x，y)满足|MA|＋|AC|＝|MB|＋|BC|，则点M的轨迹方程为________________．

答案：y2－＝1(y≤－1)

研习1  待定系数法求双曲线的标准方程　　　　　　　　　　　　　　　

[典例1]　(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－4)和，求双曲线的标准方程．

(2)求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线方程．

[解]　(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得

∴双曲线的标准方程为－＝1.

(2)方法一：设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，

由题意易求得c＝2.

又双曲线过点(3，2)，

∴－＝1.

又∵a2＋b2＝(2)2，

∴a2＝12，b2＝8.

故所求双曲线方程为－＝1.

方法二：设双曲线方程为－＝1(－4<k<16)，

将点(3，2)代入得k＝4，

∴所求双曲线方程为－＝1.

[巧归纳]　待定系数法求双曲线的标准方程的步骤

(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．

(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：

①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．

②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2<k<a2)．

(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．

(4)结论：写出双曲线的标准方程．

[练习1]根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)；

(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．

(1)解：椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，

故可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．

由题意，知解得

故双曲线的方程为－＝1.

(2)解：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，

因为双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，

所以解得

所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

研习2  定义法求双曲线的标准方程

[典例2]　已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．

[解]　如图，设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，

∴|MC1|－|MC2|＝2.

又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，

∵2＜|C1C2|.

根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．

∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，

∴点M的轨迹方程是－＝1(x≥ )．

[巧归纳]　求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．

[练习2](2022江苏南京天印高级中学月考)(多选题)已知点P在双曲线－＝1上，F1，F2分别是左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列判断正确的有(　　)

A．点P到x轴的距离为

B．PF1＋PF2＝

C．△PF1F2为钝角三角形

D．∠F1PF2＝

答案：BC

解析：由双曲线方程得a＝4，b＝3，则c＝5，

由△PF1F2的面积为20，

得×2c×|yP|＝×10|yP|＝20，

得|yP|＝4，即点P到x轴的距离为4，故A错误；

将|yP|＝4代入双曲线方程得|xP|＝，

根据对称性不妨设P，

则|PF2|＝＝，

由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，

则|PF1|＝8＋＝，

则|PF1|＋|PF2|＝＋＝，故B正确；

在△PF1F2中，|PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝，

则kPF2＝＝>0，∠PF2F1为钝角，则△PF1F2为钝角三角形，故C正确；

cos∠F1PF2＝

＝

＝

＝1－

＝1－≠，

则∠F1PF2＝错误，即D错误．

故选BC.

研习3  双曲线的定义及标准方程的应用

[典例3]　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．

[解]　由双曲线方程－＝1，可知a＝3，b＝4，c＝＝5.

由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a＝±6，将此式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.

如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝0，

∴∠F1PF2＝90°，

∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.

[巧归纳]　求双曲线中焦点三角形面积的方法

(1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a.

②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式．

③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值．

④利用公式S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积．

(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．

[练习3](2022江苏无锡第一中学检测)(多选题)已知A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是　　(　　)

A．爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上

B．爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上

C．若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为米

D．若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B监测点的距离为680米

答案：BD

解析：依题意，A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒．

设爆炸点为C，则|CA|－|CB|＝340×2＝680<800，

所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上．

所以A选项错误，B选项正确．

若B监测点的声强是A监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，

所以＝4，即|CA|＝2|CB|，

结合|CA|－|CB|＝680可得|CB|＝680.

所以C选项错误，D选项正确．

故选BD.

1．(2022河北廊坊检测)已知定点M(－ 2，a)，N(2，a)，a为常数，且|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　　)

A．一条射线   B．椭圆

C．双曲线   D．双曲线的一支

答案：D

解析：根据题意，动点P到两个定点M和N的距离之差为定值，且该定值小于M，N的距离，

故动点P的轨迹方程是以M和N为焦点的双曲线，

又因为|PM|－|PN|＝2，故只是双曲线上靠近焦点N的一支．

故选D.

2．(2022浙江检测)双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点在P双曲线上，若|PF1|＝5，则|PF2|＝(　　)

A．1   B．9

C．1或9   D．7

答案：B

解析：双曲线－＝1的a＝2，b＝2，c＝＝4.若点在P双曲线的右支上，可得|PF1|≥a＋c＝6；若点在P双曲线的左支上，可得|PF1|≥c－a＝2.由|PF1|＝5可得P在双曲线的左支上，可得|PF2|－|PF1|＝2a＝4，即有|PF2|＝5＋4＝9.故选B.

3．(2022河北枣强中学检测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.若双曲线上存在点A使得∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝2|AF2|＝4，则双曲线的方程为(　　)

A．x2－＝1    B.－y2＝1

C.－＝1   D.－＝1

答案：A

解析：由题意，根据双曲线的定义及|AF1|＝2|AF2|＝4，可得|AF1|－|AF2|＝|AF2|＝2＝2a，解得a＝1，

因为∠F1AF2＝90°，

所以|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2＝20，即(2c)2＝20，即c2＝5，

又b2＋a2＝c2，则b2＝c2－a2＝4，

所以双曲线的方程为x2－＝1.

故选A.

4．(2022北京八十中开学考试)“m<8”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：若方程－＝1表示双曲线，则(m－10)(m－8)>0⇒m<8或m>10，

所以“m<8”是“方程－＝1表示双曲线”的充分而不必要条件．

故选A.

[误区警示]

忽略双曲线焦点的位置致错

[示例]　若方程＋＝3表示双曲线，则实数m的取值范围是_________________________．

[错解]　由题意，方程可化为－＝3，

∴解得m<－2.

[正解]　由方程＋＝3表示双曲

线，得或

即或

解得1<m<2或m<－2.

[答案]　(－∞，－2)∪(1,2)

[易错警示]　本题错解只考虑了焦点在y轴上的情况．在求解有关双曲线标准方程的问题时，一定要明确焦点所在的坐标轴，若不能确定，则需要分类讨论或者使用一般方程进行求解．