高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4. 1 直线的方向向量与平面的法向量学案设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4. 1 直线的方向向量与平面的法向量学案设计，共10页。


[笔记教材]
知识点一 直线的方向向量与直线的向量
表示
(1)用向量表示直线的位置
(2)直线l的向量表示
点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，存在实数t，一定使得eq \(MP,\s\up6(→))＝________.
答案：(1)方向向量 teq \(AB,\s\up6(→)) (2)ta
知识点二 平面的法向量及其向量表示
(1)用向量表示平面的位置
(2)平面的向量表达式
设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有________．
答案：(1)方向向量n (2)eq \(MP,\s\up6(→))·n＝0
[重点理解]
1．对直线的方向向量的理解
(1)在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备两个条件：
①不能为零向量；②表示方向向量的有向线段所在的直线与该直线平行或重合．
(2)一条直线的方向向量有无数个．
(3)直线的方向向量是空间中直线向量表示的关键量，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定，也就是说，给定空间直线上一点A和直线的方向向量a，就可以确定唯一一条过点A的直线．
2．对平面的法向量的理解
(1)平面的法向量为非零向量．
(2)平面的法向量与平面内的任一向量垂直，即平面的法向量与平面内任一向量的数量积为0.
(3)一个平面的法向量有无数个，它们相互共线．
(4)确定平面有两种方法，一是由一定点和两个基向量确定；二是由一定点和一法向量确定．今后用得较多的是法向量．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)直线l的方向向量是唯一的．()
(2)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(√)
(3)一个平面的所有法向量互相平行．(√)
(4)如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直．(√)
(5)如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．()
2．已知直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，下列关系中能表示l∥α的是( )
A．a＝eq \(OA,\s\up6(→)) B．a＝keq \(OB,\s\up6(→))
C．a＝peq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→)) D．以上均不能
答案：D
3．已知l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可用顶点表示的平面A1B1C1D1的法向量有( )
A．1个 B．4个
C．12个 D．8个
答案：D
5．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，当l∥α时，一定有________(填a与b的位置关系)．
答案：a⊥b
研习1 求直线的方向向量
[典例1] (2022上海专题检测)直线4x－3y＋10＝0的单位方向向量是________．
[答案] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))
[解析] 直线4x－3y＋10＝0的斜率k＝eq \f(4,3)，所以直线4x－3y＋10＝0的一个方向向量为d＝(3,4)，所以直线4x－3y＋10＝0的单位方向向量是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，故答案为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).
[巧归纳] 求直线的方向向量的方法
(1)已知直线l：ax＋by＋c＝0，则直线l的方向向量为(－b，a)或(b，－a)．
(2)若直线l的斜率为k，则l的一个方向向量为(1，k)．
(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB所在直线的一个方向向量为(x2－x1，y2－y1)．
[练习1]直线y＝2x＋3的一个方向向量是______________．
答案：(1,2)(答案不唯一)
解析：由题意，直线方程y＝2x＋3的斜率k＝2，所以直线y＝2x＋3的一个方向向量为v＝(1,2)．故答案为(1,2).
研习2 直线的方向向量的应用
[典例2] (2022广东中山华侨中学模拟)两直线eq \f(x－1,1)＝eq \f(y,－2)＝eq \f(z＋4,7)和eq \f(x＋6,5)＝eq \f(y－2,1)＝eq \f(z－3,－1)的夹角的余弦是( )
A．－eq \f(2\r(2),27) B．eq \f(2\r(2),27)
C．eq \f(\r(2),27) D．－eq \f(\r(2),27)
[答案] B
[解析] 由题意两直线的方向向量分别为m＝(1，－2,7)，n＝(5,1，－1)，cs〈m，n〉＝eq \f(m·n,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n)))＝eq \f(5－2－7,\r(1＋4＋49)·\r(25＋1＋1))＝－eq \f(2\r(2),27)，∵两直线夹角为锐角或直角，∴所求余弦值为eq \f(2\r(2),27).故选B．
[巧归纳] 本题考查求空间两直线的夹角．求出两直线的方向向量，由方向向量的夹角与两直线夹角相等或互补求解，需确定两直线夹角的范围，否则易错．
[练习2](教材改编题)已知两条空间直线a，b的夹角为60°，a，b分别为直线a，b的方向向量，则〈a，b〉＝______.
答案：60°或120°
解析：因为两条空间直线a，b的夹角为60°，且a，b分别为直线a，b的方向向量，所以〈a，b〉＝60°或120°.故答案为60°或120°.
研习3 求平面的法向量
[典例3] 如图，在单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的法向量是( )
A．(1,1,1) B．(－1,1,1)
C．(1，－1,1) D．(1,1，－1)
[答案]A
[解析] 如图，在单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点，eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B(1，1,0)，C1(0,1,1)，
eq \(BA1,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq \(BC1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，设平面A1BC1的法向量是n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BA1,\s\up6(→))＝－y＋z＝0，,n·\(BC1,\s\up6(→))＝－x＋z＝0，)))取x＝1，得n＝(1,1,1)，∴平面A1BC1的法向量是(1,1,1)．故选A．
[巧归纳] 求平面法向量的步骤
(1)选向量，选取平面内两个相交向量eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→)).
(2)设坐标，设法向量为n＝(x，y，z)．
(3)解方程，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AC,\s\up6(→))＝0，,n·\(BC,\s\up6(→))＝0))求解．
(4)得结论．
[练习3](2022江苏南京第十四中学月考)(多选题)已知A(－4,6，－1)，B(4,3,2)，则下列各向量中是平面AOB(O是坐标原点)的一个法向量的是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,4)，1，9)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,4)，1，－9))
C．(－15,4,36) D．(15,4，－36)
答案：BD
解析：设平面AOB(O是坐标原点)的法向量是u＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(u·\(OA,\s\up6(→))＝0，,u·\(OB,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x＋6y－z＝0，,4x＋3y＋2z＝0，))得9y＋z＝0，令y＝1，解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(15,4)，,y＝1，,z＝－9，))令y＝4，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝15，,y＝4，,z＝－36，))
故u＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15,4)，1，－9))或u＝(15,4，－36)．故选BD．
研习4 平面法向量的应用
[典例4] 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，即x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)，且法向量为m＝(－1，－2,1)的平面的方程为____________．
[答案] x＋2y－z－2＝0
[解析] 根据法向量的定义，若m为平面α的法向量，则m⊥α，任取平面α内一点P(x，y，z)，则eq \(PA,\s\up6(→))⊥m，∵eq \(PA,\s\up6(→))＝(1－x,2－y,3－z)，m＝(－1，－2,1)，∴(x－1)＋2(y－2)＋(3－z)＝0，即x＋2y－z－2＝0.故答案为x＋2y－z－2＝0.
[巧归纳] 类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．由于平面向量与空间向量的坐标运算类似，因此可以利用求平面曲线方程的办法，通过构造向量，利用向量的运算确定空间平面方程．
[练习4](2022广东中山华侨中学模拟)空间坐标系中，过点P(2,1,1)且与直线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y＋z＋1＝0，,3x－2y－2z＋1＝0))垂直的平面方程为____________．
答案：8x＋5y＋7z－28＝0
解析：设两条直线的方向向量分别为e1＝(1，－3,1)，e2＝(3，－2，－2)，设所求平面的法向量为n＝(x，y，z)，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·e1＝0，,n·e2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y＋z＝0，,3x－2y－2z＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)y，,z＝\f(7,5)y，))令y＝5，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝8，,z＝7，))所以n＝(8,5,7)，故所求平面方程为8(x－2)＋5(y－1)＋7(z－1)＝0，即8x＋5y＋7z－28＝0.故答案为8x＋5y＋7z－28＝0.
1．下列命题正确的有( )
①直线的方向向量是唯一的；②经过点P(x0，y0)且与向量d＝(u，v)平行的直线l的点方向式方程为eq \f(x－x0,u)＝eq \f(y－y0,v)；③直线y＝10的一个方向向量是(1,0)．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案：B
解析：对于①中，由于直线的方向向量是不唯一的，所以①不正确；对于②中，只有当u≠0，v≠0时，经过点P(x0，y0)且与向量d＝(u，v)平行的直线l的点方向式方程为eq \f(x－x0,u)＝eq \f(y－y0,v)，所以②不正确；对于③中，直线y＝10的斜率为0，所以直线y＝10的一个方向向量可以是(1,0)，所以③是正确的．故选B．
2．(2022天津二中模拟)若直线l的方向向量为a＝(1，eq \r(3))，则直线l的斜率为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(\r(3),3) D．eq \r(3)
答案：D
解析：取坐标平面内两点O(0,0)和A(1，eq \r(3))，则a＝eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3))，则直线OA的斜率即为直线l的斜率，而kOA＝eq \r(3)，所以直线l的斜率为eq \r(3).故选D．
3．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若l1∥l2，则λ与μ的值可以分别是( )
A．2，eq \f(1,2) B．－eq \f(1,3)，eq \f(1,2)
C．－3,2 D．2,2
答案：A
解析：由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(λ＋1,6)＝\f(2,2λ)，,2μ－1＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2).))
4．(2022辽宁沈阳第二十七中学模拟)已知平面α上三点A(3,2,1)，B(－1,2,0)，C(4，－2，－1)，则平面α的一个法向量为( )
A．(4，－9，－16) B．(4,9，－16)
C．(－16,9，－4) D．(16,9，－4)
答案：B
解析：由已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4,0，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－4，－2)，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\(AC,\s\up6(→))＝0，)))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x－z＝0，,x－4y－2z＝0，))取x＝4，可得z＝－16，y＝9，所以平面α的法向量为n＝(4,9，－16)．故选B．
5．平面的法向量与平面中任意一个向量的夹角是________．
答案：90°
解析：平面的法向量垂直于平面中的任意向量，故夹角为90°.
[误区警示]
不理解向量夹角的概念致错
[示例] 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求：
(1)〈eq \(B1C,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))〉；
(2)〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(A1D,\s\up6(→))〉．
[错因分析] 本题易得错解：(1)〈eq \(B1C,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))〉＝45°；(2)〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(A1D,\s\up6(→))〉＝60°.原因是没有注意到将向量平移后，要确定在几何图形中所得的角是两向量的夹角，还是其补角.
[正解] (1)∵∠BB1C＝45°，∴〈eq \(B1C,\s\up6(→))，eq \(B1B,\s\up6(→))〉＝45°，
∴〈eq \(B1C,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq \(B1C,\s\up6(→))，eq \(B1B,\s\up6(→))〉＝135°.
(2)∵∠B1CA＝60°，∴〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CB1,\s\up6(→))〉＝60°，
∴〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(A1D,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CB1,\s\up6(→))〉＝120°.
[题后总结] 求空间中两个向量的夹角，要注意分析图形，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，但要注意转化后的向量的方向，确认所得的角是两向量的夹角，还是其补角．
新课程标准
新学法解读
1．能用向量语言描述直线和平面．
2．理解直线的方向向量与平面的法向量．
1．掌握直线的方向向量、平面的法向量的概念．
2．能用向量语言表述线线、线面、面面的位置关系.
3．会用待定系数法求平面的法向量.
4．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系.
条件
直线l上一点A
表示直线l方向的向量a(即直线l的________)
形式
在直线l上取 eq \(AB,\s\up6(→))＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得eq \(AP,\s\up6(→))＝________.
作用
定位置
点A和向量a可以确定直线的位置
定点
可以具体表示出l上的任意一点
平面的
法向量
如果直线l⊥α，那么直线l的________，叫作平面α的法向量，则n⊥α
确定平
面位置
过点A，以向量n为法向量的平面是完全确定的