高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册5 正态分布学案及答案

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[笔记教材]
知识点 正态分布
1．连续型随机变量
问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为________，具有分布密度函数的随机变量称为连续型随机变量．
2．正态分布
φμ，σ(x)＝________，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态密度曲线，简称________．若随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ>0)确定，记为________．
3．正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线________对称．
(2)曲线在x＝μ处达到峰值________．
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(4)曲线与x轴之间的面积为________．
4．参数μ，σ对正态曲线形状的影响
(1)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ 确定，且随着μ 的变化而沿________平移，
(2)当μ 取定值时，当σ较小时，峰值高，曲线“________”，表示随机变量X的分布比较________；当σ较大时，峰值低，曲线“________”，表示随机变量X的分布比较________．
5．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则EX＝________，DX＝________.
6．正态分布在三个特殊区间内取值的概率
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈________，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈________，
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈________.
通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，这在统计学中称为3σ原则．
答案：1.0
2.eq \f(1,\r(2π)σ)e－ eq \s\up15( eq \f(（x－μ）2,2σ2)) 正态曲线 X～N(μ，σ2)
3．(1)x＝μ (2)eq \f(1,σ\r(2π)) (4)1
4．(1)x轴 (2)瘦高 集中 矮胖 分散
5．μ σ2
6．0.682 6 0.954 4 0.997 4
[重点理解]
1．正态分布由μ和σ2确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数．当μ和σ2给定后，就得到一个具体的正态分布．不同的μ和σ2对应着不同的分布密度曲线．需要注意的是，第二个参数是方差σ2，而不是标准差σ.
2．正态分布是现实中最常见的一种分布，许多现象都服从或近似地服从正态分布，如长度测量误差，正常生产条件下各种产品的质量指标等．一般地，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用的结果，它就服从或近似服从正态分布．
3．对小概率事件的正确理解
(1)小概率事件是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很有可能发生的．
(2)当我们运用”小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有0.3%犯错的可能．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)正态密度曲线图象对称轴为x＝0.()
(2)正态分布对应的函数在区间(－∞，μ)和区间(μ，＋∞)上为增函数．()
(3)正态总体N(3,4)的方差为4.(√)
2．(多选题)下列关于正态分布N(μ，σ2)(σ>0)的命题正确的是( )
A．正态曲线关于y轴对称
B．当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”
C．设随机变量X～N(2,4)，则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)X))等于2
D．当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x轴平移
答案：BD
3．设两个正态分布N(μ1，σeq \\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq \\al(2,2))(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
答案：A
4．某县农民月均收入服从N(500,202)的正态分布，则此县农民月均收入在500元到520元间人数的百分比约为________．
答案：34.13%
研习1 正态分布的概率计算
[典例1] (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝________.
(2)已知X～N(5,1)，则P(6[答案] (1)0.3 (2)0.135 5
[解析] (1)因为P(ξ<4)＝0.8，所以P(ξ>4)＝0.2.
由题意知正态分布密度曲线图的对称轴为直线x＝2，P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
所以P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.所以P(0<ξ<2)＝eq \f(1,2)P(0<ξ<4)＝0.3.
(2)由已知得P(4[巧归纳] 1.对只给出参数μ值的概率问题，可画出正态曲线示意图，利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1解决问题．
2．对给出两个参数μ，σ的概率问题，一般利用“3σ原则”和正态曲线的对称性即可解决．
3．解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，
[练习1]已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝( )
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
答案：A
解析：由X～N(2，σ2)，可知其正态密度曲线如图，对称轴为直线x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.
研习2 正态分布的应用
[典例2] 某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为μ＝500 g，σ2＝1，为了检验设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量．当检验员随机地抽取一个产品，测得其质量为504 g时，他立即要求停止生产，检查设备．他的决定是否有道理呢？
[解] 如果设备正常运行，产品质量服从正态分布N(μ，σ2)，根据正态分布的性质可知，产品质量在μ－3σ＝500－3＝497(g)和μ＋3σ＝500＋3＝503(g)之间的概率为0.997 4，而质量超出这个范围的概率只有0.002 6，这是一个几乎不可能出现的事件．但是检验员随机抽取的产品为504 g，这说明设备的运行极可能不正常，因此检验员的决定是有道理的．
[巧归纳] 小概率事件在假设检验问题中的应用
由于P(μ－3σ[练习2]据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174，9)，若该市共有高二男生3 000人，试计算该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数．
解：因为身高X～N(174,9)，所以μ＝174，σ＝3，
所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
所以身高在(168,180)范围内的概率为0.954 4.
又因为μ＝174.所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等均为0.477 2，
故该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数约是3 000×0.477 2≈1 432(人)．
1．对于正态分布N(0,1)的概率密度函数f(x)＝eq \f(1,\r(2π))e eq \s\up15(－eq \f (x2,2)) ，下列说法不正确的是( )
A．f(x)为偶函数
B．f(x)在x>0时是单调减函数，在x≤0时是单调增函数
C．f(x)的最大值是eq \f(1,\r(2π))
D．f(x)的图象关于直线x＝1对称
答案：D
解析：因为μ＝0，所以f(x)的图象关于直线x＝0对称，故选项D不正确．
2．(2022湖南益阳模拟)(多选题)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)＝eq \f(1,10\r(2π))e eq \s\up15(－eq \f (x－1002,200)) ，x∈(－∞，＋∞)，则下列说法正确的是( )
A．该地水稻的平均株高为100 cm
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)(单位：cm)的概率一样大
答案：AC
解析：f(x)＝eq \f(1,10\r(2π))e eq \s\up15(－eq \f (x－1002,200)) ，故μ＝100，σ2＝100，故A正确B错误；P(x>120)＝P(x<80)>P(x<70)，故C正确；根据正态分布的对称性知：P(100P(80c＋1)＝P(ξA．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
解析：由题意得随机变量ξ相应的正态密度曲线关于直线x＝2对称，又P(ξ>c＋1)＝P(ξ4．如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于________．
答案：0.022 8
解析：P(X≤2)＝(1－P(25．某省试验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩ξ(试卷满分为150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的eq \f(1,3)，则此次考试成绩不低于120分的学生有________人．
答案：100
解析：因为数学考试成绩ξ～N(100，σ2)，作出正态分布图象(图略)，可以看出，图象关于直线x＝100对称．显然P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝eq \f(1,3)，所以P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)．又因为P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝eq \f(1,3)，所以P(ξ≥120)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6).所以成绩不低于120分的学生约为600×eq \f(1,6)＝100(人)．
[误区警示]
对X～N(μ，σ2)的理解有误致错
[示例] 设ξ～N(1,4)，那么(3<ξ<5)＝________.
[错解] 因为ξ～N(1,4)，所以μ＝1，σ＝2，P(3<ξ<5)＝P(－3<ξ<－1)，
则P(3<ξ<5)＝P(－3<ξ<5)－P(－1≤ξ≤3)
＝P(1－4<ξ<1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)
＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ ＋σ)
＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8.故填0.271 8.
[错因分析] 导致上述错解的原因是：由ξ～N(1,4)知曲线关于直线x＝1对称，所以P(3<ξ<5)＝P(－3<ξ<－1)，根据对称性可知P(3<ξ<5)＝eq \f(1,2)[P(－3<ξ<5)－P(－1≤ξ≤3)]．
[正解] 因为ξ～N(1,4)，所以μ＝1，σ＝2，
P(3<ξ<5)＝P(－3<ξ<－1)，
则P(3<ξ<5)＝eq \f(1,2)[P(－3<ξ<5)－P(－1≤ξ≤3)]
＝eq \f(1,2)[P(1－4<ξ<1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]
＝eq \f(1,2)[P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]
＝eq \f(1,2)(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故填0.135 9.
[题后总结] 由正态曲线的特点可知曲线与x轴之间的面积为1，并且曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称，因此随机变量在对称轴两侧对称的区间上取值的概率相等．
新课程标准
新学法解读
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征．
2．了解正态分布的均值、方差及其含义.
1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．
2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．
3．会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.