北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 直线与圆锥曲线的交点学案设计

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 直线与圆锥曲线的交点学案设计，共13页。

§4　直线与圆锥曲线的位置关系

新课程标准
新学法解读
了解直线与圆锥曲线的关系.
1.借助直线与圆的位置关系，了解直线与圆锥曲线的位置关系．
2．会求直线与圆锥曲线相交所得的弦长．
3．能解决直线与圆锥曲线相关的弦长、中点、定点等问题.

[笔记教材]
知识点一　点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
(1)点P在椭圆上⇔＋＝1；
(2)点P在椭圆内部⇔____________；
(3)点P在椭圆外部⇔____________.
答案：(2)＋<1　(3)＋>1
知识点二　直线与椭圆的位置关系
当直线斜率存在时，直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消y得一个关于x 的一元二次方程.
位置
关系
公共点
个数
组成的方
程组的解
判断方法
(利用判别式Δ)
相交
________
2解
________
相切
________
1解
________
相离
________
0解
________
当直线斜率不存在时，观察可得．
答案：2个　Δ>0　1个　Δ＝0　0个　Δ<0
知识点三　直线与双曲线的位置关系
1．直线与双曲线的交点
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为一元二次方程，在二次项系数不为零的情况下考查方程的判别式．
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的交点．
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．
当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．
2．双曲线弦长公式的两种形式
(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
(2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．则|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝·|y1－y2|.
知识点四　直线与抛物线的位置关系
1．直线与抛物线位置关系的判定
设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．
2．直线与抛物线相交的弦长问题
直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.
(1)－般的弦长公式：|AB|＝|x1－x2|.
(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)求弦长时，为简化计算常常借助根与系数的关系，这样可以避免分别求x1，x2 的麻烦，如果是利用弦长求参数的问题，只需要列出参数的方程或不等式即可求解，而x1，x2(以及y1，y2)一般是求不出来的．
[重点理解]
1．关于曲线交点的两点提醒
(1)两条曲线有交点的充要条件是由两条曲线的方程所组成的方程组有实数解．
(2)求两条曲线的交点，其实质就是求由两条曲线方程组成的方程组的实数解，方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点．若方程组无实数解，则这两条的曲线没有交点．
2．直线与椭圆位置关系的提醒
(1)将直线方程与椭圆的标准方程联立消元后必然会得到一个一元二次方程，即二次项系数必不为零．
(2)直线与椭圆的位置关系类似于直线与圆的位置关系．
3．解决直线与双曲线交点的注意点
解决直线与双曲线的交点问题时，需要注意以下两点．
(1)直线与双曲线方程联立，消元得到一元方程后，应讨论二次项系数是否为零，且要结合判别式讨论．
(2)直线与双曲线的交点可结合渐近线，用数形结合的方法讨论．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)曲线上的点M(x，y)到定点(5,0)的距离和它到定直线l：x＝的比是常数，则曲线是双曲线．(√)
(2)直线y＝x与抛物线y2＝x的交点是(0,0)与(1,1)．(√)
2．已知抛物线y2＝8x的弦AB过它的焦点，直线AB的斜率为2，则弦AB的长为(　　)
A．6　　 　B．8　　 　C．10　　 　D．12
答案：C
3．已知双曲线x2－y2＝2，过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线l的条数为(　　)
A．1　　 B．2　 C．3　 D．4
答案：B
4．(2022上海七宝中学检测)椭圆C：＋＝1与直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，m∈R的交点情况是(　　)
A．没有交点　　　 B．有一个交点
C．有两个交点　　 D．由m的取值而确定
答案：C
5．过点(0,1)且斜率为1的直线交双曲线x2－＝1于A，B两点，则|AB|＝________.
答案：

　　　　　　　　　　　　　　　
研习1 直线与圆锥曲线的位置关系
[典例1]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③
判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
[巧归纳]　1.用判别式可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线相切；当Δ<0时，直线与圆锥曲线相离.2.联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零．
[练习1]已知直线l：y＝kx＋1和抛物线C：y2＝4x，根据下列条件确定k的取值范围．
(1)l与C有一个公共点；
(2)l与C有两个公共点；
(3)l与C没有公共点．
解：将直线l和抛物线C联立得消去y得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，方程(*)只有一个解x＝，y＝1；
当k≠0时，方程(*)是一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2.
①当Δ>0时，即(2k－4)2－4k2>0，解得k<1且k≠0，l与C有两个公共点，此时l与C相交；
②当Δ＝0时，即(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1，l与C有一个公共点，此时l与C相切；
③当Δ<0时，即(2k－4)2－4k2<0，解得k>1，l与C没有公共点，此时l与C相离．
综上所述，
(1)当k＝1或k＝0时，l与C有一个公共点．
(2)当k<1且k≠0时，l与C有两个公共点．
(3)当k>1时，l与C没有公共点.
研习2 中点弦、弦长问题
[典例2]　过点P(－1,1)的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.
[解]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B两点在椭圆上得两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0.①显然x1≠x2，故由①得kAB＝＝－.
因为点P是AB的中点，所以有x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2. ②
把②代入①得kAB＝，故AB的直线方程是y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0.
由消去y得3x2＋6x＋1＝0.∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，
|AB|＝＝·＝×＝.
[巧归纳]　1.解决中点弦问题主要有如下两种方法：(1)根与系数的关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解．(2)“点差法”：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系公式．
[提醒]　“点差法”不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0.
2．利用根与系数的关系求直线与圆锥曲线相交弦长的步骤：(1)联立直线方程与圆锥曲线的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程．
(2)设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2.
(3)弦长|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)．
[练习2]动点P到定点D(1,0)的距离与到直线l：x＝－1的距离相等，动点P形成的曲线记作C.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)过点Q(4,1)作曲线C的弦AB，恰被Q平分，求AB所在直线的方程．
解：(1)由题意可知动点P的轨迹为开口向右的抛物线，设方程为y2＝2px(p>0)．因为＝1，p＝2，故动点P的轨迹方程为y2＝4x.
(2)方法一：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线存在斜率．当AB不垂直于x轴时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)．
由消去x，得ky2－4y－16k＋4＝0，则y1＋y2＝.
又y1＋y2＝2，所以k＝2.
故所求弦AB所在直线的方程为2x－y－7＝0.
方法二：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线存在斜率．当AB不垂直于x轴时，设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则有y＝4x1，①y＝4x2，②且x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.③
①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，④
将③代入④，得y1－y2＝2(x1－x2)，即2＝，则弦AB所在直线的斜率为2.
故所求弦AB所在直线的方程为y－1＝2(x－4)，即2x－y－7＝0.
研习3 最值与范围问题
[典例3]　如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.

(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
[解]　(1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．由已知得则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.由于y>0，只能x＝，于是y＝.所以点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是，又B(6,0)，
于是＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2，所以点M(2,0)．设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝2＋15，由于－6≤x≤6.所以当x＝时，d取最小值.
[巧归纳]　解决最值、范围问题的两种基本思路
(1)通过分析几何性质或特征，数形结合解决．
(2)化为函数求最值(值域)或解不等式问题加以解决，但都必须注意圆锥曲线变量的范围．
[练习3]　已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
(2)在抛物线上求一点P，使其到直线l：x＋y＋4＝0的距离最短，并求最短距离．
解：(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则|PA|2＝2＋y2＝2＋2x＝2＋.因为x≥0且在此区间上函数单调递增，所以当x＝0时，|PA|min＝，所以距离点A最近的点的坐标为(0,0)．
(2)方法一：设点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝，点P到直线x＋y＋4＝0的距离d＝＝＝≥＝.故当点P的坐标为时，d的最小值为.
方法二：由于无实根，故直线与抛物线没有公共点．设与直线x＋y＋4＝0平行的直线为x＋y＋m＝0(m≠4)．联立方程，得消去x得y2＋2y＋2m＝0，设此直线与抛物线相切，即只有一个公共点．所以Δ＝4－8m＝0，所以m＝.所以y2＋2y＋1＝0，解得y＝－1，所以x＝.
即点P到直线x＋y＋4＝0的距离最短，最短距离d＝＝.

1．过点P(2,4)且与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点的直线有(　　)
A．0条　 B．1条 C．2条 D．3条
答案：C
解析：因为P(2,4)在y2＝8x上，所以过P且与y2＝8x有且只有一个公共点的直线有y＝4和过P点的切线x－y＋2＝0.
2．函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝(　　)
A.　　 B.　 C.　 D．1
答案：B　解析∵函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，∴它们有且仅有一个交点．由得x＝ax2＋1，即ax2－x＋1＝0，∴Δ＝1－4a＝0，∴a＝.
3．直线y＝x－1与双曲线x2－＝1相交于A，B两点，则弦长|AB|＝________.
答案：4
解析：联立方程组消去y，得x2＋2x－3＝0.①由方程①解得x1＝1，x2＝－3，代入y＝x－1，得y1＝0，y2＝－4，于是A，B两点坐标分别为(1,0)，(－3，－4)，则|AB|＝＝4.
4．点P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过点P引一条弦，使此弦在P点被平分，则此弦所在的直线方程为____________．
答案：x＋2y－3＝0
解析：方法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2，∴＝2，得k＝－.
故弦所在直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
方法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋(y1－y2)＝0，
∴k＝＝－.
∴此弦所在直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
5．已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若|AF2|＝4且∠F1AF2＝60°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于________．
答案：24
解析：因为|AF1|－|AF2|＝2a＝2，所以|AF1|＝6，由cos 60° ＝得|F1F2|＝2，所以c＝，b＝.由|AF2|＝4，点A在双曲线上，得A，故AF2的直线方程为y＝－3(x－)，联立x2－＝1可得|y1－y2|＝，故S△F1AB＝|F1F2||y1－y2|＝×2×＝24.


[误区警示]
涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件致错
　　　　　　　　　　　　　　　　
[示例]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程．
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[错解]　(1)将点(1，－2)的坐标代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，∴p＝2，故所求抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝－2x＋t，
由直线OA与直线l的距离等于可得＝，∴t＝±1.
所以符合题意的直线I存在，其方程为y＝－2x＋1或y＝－2x－1.
[错因分析]　错解中解出t的值后忽略了对t是否满足直线与抛物线有交点的条件的验证．
[正解]　(1)将点(1，－2)的坐标代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，∴p＝2，故所求抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)假设存在符合题意的直线，设其方程为y＝－2x＋t，
由得y2＋2y－2t＝0.
∵直线l与抛物线C有公共点，∴Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
由直线OA与直线l的距离等于可得＝，
∴t＝±1.
∵－1∉，1∈，
∴符合题意的直线l存在，其方程为y＝－2x＋1，即2x＋y－1＝0.
[易错警示]　在解与直线和抛物线的交点个数有关的参数问题时，根据条件求出参数的值后，一定要将参数代入看是否满足直线和抛物线的交点个数的条件，对不满足的情况要舍去．