高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 排列与排列数导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 排列与排列数导学案，共12页。

[笔记教材]
知识点一 排列
(1)一般地，从n个________元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个________元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列相同的条件：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素________，且元素的________也相同．
答案：(1)不同 不同 (2)完全相同 排列顺序
知识点二 排列数与排列数公式
答案：Aeq \\al(m,n) n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)] eq \f(n！,n－m！) n！ 1
知识点三 解决排列问题的常用方法
(1)应用排列知识解决实际问题的步骤
解无限制条件的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．
(2)处理比较复杂的排列应用题的常用方法有直接法、间接法、位置分析法、对象(元素)分析法、插空法、捆绑法等．
[重点理解]
1．排列定义的理解
(1)如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的．
(2)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
(3)由定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一个排列．
(4)在定义中“一定顺序”就是说与顺序有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定．
2．排列数公式及其应用的理解
(1)排列数公式：Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…[n－(m－1)]＝eq \f(n！,n－m！)，其中m，n∈N＋，m≤n.
(2)注意区别排列和排列数的不同．“一个排列”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．符号Aeq \\al(m,n)只表示排列数，而不表示具体的排列．(3)公式Aeq \\al(m,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式，在运用该公式时要注意它的特点．
(4)公式Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！)适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式．在具体运用时，应注意有公因式的先提取公因式，再计算．
(5)常用性质：
①(n＋1)！＝(n＋1)·n！＝(n＋1)·n·(n－1)！.
②n·Aeq \\al(n,n)＝(n＋1)！－n！.
③Aeq \\al(m,n)＝nAeq \\al(m－1,n－1).
④Aeq \\al(m,n)＝mAeq \\al(m－1,n－1)＋Aeq \\al(m,n－1).
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)1,2,3与3,2,1为同一排列．()
(2)一般情况下，在一个排列中，同一个元素不能重复出现．(√)
(3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．()
(4)用a，b，c构成的所有不同排列的个数为3.()
2．乘积5×6×7×…×20等于( )
A．Aeq \\al(17,20) B．Aeq \\al(16,20) C．Aeq \\al(15,20) D．Aeq \\al(14,20)
答案：B
3．下列问题属于排列问题的是( )
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个小组；
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．
A．①④ B．①② C．④ D．①③④
答案：A
4．集合P＝{x|x＝Aeq \\al(m,4)，m∈N＋且m≤4}，则集合P中共有________个元素．
答案：3
研习1 排列数公式的应用
[典例1] (1)计算：eq \f(A\\al(6,7)－A\\al(5,6),A\\al(4,5))＝( )
A．12 B．24 C．30 D．36
(2)已知Aeq \\al(2,n＋1)－Aeq \\al(2,n)＝10，则n的值为________．
(3)满足不等式eq \f(A\\al(7,n),A\\al(5,n))＞12的n的最小值为________．
(1)[答案] D
[解析] eq \f(A \\al(6,7)－A \\al(5,6),A \\al(4,5))＝eq \f(7×6×5×4×3×2－6×5×4×3×2,5×4×3×2)＝7×6－6＝36.
(2)[答案] 5
[解析] 由Aeq \\al(2,n＋1)－Aeq \\al(2,n)＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.
(3)[答案] 10
[解析] 由排列数公式得eq \f(n！·n－5！,n－7！·n！)＞12，即(n－5)(n－6)＞12，解得n＞9或n＜2.又n≥7，所以n＞9，且n∈N＋，所以nmin＝10.
[巧归纳] 排列数两个公式的选取技巧
(1)排列数的第一个公式Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2) ·…· [n－(m－1)]适用于m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．
(2)排列数的第二个公式Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！)用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n，m∈N＋，m≤n”的运用．
[练习1](1)计算Aeq \\al(3,12)；
(2)解方程3Aeq \\al(x,8)＝4Aeq \\al(x－1,9).
解：(1)Aeq \\al(3,12)＝12×11×10＝1 320.
(2)由3Aeq \\al(x,8)＝4Aeq \\al(x－1,9)，得eq \f(3×8！,8－x！)＝eq \f(4×9！,10－x！)，化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.又因为x≤8，且x－1≤9，所以原方程的解是x＝6.
研习2 无限制条件的排列问题
[典例2] (1)由数字1,2,3,4可组成______个无重复数字的正整数；
(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．
(1)答案：64
[解析] 第一类：组成一位数有Aeq \\al(1,4)＝4(个)；第二类：组成二位数有Aeq \\al(2,4)＝12(个)；第三类：组成三位数有Aeq \\al(3,4)＝24(个)；第四类：组成四位数有Aeq \\al(4,4)＝24个．根据加法原理，一共可以组成4＋12＋24＋24＝64(个)正整数．
(2)答案：15
[解析] 分三类完成：第1类，挂1面旗，可以表示Aeq \\al(1,3)种不同的信号；第2类，挂2面旗，可以表示Aeq \\al(2,3)种不同的信号；第3类，挂3面旗，可以表示Aeq \\al(3,3)种不同的信号．根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有Aeq \\al(1,3)＋Aeq \\al(2,3)＋Aeq \\al(3,3)＝3＋3×2＋3×2×1＝15(种)．
[巧归纳] 1.判断一个问题是否是排列问题的思路：排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关．这就是说，在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题．
2．对无限制条件的排列问题：(1)灵活确定“元素”和“位置”，可把数目大的对象作为元素；(2)任一元素排在任何一个位置的可能性都相等； (3)若解决问题时需要分类或分步，则要结合两个计数原理求解．
[练习2](2022湖南湘南三校联盟联考) 从4男3女7名志愿者中，选1女2男分别到A，B，C地执行任务，则不同的选派方法有( )
A．36种 B．108种 C．210种 D．72种
答案：B
解析：选1女派往某地有Aeq \\al(1,3)·Aeq \\al(1,3)种方法，选2男派往另外两地有Aeq \\al(2,4)种方法，则不同的选派方法共有Aeq \\al(1,3)·Aeq \\al(1,3)·Aeq \\al(2,4)＝108(种).
研习3 “元素分析法”与“位置分析法”
[典例3] (1)要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为________种(用数字作答)；
(2)3名男生，4名女生站成一排，甲不在最左端、乙不在最右端的排法有________种．
(1)[答案]288
[解析] 先排数学有Aeq \\al(1,3)种；再排英语有Aeq \\al(1,4)种；余下的四门课作全排列，得Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(1,4)Aeq \\al(4,4)＝288.
(2)[答案]3 720
[解析] 方法一(元素分析法)：按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端，有Aeq \\al(6,6)种方法；第二类：甲不在最右端，甲有Aeq \\al(1,5)个位置可选，乙也有Aeq \\al(1,5)个位置可选，其余5人有Aeq \\al(5,5)种排法，即Aeq \\al(1,5)Aeq \\al(1,5)Aeq \\al(5,5)种方法．故有Aeq \\al(6,6)＋Aeq \\al(1,5)Aeq \\al(1,5)Aeq \\al(5,5)＝3 720(种)方法．
方法二(间接法)：无限制条件的排列方法共有Aeq \\al(7,7)种，而甲在最左端或乙在最右端的排法分别有Aeq \\al(6,6)种，甲在最左端且乙在最右端的排法有Aeq \\al(5,5)种．故有Aeq \\al(7,7)－2Aeq \\al(6,6)＋Aeq \\al(5,5)＝3 720(种)方法．
方法三(位置分析法)：按最左端优先安排分步．对于最左端除甲外有Aeq \\al(1,6)种排法，余下六个位置全排列有Aeq \\al(6,6)种排法，其中甲不在最左端，乙在最右端的排法有Aeq \\al(1,5)Aeq \\al(5,5)种．故有Aeq \\al(1,6)Aeq \\al(6,6)－Aeq \\al(1,5)Aeq \\al(5,5)＝3 720(种)方法．
[巧归纳] 1.排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置上不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置．
2．当题目中有两个约束条件时，往往考虑一个约束条件的同时，还需要考虑另一个约束条件，这就要进行正确的分类，有时分的类较多，用直接法较麻烦，往往采用“间接法”．
[练习3]某电影上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起．为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是( )
A．8 B．12 C．16 D．20
答案：C
解析：四个元素全排列，再除去两个家长和两个小孩同时相邻的情况，故Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝16.故选C.
研习4 “捆绑法”与“插空法”
[典例4] 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(1)全体站成一排，男、女各站在一起；
(2)全体站成一排，男生必须排在一起；
(3)全体站成一排，男生不能排在一起；
(4)全体站成一排，男、女生各不相邻；
(5)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人．
[解] (1)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有Aeq \\al(3,3)种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有Aeq \\al(4,4)种排法，全体男生、女生各看做一个元素全排列有Aeq \\al(2,2)种排法．由分步乘法计数原理知共有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,2)＝288(种)方法．
(2)[解] 捆绑法：把所有男生看做一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，故有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(5,5)＝720(种)不同的排法．
(3)[解] 不相邻问题(插空法)：先排女生有Aeq \\al(4,4)种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有Aeq \\al(3,5)种排法，故有Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(3,5)＝1 440(种)不同的排法．
(4)[解] 对比(3)，让女生插空：有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(4,4)＝144(种)不同的排法．
(5)[解] 捆绑法：除甲、乙外，从其余的5人中任取2人，并站在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下的3个人进行全排列，故有(Aeq \\al(2,5)·Aeq \\al(2,2))·Aeq \\al(4,4)＝960(种)不同的排法．
[巧归纳] 1.在实际排列问题中，某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种方法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”． 2.某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空当，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．
[练习4](2022福建长汀县龙宇中学模拟)(多选题)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是( )
A．共计有720种不同的排法
B．男生甲排在两端的共有120种排法
C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种
D．男女生相间排法总数为72种
答案：BC
解析：3男3女排成一排共计有Aeq \\al(6,6)＝720(种)；男生甲排在两端的共有2Aeq \\al(5,5)＝240(种)；男生甲、乙相邻的排法总数Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(5,5)＝240(种)；男女生相间排法总数为2Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(3,3)＝72(种)．故选BC
研习5 含定序元素或相同元素的排列
[典例5] (1) 7人站成一排，其中甲在乙前(不一定相邻)，乙在丙前，则不同的站法共有________种．
(2)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种 C．96种 D．144种
(1)[答案] 840
[解析] 方法一：先不考虑甲、乙、丙的顺序，7人任意排列，共有Aeq \\al(7,7)种站法．因为在上述排列中，每Aeq \\al(3,3)种有且仅有一种恰好是符合甲、乙、丙按一定顺序排列的，所以符合要求的排法共有eq \f(A\\al(7,7),A\\al(3,3))＝840(种)．
方法二：7人位置中，先将除甲、乙、丙外4人排列，共有Aeq \\al(4,7)种站法，然后将甲、乙、丙按规定顺序插入剩余的3个空位中，因此共有Aeq \\al(4,7)＝840(种)站法．
(2)[答案] C
[解析] 根据题意，程序A只能出现在第一步或最后一步，则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有Aeq \\al(1,2)＝2(种)结果，又由程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还要进行排列，共有Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,2)＝48(种)结果，根据分步乘法计数原理知共有2×48＝96(种)结果．
[巧归纳] 在有些排列问题中，某些元素的先后顺序是固定的(但不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：一是整体法，即若有m＋n个元素排成一列，其中有m个元素之间的顺序固定不变．将这m＋n个元素排成一列，共有Aeq \\al(m＋n,m＋n)种不同的排法，然后任取一个排列，固定其他的n个元素的位置不动，把这m个元素变换顺序，共有Aeq \\al(m,m)种排法，其中只有一个排列是我们所需要的排列，因而共有eq \f(A\\al(m＋n,m＋n),A\\al(m,m))种不同的排法．二是插入法，先在m＋n个位置上排n个元素，再把剩下的m个元素按照固定顺序插入到剩余的m个位置中，有Aeq \\al(n,m＋n)种不同的排法．
[练习5](2022河南新乡辉县一中段考)五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数为( )
A．Aeq \\al(4,4) B.eq \f(1,2)Aeq \\al(4,4) C．Aeq \\al(5,5) D.eq \f(1,2)Aeq \\al(5,5)
答案：D
解析：根据题意，五人并排站成一排，有Aeq \\al(5,5)种情况，而其中甲站在乙的左边与甲站在乙的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，则甲站在乙的左边的情况数目为eq \f(1,2)×Aeq \\al(5,5)＝60.故选D.
1．下列等式中不一定成立的是( )
A．Aeq \\al(3,n)＝(n－2)Aeq \\al(2,n) B.eq \f(1,n)Aeq \\al(n,n＋1)＝Aeq \\al(n－1,n＋1)
C．nAeq \\al(n－2,n－1)＝Aeq \\al(n,n) D.eq \f(n,n－m)Aeq \\al(m,n－1)＝Aeq \\al(m,n)
答案：B
解析：A中，右边＝(n－2)(n－1)n＝Aeq \\al(3,n)成立；C中左边＝n×(n－1)×(n－2)×…×2＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝Aeq \\al(n,n)成立；D中左边＝eq \f(n,n－m)×eq \f(n－1！,n－m－1！)＝eq \f(n！,n－m！)＝Aeq \\al(m,n)成立；经验证只有B不一定正确．
2．要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是( )
A．20 B．16 C．10 D．6
答案：B
解析：不考虑限制条件有Aeq \\al(2,5)种选法，若a当副组长，有Aeq \\al(1,4)种选法，故a不当副组长，有Aeq \\al(2,5)－Aeq \\al(1,4)＝16(种)选法．
3．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有( )
A．98个 B．105个 C．112个 D．210个
答案：D
解析：当个位与百位数字为0,8时，有Aeq \\al(2,8)Aeq \\al(2,2)个；当个位与百位数字为1,9时，有Aeq \\al(1,7)Aeq \\al(1,7)Aeq \\al(2,2)个．共Aeq \\al(2,8)Aeq \\al(2,2)＋Aeq \\al(1,7)Aeq \\al(1,7)Aeq \\al(2,2)＝210(个)．
4．化简：eq \f(m－1！,A\\al(n－1,m－1)m－n！)＝________.
答案：1
解析：原式＝eq \f(m－1！,\f(m－1！,m－n！)·m－n！)＝1.
[误区警示]
不能正确区分有顺序与无顺序问题
[示例] 为亮化城市，现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色路灯．如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有几种不同的安装方法？
[错解] 从颜色考虑：从三种颜色中任选一种颜色，最多安装3盏，最少安装2盏．分类讨论：不妨就选安装两盏红灯、两盏黄灯、三盏蓝灯(这有3种选法)来讨论．先排三盏蓝灯，只有1种排法，然后插空，把两盏红灯插进去，再把两盏黄灯插进去，有Aeq \\al(2,4)Aeq \\al(2,5)＝240(种)插空方式．所以共有240×3＝720(种)不同的安装方式．
[错因分析] 导致上述错解的原因如下：
错解把同色的路灯看成了可以区分的元素，事实上，相同元素在排列中是不考虑其顺序的．另外，不同的安装方式的计算也有错误．
[正解] 安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明三种颜色的路灯的分配情况只能是2盏，2盏，3盏的形式．先讨论颜色，在选择颜色时有3种方法，选好了一种颜色后，安装时采用插空的方式．下面不妨就选安装两盏红灯、两盏黄灯、三盏蓝灯来讨论．先排两盏红灯、两盏黄灯，若两盏红灯、两盏黄灯分别两两相邻，有2种排法，则蓝灯有3种排法，共6种不同的安装方法；若两盏红灯、两盏黄灯分别两两不相邻，有2种排法，再把蓝灯安排进去，有10种安装方法，所以有20种不同的安装方法；若两盏红灯、两盏黄灯恰有一种颜色相邻，有2种排法，则蓝灯有6种排法，所以有12种不同的安装方法．综上，共有3×(6＋20＋12)＝114(种)不同的安装方法．
[题后总结] 分析题设中元素对象的特点，正确区分有无顺序．
新课程标准
新学法解读
1.通过实例，理解排列的概念，能利用计数原理推导排列数公式．
2．理解排列数的概念，能利用排列数公式解决简单的排列问题.
1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．
2．理解排列数公式的推导并应用．
3．掌握排列数公式并会运用．
4．进一步理解排列的概念，掌握一些有限制条件的排列问题的常用解决方法．
5．能应用排列知识解决简单的实际问题．
排列数定义
从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法
________
排列数
公式
乘积式
Aeq \\al(m,n)＝________
阶乘式
Aeq \\al(m,n)＝________
性质
Aeq \\al(n,n)＝______________，
0！＝______________
备注
n，m∈N＋，m≤n