北师大版高中数学选择性必修第一册1-1-3-1直线方程的点斜式学案

1.3　直线的方程

 第1课时　直线方程的点斜式

 [笔记教材]

知识点一　直线的点斜式方程

(1)直线的方程

一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程．

(2)直线的点斜式方程

答案：(2)y－y0＝k(x－x0)

知识点二　直线的斜截式方程

答案：y＝kx＋b

[重点理解]

1．关于直线方程点斜式的理解

(1)只要方程y－y0＝k(x－x0)中的常数k与点(x0，y0)确定，直线就唯一确定了．由此可知，直线方程的点斜式应用的前提是直线的斜率必须存在．

(2)y－y0＝k(x－x0)与＝k是不等价的，前者表示的是过点(x0，y0)且斜率为k的整条直线，后者表示的是去掉点(x0，y0)的一条直线．

2．关于直线方程斜截式的说明

(1)直线方程的斜截式y＝kx＋b的特点——左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距．

(2)直线方程的斜截式是直线方程点斜式的特例，应用的前提也是直线的斜率存在．

(3)在y轴上的截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，可正，可负，也可以为0.

(4)方程的斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当斜率k不为0时，y＝kx＋b即为一次函数，但当斜率k＝0时，y＝b不是一次函数；一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线方程的斜截式．

[自我排查]

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)任何一条直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()

(2)斜截式y＝kx＋b可以表示斜率存在的直线．(√)

(3)直线y＝2x－1在y轴上的截距为1.()

(4)斜率为0的直线不能用直线的点斜式表示．()

2．过点P(－2,0)，斜率是3的直线的方程是(　　)

A．y＝3x－2    B．y＝3x＋2

C．y＝3(x－2)    D．y＝3(x＋2)

答案：D

3．直线方程为y＋2＝2x－2，则(　　)

A．直线过点(2，－2)，斜率为2

B．直线过点(－2,2)，斜率为2

C．直线过点(1，－2)，斜率为

D．直线过点(1，－2)，斜率为2

答案：D

4．直线y－2＝－(x＋3)的倾斜角是________，在y轴上的截距是________．

答案：120°　2－3

    研习1  求直线的点斜式方程

[典例1]　根据条件写出下列直线方程的点斜式：

(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；

(2)经过原点，倾斜角为60°；

(3)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°.

[解]　(1)直线斜率为tan 45°＝1，∴直线方程为y－4＝1×(x＋1)．

(2)直线斜率为tan 60°＝，∴所求直线的方程为y－0＝(x－0)．

(3)直线斜率为0，∴直线方程为y－1＝0×(x＋1)．

[巧归纳]　1.求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．

2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但斜率不存在的直线除外．

[练习1]斜率为，与x轴交点的横坐标为－7的直线的点斜式方程为________．

答案：y－0＝(x＋7)

解析：由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点(－7，0)．又斜率为，所以所求直线的点斜式方程为y－0＝(x＋7).

研习2  求直线的斜截式方程

[典例2]　根据条件写出下列直线的斜截式方程：

(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；

(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；

(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

(1)[解]　由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.

(2)[解]　∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2.

(3)[解]　∵直线的倾斜角为60°，∴斜率k＝tan 60°＝，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.

∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.

[巧归纳]　1.已知直线的斜率或直线与y轴的交点坐标时，常用斜截式写出直线方程.2.利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距．

[练习2]根据条件写出下列直线方程的斜截式：

(1)经过点A(3,4)，在x轴上的截距为2；

(2)斜率与直线x＋y＝0相同，在y轴的截距与直线y＝2x＋3的相同．

(1)解：方法一：易知直线的斜率存在，设直线方程为y＝k(x－2)，∵点A(3,4)在直线上，∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8，∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.

方法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)，则直线的斜率k＝4，由直线的点斜式方程，得y－0＝4×(x－2)＝4x－8，∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.

(2)解：因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1，直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3，

所以所求直线方程的斜截式为y＝－x＋3.

研习3  点斜式方程的应用

[典例3]　已知直线l的斜率为2，且与x轴、y轴围成的三角形的面积为36，求此时直线与x轴、y轴围成的三角形的周长．

[解]　由于直线l的斜率为2，故设l的方程为y＝2x＋b.令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－.由已知得·|b|·＝36，解得|b|＝12，即b＝±12，所以l的方程为y＝2x＋12或y＝2x－12.当b＝12时，l在x轴、y轴上的截距分别为－6,12；当b＝－12时，l在x轴、y轴上的截距分别为6，－12.故三角形的周长为6＋12＋＝18＋6.

[巧归纳]　(1)已知斜率及任意一点的坐标，我们习惯上选择点斜式求直线的方程；如果该点比较特殊(直线与坐标轴的交点)，则习惯上选择斜截式求直线的方程．(2)解决此类问题的常用方法是待定系数法，首先设出直线方程，然后根据已知条件求出待定系数．方程的思想是解答此类题目的重要手段．

[练习3]已知直线l经过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．

解：显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，令y＝0，得x＝－－2，

于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为×＝4，即(2k＋3)＝±8.

若(2k＋3)＝8，则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解．若(2k＋3)＝－8，则整理得4k2＋20k＋9＝0，解得k＝－或k＝－.所以直线l的方程为y－3＝－(x＋2)或y－3＝－(x＋2)，即y＝－x＋2或y＝－x－6.

1．过点A(2，－1)，斜率为的直线的点斜式方程是(　　)

A．y－1＝(x－2)

B．y－1＝(x＋2)

C．y＋1＝(x－2)

D．y＋1＝(x＋2)

答案：C

2．斜率为－1，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)

A．y＝x＋1    B．y＝x－1

C．y＝－x＋1    D．y＝－x－1

答案：D

解析：因为k＝－1，所以y＝－x－1.故选D.

3．若ab>0，bc<0，则直线ax＋by＋c＝0一定不过(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

答案：C

解析：直线化简为y＝－x－.因为ab>0，bc<0，所以－<0，－>0.所以直线过第一、二、四象限．故选C.

4．直线y＝3kx－3k＋6过定点P，则点P的坐标为________．

答案：(1,6)

解析：直线方程可化为y－6＝3k(x－1)，由点斜式可知该直线经过定点P(1,6)．

[误区警示]

求直线方程时，忽略斜率不存在致错

[示例]　求过直线l：y＝x－与x轴的交点，且与直线l的夹角为30°的直线的方程．

[错解]　∵直线l的斜率k＝，

∴直线l的倾斜角α＝60°，

∴所求直线的倾斜角为30°或90°，

∴所求直线的斜率为或不存在，

又所求直线经过直线l与x轴的交点(1,0)，

∴所求直线的方程为y＝(x－1)，

即y＝x－.

[错因分析]　错解错在误认为斜率不存在时，直线也不存在．在求直线方程时，要注意斜率不存在的情况，并明确斜率不存在并不意味着直线不存在．

[正解]　∵直线l的斜率k＝，

∴直线l的倾斜角α＝60°，

∴所求直线的倾斜角为30°或90°，

∴所求直线的斜率为或不存在，

当所求直线的斜率为时，

∵所求直线经过直线l与x轴的交点(1,0)，

∴所求直线的方程为y＝(x－1)，即y＝x－.

当所求直线的斜率不存在时，所求的直线方程为x＝1.

故所求的直线方程为y＝x－或x＝1.

[易错警示]　倾斜角α＝90°时，直线的斜率不存在，但直线是存在的，绝不能理解为“斜率不存在，则直线不存在”．