高中数学高考第2节 两条直线的位置关系 教案

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1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3．三种距离公式
eq \O([常用结论])
1．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；
(2)平行：Ax＋By＋n＝0.
2．与对称问题相关的四个结论
(1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.
( )
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).( )
(4)两条平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改编
1．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为( )
A.eq \r(2) B．2－eq \r(2)
C.eq \r(2)－1 D.eq \r(2)＋1
C [由题意知eq \f(|a－2＋3|,\r(2))＝1，∴|a＋1|＝eq \r(2)，又a>0，
∴a＝eq \r(2)－1.]
2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝ .
1 [由题意可得eq \f(4－m,m＋2)＝1，解得m＝1.]
3．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是 ．
eq \f(3\r(2),4) [先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋eq \f(1,2)＝0，则两平行线间的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2))),\r(2))＝eq \f(3\r(2),4).]
4．若直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为 ．
eq \f(2,3) [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝－10，,y＝x＋1))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－9，,y＝－8.))
即直线2x－y＝－10与y＝x＋1相交于点(－9，－8)．
又因为直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，
所以－8＝－9a－2，解得a＝eq \f(2,3).]
考点1 两条直线的位置关系
确定两条直线位置关系的方法
已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
[解] (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－8＋n＝0，,2m－m－1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝7.))即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)．
(2)∵l1∥l2，∴eq \f(m,2)＝eq \f(8,m)≠eq \f(n,－1)
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4，,n≠－2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n≠2.))
即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
(3)当且仅当2m＋8m＝0，
即m＝0时，l1⊥l2.
又－eq \f(n,8)＝－1，∴n＝8.
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
两条直线平行或重合的充要条件是A1B2＝A2B1，使用此公式可避免讨论，但要验证两直线是否重合．
[教师备选例题]
已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否能平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值．
[解] (1)由eq \f(a,1)＝eq \f(2,a－1)≠eq \f(6,a2－1)得a＝－1，
即当a＝－1时，l1与l2平行．
(2)由l1⊥l2得a＋2(a－1)＝0，解得a＝eq \f(2,3).
1.经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋2 019＝0的直线方程为 ．
2x＋3y－2＝0 [解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＋10＝0，,3x＋4y－2＝0))得两条直线的交点坐标为(－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x－2y＋2 019＝0，所以所求直线的斜率为k＝－eq \f(2,3)，所以所求直线方程为y－2＝－eq \f(2,3)(x＋2)，即2x＋3y－2＝0.]
2．“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A [由两直线平行得eq \f(a,1)＝eq \f(2,a＋1)≠eq \f(－8,4)，
解得a＝1，因此“a＝1”是两直线平行的充要条件，故选A.]
考点2 距离问题
1．点到直线的距离的求法
可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．
2．两平行线间的距离的求法
(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)利用两平行线间的距离公式．
1.已知点P(－2,3), 点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．2 B.eq \f(9,5) C.eq \f(8,5) D.eq \f(7,5)
B [因为点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，所以|PQ|的最小值为点P到直线l的距离，即eq \f(|3×－2＋4×3＋3|,\r(9＋16))＝eq \f(9,5).故选B.]
2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A.eq \f(9,5) B.eq \f(18,5) C.eq \f(29,10) D.eq \f(29,5)
C [因为eq \f(3,6)＝eq \f(4,8)≠eq \f(－12,5)，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq \f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq \f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq \f(29,10)，故选C.]
3．若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是eq \r(5)，则m＋n＝( )
A．0 B．1 C．－2 D．－1
C [由两直线平行得eq \f(1,2)＝eq \f(－2,n)≠eq \f(m,－6).
解得n＝－4，m≠－3，所以直线l2的方程为x－2y－3＝0
又l1，l2之间的距离是eq \r(5)，所以eq \f(|m＋3|,\r(12＋－22))＝eq \r(5)，
解得m＝2或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝2＋(－4)＝－2，故选C.]
解答T1，T2时，关键是把两点距离的最小值转化为点到直线的距离和两条平行线间的距离．
考点3 对称问题
中心对称问题(关于点对称)
中心对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于点对称
若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1))进而求解．
(2)直线关于点对称
①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程；
③轨迹法，设对称直线上任一点M(x，y)，其关于已知点的对称点在已知直线上．
直线ax＋y＋3a－1＝0恒过点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0
C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
D [由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋y－1＝0.
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝0，,y－1＝0))可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝1.))∴M(－3,1)．
设所求对称直线上任意一点为P(x，y)，则点P关于点M的对称点为N(－6－x,2－y)，由题意点N在直线2x＋3y－6＝0上，∴2(－6－x)＋3(2－y)－6＝0，即2x＋3y＋12＝0，故选D.]
本例题也可通过对称直线和原直线平行，设出所求直线，然后利用点M到两直线的距离相等求解．
轴对称问题(关于直线对称)
轴对称问题的两个类型及求解方法
(1)点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，
由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A×\f(x1＋x2,2)＋B×\f(y1＋y2,2)＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
(2)直线关于直线的对称
一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．
(1)求点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
[解] (1)设A′(x，y)，由已知得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))
所以A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33,13)，\f(4,13))).
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在m′上．
设对称点为M′(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))
解得M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,13)，\f(30,13))).
设m与l的交点为N，则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3)．
又因为m′经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m′方程为9x－46y＋102＝0.
(1)对直线关于直线对称，要先判断两直线是相交还是平行，然后再确定具体解法．
(2)斜率存在时，和x轴或y轴对称的两条直线斜率互为相反数．
[教师备选例题]
已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，直线l2的方程为 ．
x－y－5＝0 [法一：因为l1∥l，所以l2∥l，设直线l2的方程为x－y＋m＝0(m≠3，且m≠－1)．
因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l间的距离等于l2与l间的距离．由两平行直线间的距离公式，得eq \f(|3－－1|,\r(2))＝eq \f(|m－－1|,\r(2))，解得m＝－5或m＝3(舍去)．所以直线l2的方程为x－y－5＝0.
法二：由题意知l1∥l2，设直线l2的方程为x－y＋m＝0(m≠3，且m≠－1)．
在直线l1上取点M(0,3)，设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)，于是有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－3,a)×1＝－1，,\f(a＋0,2)－\f(b＋3,2)－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－1，))
即M′(4，－1)．把点M′的坐标代入l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0.]
1.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为 ．
6x－y－6＝0 [设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－－3)＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.]
2．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1,2)的对称直线．
[解] (1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，∵kPP′·kl＝－1，即eq \f(y′－y,x′－x)×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，∴3×eq \f(x′＋x,2)－eq \f(y′＋y,2)＋3＝0.②
由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(－4x＋3y－9,5)， ③,y′＝\f(3x＋4y＋3,5). ④))
把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，
∴点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l对称的直线方程为eq \f(－4x＋3y－9,5)－eq \f(3x＋4y＋3,5)－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，
关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，
∴eq \f(x′＋0,2)＝1，x′＝2，eq \f(y′＋3,2)＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．
l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，
∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离
|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
l1与l2垂直的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
l1与l2相交的充分条件
eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)