第2章 一元二次方程辅导讲义6：一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）

一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 能应用根的判别式判断一元二次方程求根的情况，通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式  一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即　　①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　③当时，原方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.3.一元二次方程根的判别式的逆用    在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.4.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；
　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　 ③求出的值；
　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解；
　　　 　若，则原方程无实根.
要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.    ①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.
要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：
   （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次            因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.  【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．（2016秋•修水县校级月考）4x2﹣3x+1=0．（用公式法解）【思路点拨】先求出△的值，判断方程的根的情况即可得．【答案与解析】解：∵a=4，b=﹣3，c=1，∴△=9﹣4×4×1=﹣7＜0，∴方程无实数根．【总结升华】此题考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是一元二次方程的求根公式，关键是求出△的值． 举一反三：【高清ID号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于的方程；【答案】原方程可化为        ∵        ∴          ∴          ∴ 2.用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m；     【答案与解析】方程整理为，∴  ，∴  a＝1，b＝-2，c＝-13，∴  ，∴  ，∴  ，．【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：   【答案】∵     ∴     ∴     ∴ 类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x2﹣1=2（x+1）．【答案与解析】解：∵x2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x﹣3）=0，∴x1=﹣1，x2=3．【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.举一反三：【变式】解方程（2015·茂名校级一模）（1）x2-2x-3=0；    （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0                ∴x-3=0，x+1=0                ∴x1=3,x2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x）=0                ∴x-1=0，3x-1=0                ∴x1=1,x2=.4．如果，请你求出的值．【答案与解析】设，∴  z(z-2)＝3．       整理得：，∴  (z-3)(z+1)＝0．       ∴  z1＝3，z2＝-1．       ∵  ，∴  z＝-1(不合题意，舍去)       ∴  z＝3．       即的值为3．【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设再求z值，从而求出的值实际就是换元思想的运用．        易错提示:忽视，而得或．