高中数学高考第8讲　函数与方程

这是一份高中数学高考第8讲　函数与方程，共12页。试卷主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
常用结论
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
二、教材衍化
1．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：选B．依题意，f(2)>0，f(3)0，f(5)0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝eq \f(1,e)－30，因此函数f(x)有且只有一个零点．
答案：1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2；当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.故选C．
2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0.则ex＝－x＋3.
分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．
又根据对称性知，当x＜0时函数f(x)也有一个零点．
综上所述，f(x)的零点个数为3.
考点二 函数零点的应用(综合型)
复习指导eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))求与零点有关的参数的取值范围问题综合性比较强，解决此类问题的一般思路就是通过分离参数简化问题求解，即先分离参数．
(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3)))
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ex， x≤0,ln x， x>0))，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是______．
【解析】 (1)由题意知方程ax＝x2＋1在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))上有解，设t＝x＋eq \f(1,x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3))).所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(10,3))).
(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.
【答案】 (1)D (2)[－1，＋∞)
1．函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
解析：选C．由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（1）0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－a0，))
解得00，,－x2－2x，x≤0))的图象，如图所示．
由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得0