高中数学高考第8讲　曲线与方程

这是一份高中数学高考第8讲　曲线与方程，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.方程(2x＋3y－1)(eq \r(x－3)－1)＝0表示的曲线是( )
A.两条直线 B.两条射线
C.两条线段 D.一条直线和一条射线
解析 原方程可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y－1＝0，,x－3≥0))或eq \r(x－3)－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.
答案 D
2.(2017·衡水模拟)若方程x2＋eq \f(y2,a)＝1(a是常数)，则下列结论正确的是( )
A.任意实数a方程表示椭圆B.存在实数a方程表示椭圆
C.任意实数a方程表示双曲线D.存在实数a方程表示抛物线
解析 当a>0且a≠1时，方程表示椭圆，故选B.
答案 B
3.(2017·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )
A.eq \f(4x2,21)－eq \f(4y2,25)＝1 B.eq \f(4x2,21)＋eq \f(4y2,25)＝1
C.eq \f(4x2,25)－eq \f(4y2,21)＝1 D.eq \f(4x2,25)＋eq \f(4y2,21)＝1
解析 ∵M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆.
∴a＝eq \f(5,2)，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝eq \f(21,4)，
∴M的轨迹方程为eq \f(4x2,25)＋eq \f(4y2,21)＝1.
答案 D
4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是( )
A.y2＝2x B.(x－1)2＋y2＝4
C.y2＝－2x D.(x－1)2＋y2＝2
解析 如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝eq \r(|MA|2＋|PA|2)＝eq \r(2)，
即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
答案 D
5.平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足eq \(OC,\s\up6(→))＝λ1eq \(OA,\s\up6(→))＋λ2eq \(OB,\s\up6(→))(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆
C.圆 D.双曲线
解析 设C(x，y)，因为eq \(OC,\s\up6(→))＝λ1eq \(OA,\s\up6(→))＋λ2eq \(OB,\s\up6(→))，
所以(x，y)＝λ1(3，1)＋λ2(－1，3)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3λ1－λ2，,y＝λ1＋3λ2，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ1＝\f( y＋3x,10)，,λ2＝\f(3y－x,10)，))又λ1＋λ2＝1，
所以eq \f(y＋3x,10)＋eq \f(3y－x,10)＝1，即x＋2y＝5 ，
所以点C的轨迹为直线，故选A.
答案 A
二、填空题
6.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为__________.
解析 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，
得eq \r(（x＋2）2＋y2)＝2eq \r(（x－1）2＋y2)，
∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.
∴P的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆.
即轨迹所包围的面积等于4π.
答案 4π
7.已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若eq \(RA,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))，则点P的轨迹方程为________.
解析 设P(x，y)，R(x1，y1)，由eq \(RA,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))知，点A是线段RP的中点，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋x1,2)＝1，,\f( y＋y1,2)＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝2－x，,y1＝－y.))
∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，
∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.
答案 y＝2x
8.在△ABC中，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|eq \(BD,\s\up6(→))|－|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)，则顶点A的轨迹方程为________.
解析 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点.
则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，
|AE|＝|AF|.
∴|AB|－|AC|＝2eq \r(2)＜|BC|＝4，
∴点A的轨迹为以B，C的焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝eq \r(2)，c＝2，∴b＝eq \r(2)，
∴轨迹方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1(x＞eq \r(2)).
答案 eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1(x＞eq \r(2))
三、解答题
9.如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2，1