高中数学高考第8章 §8 1　直线的方程

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考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
知识梳理
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则eq \(AB,\s\up6(→))就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α0，
因为直线l过点M(2,1)，
所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，
则1＝eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(2,ab))，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为eq \f(1,2)×ab＝eq \f(1,2)×8＝4，
当且仅当eq \f(2,a)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，
即x＋2y－4＝0.
延伸探究
1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解 由本例方法二知，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))
＝3＋eq \f(a,b)＋eq \f(2b,a)≥3＋2eq \r(2)，
当且仅当a＝2＋eq \r(2)，b＝1＋eq \r(2)时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋eq \r(2)y＝2＋eq \r(2).
2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解 方法一 由本例方法一知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1－2k)(k＜0)．
所以|MA|·|MB|＝eq \r(\f(1,k2)＋1)·eq \r(4＋4k2)
＝2×eq \f(1＋k2,|k|)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－k＋\f(1,－k)))≥4.
当且仅当－k＝－eq \f(1,k)，
即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二 由本例方法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1.
所以|MA|·|MB|＝|eq \(MA,\s\up6(→))|·|eq \(MB,\s\up6(→))|
＝－eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
教师备选
如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，但△EFA内部为文物保护区，不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
解 如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则E(30,0)，F(0,20)，
∴直线EF的方程为eq \f(x,30)＋eq \f(y,20)＝1.
易知当矩形草坪的两邻边在BC，CD上，且一个顶点在线段EF上时，可使草坪面积最大，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，
设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)，
又eq \f(m,30)＋eq \f(n,20)＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20－eq \f(2,3)m，
∴S＝(100－m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(80－20＋\f(2,3)m))
＝－eq \f(2,3)(m－5)2＋eq \f(18 050,3)(0≤m≤30)，
∴当m＝5时，S有最大值，此时eq \f(|EP|,|PF|)＝5，
∴当矩形草坪的两邻边在BC，CD上，一个顶点P在线段EF上，且|EP|＝5|PF|时，草坪面积最大．
思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
跟踪训练3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
(1)证明 直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1.))
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．
(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)1，))
解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)0，))
解得k>0.
∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|
＝eq \f(1,2)·eq \f(1＋2k2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4))
≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
课时精练
1．已知直线l过点(－2,1)，且倾斜角是eq \f(π,2)，则直线l的方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．y＝－eq \f(1,2)x
C．x＋2＝0 D．y－1＝0
答案 C
解析 由于直线l过点(－2,1)，且倾斜角是eq \f(π,2)，则直线l的方程为x＝－2，即x＋2＝0.
2．(2022·芜湖模拟)倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为( )
A．y＝－eq \r(3)x＋2 B．y＝－eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋2 D．y＝eq \r(3)x－2
答案 B
解析 斜率为tan 120°＝－eq \r(3)，利用斜截式直接写出方程，即y＝－eq \r(3)x－2.
3．过点(－1,0)，且方向向量为a＝(5，－3)的直线的方程为( )
A．3x＋5y－3＝0 B．3x＋5y＋3＝0
C．3x＋5y－1＝0 D．5x－3y＋5＝0
答案 B
解析 方法一 设直线上任意一点P(x，y)，则向量(x＋1，y)与a＝(5，－3)平行，
则－3(x＋1)－5y＝0，即3x＋5y＋3＝0.
方法二 因为直线的方向向量为a＝(5，－3)，
所以所求直线的斜率k＝－eq \f(3,5)，
故所求直线的方程为y＝－eq \f(3,5)(x＋1)，
即3x＋5y＋3＝0.
4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有( )
A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0
C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
答案 A
解析 因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a＞0，在y轴上的截距c＞0.
5．(2022·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为( )
A．0° B．1° C．2° D．3°
答案 C
解析 ∵O，O3都为五角星的中心点，
∴OO3平分第三颗小星的一个角，
又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，
过O3作x轴的平行线O3E，如图，
则∠OO3E＝α≈16°，
∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.
6．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )
A．－1＜k＜eq \f(1,5) B．k＞1或k＜eq \f(1,2)
C．k＞1或k＜eq \f(1,5) D．k＞eq \f(1,2)或k＜－1
答案 D
解析 设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－eq \f(2,k)，
令－3＜1－eq \f(2,k)＜3，
解不等式可得k>eq \f(1,2)或k0，且A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
答案 16
解析 根据A(a，0)，B(0，b)确定直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，又因为C(－2，－2)在该直线上，
故eq \f(－2,a)＋eq \f(－2,b)＝1，
所以－2(a＋b)＝ab.
又因为ab>0，故a