高中数学高考第10讲 对数与对数函数（教师版）

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知识梳理
1．对数
2．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象与性质
核心素养分析
幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本讲的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。
题型归纳
题型1 对数式的化简与求值
【例1-1】（2020•枣庄模拟）已知，若，，则
A．B．2C．D．4
【分析】对两边取以为底的对数得，同理，代入，即可求出的值．
【解答】解：对两边取以为底的对数，得，即，
同理有：，
代入，得，
因为，所以，
所以，，
故选：．
【例1-2】（2019秋•巢湖市期末）计算：
A．1B．4C．5D．7
【分析】利用指数对数运算性质即可得出．
【解答】解：原式
．
故选：．
【跟踪训练2-1】（2020春•兴宁区校级期末）计算： ．
【分析】进行对数的运算即可．
【解答】解：原式．
故答案为：0．
【跟踪训练2-2】（2020•温州模拟）著实数，满足，则 ， ．
【分析】由，可得，．即可得出．
【解答】解：由，
，．
．
故答案为：2，2．
【名师指导】
对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
题型2 对数函数的图象及应用
【例2-1】（2020春•吉林期末）函数的图象是
A．B．
C．D．
【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数的图象可由函数的图象x轴下方的部分翻折到x轴上部而得到，故首先要研究清楚函数的图象，由图象特征选出正确选项
【解答】解：由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与x轴的交点是，
故函数的图象与x轴的交点是，即函数的图象与x轴的公共点是，
考察四个选项中的图象只有选项符合题意
故选：．
【例2-2】（2020•九江三模）如图所示，正方形的四个顶点在函数，，的图象上，则 ．
【分析】设出各点坐标，根据平行于轴得到，再结合平行于轴得到，可得，，再结合边长相等即可得到结论．
【解答】解：设，，，，，，，，
则，，
又，，即，，
为正方形，；
可得，
解得．
故答案为：2．
【跟踪训练2-1】（2020•怀柔区一模）函数的图象是
A．B．
C．D．
【分析】要想判断函数的图象，我们可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象．
【解答】解：
则函数的定义域为：，即函数图象只出现在轴右侧；
值域为：即函数图象只出现在轴上方；
在区间上递减的曲线，在区间上递增的曲线．
分析、、、四个答案，只有满足要求
故选：．
【跟踪训练2-2】（2019•衡水二模）如图，已知过原点的直线与函数的图象交于，两点，分别过，作轴的平行线与函数图象交于，两点，若轴，则四边形的面积为 ．
【分析】设出、的坐标，求出、的斜率相等利用三点共线得出、的坐标之间的关系．再根据平行轴，、纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出、的坐标之间的关系即可求出的坐标，从而解出、、的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可．
【解答】解：设点、的横坐标分别为、由题设知，，．
则点、纵坐标分别为、．
因为、在过点的直线上，所以，
点、坐标分别为，，，．
由于平行于轴知
，
即得，
．
代入得．
由于知，
．
考虑解得．
于是点的坐标为，即，
，，，，，．
梯形的面积为．
故答案为：．
【名师指导】
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
题型3 对数函数的性质及应用
【例3-1】（2020•新课标Ⅲ）已知，．设，，，则
A．B．C．D．
【分析】根据，可得，然后由和，得到，再确定，，的大小关系．
【解答】解：，；
，，，；
，，，，
综上，．
故选：．
【例3-2】（2019•陆良县一模）已知函数，则使得的的取值范围是
A．B．
C．D．
【分析】判断函数是定义域上的偶函数，且在时单调递增，
把不等式转化为，求出解集即可．
【解答】解：函数为定义域上的偶函数，
且在时，函数单调递增，
等价为，
即，
两边平方得，
即，
解得；
使得的的取值范围是，．
故选：．
【例3-3】（2019秋•静宁县校级月考）已知函数．
（1）若的定义域为，求的取值范围；
（2）若，求单调区间；
（3）是否存在实数，使在上为增函数？若存在，求出的范围？若不存在，说明理由．
【分析】（1）恒成立，△
（2）求出转化为二次函数问题
（3）根据符合函数单调性求解．
【解答】解：（1）函数的定义域为，
恒成立，△，
即的取值范围
（2），
．，或
设，对称轴，
在上为减函数，在上为增函数
根据符合函数单调性规律可判断：
在上为增函数，在上为减函数
（3）函数．
设，
可知在上为减函数，在上为增函数
在上为增函数
且，且，不可能成立．
不存在实数，使在上为增函数．
【跟踪训练3-1】（2020•昆明一模）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【分析】结合对数函数的特殊函数值及单调性即可比较大小．
【解答】解：，
，，，
．
故选：．
【跟踪训练3-2】（2020春•安徽期末）已知，，，则
A．B．C．D．
【分析】利用对数函数的性质直接求解．
【解答】解：，
，
，
，，．
．
故选：．
【跟踪训练3-3】（2019秋•武邑县校级期中）已知函数且，满足，则的解集是
A．，B．
C．D．，
【分析】根据函数的单调性求出的范围，
【解答】解：，
而，
故在递减，
故，
，
即，解得：或，
故选：．
【跟踪训练3-4】已知函数f(x)＝lga(3－ax)．
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
【解】 (1)因为a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．
所以3－2a>0.所以a又a>0且a≠1，所以a∈(0，1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
(2)t(x)＝3－ax，因为a>0，
所以函数t(x)为减函数．
因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，
所以y＝lgat为增函数，
所以a>1，当x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝lga(3－a)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－2a>0，,lga（3－a）＝1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<\f(3,2)，,a＝\f(3,2).))
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
【名师指导】
1.比较对数值大小的常见类型及解题方法
2.求解对数不等式的两种类型及方法
3.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，lgaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝lgaN(a>0，且a≠1)
lga1＝0，lgaa＝1，algaN＝N(a>0，且a≠1)
运算法则
lga(M·N)＝lgaM＋lgaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN
lgaMn＝nlgaM(n∈R)
换底公式
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)
底数
a>1
0图
象
性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1，0)，即恒有lga1＝0
当x>1时，恒有y>0；
当0当x>1时，恒有y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1，0等中间量进行比较
类型
方法
lgax>lgab
借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0lgax>b
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解