高中数学高考第10章 §10 7　离散型随机变量及其分布列、数字特征

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知识梳理
1．离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
3．离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
4．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
(1)均值
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq \i\su(i＝1,n, )(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
5．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
常用结论
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数是随机变量．( √ )
(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × )
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
(4)方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．( √ )
教材改编题
1．设随机变量X的分布列如下：
则p为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,12)
答案 C
解析 由分布列的性质知，
eq \f(1,12)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＋p＝1，
∴p＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).
2．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________．
答案 0
解析 因为P(X＝c)＝1，
所以E(X)＝c×1＝c，
所以D(X)＝(c－c)2×1＝0.
3．已知随机变量X的分布列如下：
若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________．
答案 eq \f(7,3)
解析 E(X)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，
则E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq \f(2,3)＋3＝eq \f(7,3).
题型一 分布列的性质
例1 (1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q等于( )
A．1 B.eq \f(\r(2),2)或－eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),2)
答案 D
解析 由离散型随机变量分布列的性质得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋1－q＋q－q2＝1，,0≤1－q≤\f(1,2)，,0≤q－q2≤\f(1,2)，))
解得q＝eq \f(\r(2),2).
(2)(多选)设随机变量ξ的分布列为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则( )
A．a＝eq \f(1,15)
B．Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)<ξ<\f(4,5)))＝eq \f(1,5)
C．Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)<ξ<\f(1,2)))＝eq \f(2,15)
D．P(ξ＝1)＝eq \f(3,10)
答案 AB
解析 对于选项A，
∵随机变量ξ的分布列为
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(1,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(2,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(3,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(4,5)))＋P(ξ＝1)
＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，
解得a＝eq \f(1,15)，故A正确；
对于B，易知
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)<ξ<\f(4,5)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(3,5)))＝3×eq \f(1,15)＝eq \f(1,5)，
故B正确；
对于C，易知
Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)<ξ<\f(1,2)))＝Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(1,5)))＋Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ＝\f(2,5)))
＝eq \f(1,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(1,5)，
故C错误；
对于D，易知P(ξ＝1)＝5×eq \f(1,15)＝eq \f(1,3)，故D错误．
教师备选
1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则常数a的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,3)或eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)或－eq \f(2,3)
答案 A
解析 由分布列的性质可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤9a2－a≤1，,0≤3－8a≤1，,9a2－a＋3－8a＝1，))解得a＝eq \f(1,3).
2．离散型随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝eq \f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,6)
答案 D
解析 因为P(X＝n)＝eq \f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，
所以eq \f(a,2)＋eq \f(a,6)＋eq \f(a,12)＋eq \f(a,20)＝1，所以a＝eq \f(5,4)，
所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)思维升华 离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
跟踪训练1 (1)若随机变量X的分布列如下表，则mn的最大值是( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,8)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 由分布列的性质，
得m＋n＝eq \f(1,2)，m≥0，n≥0，
所以mn≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))2＝eq \f(1,16)，
当且仅当m＝n＝eq \f(1,4)时，等号成立．
(2)随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝______，公差d的取值范围是______．
答案 eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)))
解析 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，所以b＝eq \f(1,3)，
所以P(|X|＝1)＝a＋c＝eq \f(2,3).
又a＝eq \f(1,3)－d，c＝eq \f(1,3)＋d，
根据分布列的性质，
得0≤eq \f(1,3)－d≤eq \f(2,3)，0≤eq \f(1,3)＋d≤eq \f(2,3)，
所以－eq \f(1,3)≤d≤eq \f(1,3).
题型二 离散型随机变量的分布列及数字特征
例2 (1)(多选)设离散型随机变量X的分布列为
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有( )
A．q＝0.1
B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8
D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
答案 ACD
解析 因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，
所以q＝0.1，故A正确；
由已知可得E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；
因为Y＝2X＋1，
所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，
D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．
(2)(2022·昆明模拟)从1,2,3,4,5这组数据中，随机取出三个不同的数，用X表示取出的数字的最小数，则随机变量X的均值E(X)等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,3) C.eq \f(7,4) D.eq \f(9,5)
答案 A
解析 由题意知，X的可能取值为1,2,3，而随机取3个数的取法有Ceq \\al(3,5)种，
当X＝1时，取法有Ceq \\al(2,4)种，
即P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,5))＝eq \f(3,5)；
当X＝2时，取法有Ceq \\al(2,3)种，
即P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(3,5))＝eq \f(3,10)；
当X＝3时，取法有Ceq \\al(2,2)种，
即P(X＝3)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(3,5))＝eq \f(1,10)；
∴E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2).
教师备选
1．已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋1，且随机变量X的分布列如下：
则随机变量Y的方差D(Y)等于( )
A.eq \f(5,9) B.eq \f(20,9)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(29,9)
答案 B
解析 由分布列的性质，得a＝1－eq \f(1,6)－eq \f(1,3)＝eq \f(1,2)，
所以E(X)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(4,3)，
所以D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－\f(4,3)))2×eq \f(1,6)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(4,3)))2×eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(4,3)))2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,9)，
又Y＝2X＋1，所以D(Y)＝4D(X)＝eq \f(20,9).
2．已知m，n为正常数，离散型随机变量X的分布列如表：
若随机变量X的均值E(X)＝eq \f(7,12)，则mn＝________，P(X≤0)＝________.
答案 eq \f(1,18) eq \f(1,3)
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＋\f(1,4)＝1，,n－m＝\f(7,12)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,12)，,n＝\f(2,3)，))
所以mn＝eq \f(1,18)，P(X≤0)＝m＋eq \f(1,4)＝eq \f(1,3).
思维升华 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值．
(2)求ξ取每个值的概率．
(3)写出ξ的分布列．
(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．
跟踪训练2 (2022·邯郸模拟)小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．
表1
表2
(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；
(2)求小张一个月积分不低于8分的概率；
(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X的分布列与均值．
解 (1)小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，
购买虚拟商品不低于100元的概率为eq \f(1,6)，
因此所求概率为eq \f(3,4)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,8).
(2)根据条件，积分不低于8分有两种情况：
①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2,3,4分；
②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，
故小张一个月积分不低于8分的概率为
eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,6)＝eq \f(1,4).
(3)由条件可知X的可能取值为3,4,5.
P(X＝3)＝eq \f(\f(1,3),\f(1,3)＋\f(1,4)＋\f(1,4))＝eq \f(2,5)，
P(X＝4)＝P(X＝5)＝eq \f(\f(1,4),\f(1,3)＋\f(1,4)＋\f(1,4))＝eq \f(3,10)，
即X的分布列如下：
E(X)＝3×eq \f(2,5)＋4×eq \f(3,10)＋5×eq \f(3,10)＝eq \f(39,10).
题型三 均值与方差中的决策问题
例3 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；[切入点：X的取值情况]
(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. [关键点：均值大小比较]
高考改编
某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．
(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．
解 (1)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10，
则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，
P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56，
所以X的分布列为
(2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：
由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值为E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56，
若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0,6,10，
P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，
P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，
P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56，
则Y的均值为
E(Y)＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，
因为E(X)>E(Y)，
所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核．
思维升华 随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
跟踪训练3 (2021·北京)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为eq \f(1,11)，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和均值E(X)；
(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的均值为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
解 (1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的一组每个人进行检测，需要10次，
所以总检测次数为20.
②由题意，X可以取20,30，
P(X＝20)＝eq \f(1,11)，P(X＝30)＝1－eq \f(1,11)＝eq \f(10,11)，
则X的分布列为
所以E(X)＝20×eq \f(1,11)＋30×eq \f(10,11)＝eq \f(320,11).
(2)由题意，Y可以取25,30，
两名感染者在同一组的概率为P1＝eq \f(C\\al(1,20)C\\al(2,2)C\\al(3,98),C\\al(5,100))＝eq \f(4,99)，不在同一组的概率为P1＝eq \f(95,99)，
则E(Y)＝25×eq \f(4,99)＋30×eq \f(95,99)＝eq \f(2 950,99)>E(X)．
课时精练
1．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为( )
A．6 B．5 C．4 D．2
答案 B
解析 由于是逐次试验，可能最后一枚钥匙才能打开锁，即前5次都打不开锁，所以试验次数X的最大可能取值为5.
2．若随机变量X的分布列为
则X的均值E(X)等于( )
A．2a＋b B．a＋2b C．2 D．3
答案 C
解析 E(X)＝1×a＋2×b＋3×a＝2(2a＋b)，由分布列的性质可知2a＋b＝1，所以E(X)＝2.
3．已知随机变量X的分布列是
则E(2X＋a)等于( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(7,3) C.eq \f(7,2) D.eq \f(23,6)
答案 C
解析 由分布列的性质可得eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋a＝1，
解得a＝eq \f(1,6)，
所以E(X)＝1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,6)＝eq \f(5,3)，
因此E(2X＋a)＝Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2X＋\f(1,6)))＝2E(X)＋eq \f(1,6)＝2×eq \f(5,3)＋eq \f(1,6)＝eq \f(7,2).
4．(2022·南平模拟)某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：
更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析( )
A．不更换设备
B．更换为A设备
C．更换为B设备
D．更换为A或B设备均可
答案 C
解析 设更换为A品牌设备使用年限为X，
则E(X)＝2×0.4＋3×0.3＋4×0.2＋5×0.1＝3，更换为A品牌设备年均收益为3×100－60＝240(万元)；
设更换为B品牌设备使用年限为Y，
则E(Y)＝2×0.1＋3×0.3＋4×0.4＋5×0.2＝3.7，更换为B品牌设备年均收益为3.7×100－90＝280(万元).280>240，所以更换为B品牌设备．
5．(多选)(2022·烟台模拟)中华人民共和国第十四届运动会于2021年9月在陕西省举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，第十四届全国运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有( )
A．设事件A：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则P(A)＝eq \f(6,7)
B．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则P(B|A)＝eq \f(2,17)
C．用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E(X)＝eq \f(12,7)
D．用Y表示抽取的三人中男志愿者的人数，则D(Y)＝eq \f(24,49)
答案 ABD
解析 对于A，所有可能的情况有Ceq \\al(3,7)＝35(种)，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,3)＝30(种)，
故P(A)＝eq \f(30,35)＝eq \f(6,7)，故A正确；
对于B，P(AB)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，
P(A)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,3)＋C\\al(2,4)C\\al(1,3)＋C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(34,35)，
所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(4,34)＝eq \f(2,17)，
故B正确；
对于C，X的所有可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,4),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,4),C\\al(3,7))＝eq \f(12,35)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(1,35)，
所以E(X)＝0×eq \f(4,35)＋1×eq \f(18,35)＋2×eq \f(12,35)＋3×eq \f(1,35)＝eq \f(9,7)，故C错误；
对于D，Y的所有可能取值为0,1,2,3，
则P(Y＝0)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(1,35)，
P(Y＝1)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,4),C\\al(3,7))＝eq \f(12,35)，
P(Y＝2)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,4),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，
P(Y＝3)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，
则E(Y2)＝0×eq \f(1,35)＋1×eq \f(12,35)＋4×eq \f(18,35)＋9×eq \f(4,35)＝eq \f(24,7)，
E(Y)＝0×eq \f(1,35)＋1×eq \f(12,35)＋2×eq \f(18,35)＋3×eq \f(4,35)＝eq \f(12,7)，
则D(Y)＝E(Y2)－(E(Y))2＝eq \f(24,7)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,7)))2＝eq \f(24,49)，
故D正确．
6．(多选)(2022·永州模拟)已知eq \f(1,4)A．P(X＝2)的值最大
B．P(X＝0)C．E(X)随着p的增大而减小
D．E(X)随着p的增大而增大
答案 BD
解析 当p＝eq \f(1,2)时，P(X＝2)＝eq \f(1,4)，
P(X＝1)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)>eq \f(1,4)，A错误；
因为eq \f(1,4)所以p－p2＝p(1－p)<1－p，
即P(X＝0)E(X)＝1－p＋2p2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p－\f(1,4)))2＋eq \f(7,8)，
因为eq \f(1,4)7．(2022·无锡质检)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则X的均值为__________．
答案 1＋eq \f(\r(2),2)
解析 由eq \f(1,2)＋1－q＋q－q2＝1得，
q2＝eq \f(1,2)，q＝eq \f(\r(2),2)，
∴E(X)＝eq \f(1,2)＋2－2q＋3q－3q2
＝eq \f(5,2)＋q－3q2
＝eq \f(5,2)＋eq \f(\r(2),2)－eq \f(3,2)
＝1＋eq \f(\r(2),2).
8．某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为eq \f(3,4)，乙、丙科目合格的概率相等，且3个科目是否合格相互独立．设小张3科中合格的科目数为X，若P(X＝3)＝eq \f(3,16)，则E(X)＝__________.
答案 eq \f(7,4)
解析 乙、丙科目合格的概率相等，可设乙、丙科目合格的概率均为p，
则P(X＝3)＝eq \f(3,4)p2＝eq \f(3,16)，
解得p＝eq \f(1,2)，
故P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＝eq \f(1,16)，
P(X＝1)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(3,4)＝eq \f(5,16)，
P(X＝2)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(3,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,2)×eq \f(3,4)＝eq \f(7,16)，
故X的分布列为
E(X)＝0×eq \f(1,16)＋1×eq \f(5,16)＋2×eq \f(7,16)＋3×eq \f(3,16)＝eq \f(7,4).
9．2021年，“十四五”开启全面建设社会主义现代化国家新征程，这一年，中国共产党迎来建党100周年．某企业开展“学党史，颂党恩，跟党走”的知识问答活动，该企业收集了参与此次知识问答活动的员工得分情况，得到如下频率分布表：
其中样本的平均数是73.6.(假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替)
(1)求a，b的值；
(2)根据此次知识问答活动的得分，评出四个等级，并根据等级给予如下的奖励：
每次抽奖的中奖率均为eq \f(1,2)，每次中奖的奖金都为100元，求参与此次知识问答活动的某员工所获奖金X的均值．
解 (1)因为样本的平均数是73.6，
所以45×0.04＋55×0.10＋65a＋75b＋85×0.20＋95×0.12＝73.6，
即65a＋75b＝37.9，①
又a＋b＝1－0.04－0.10－0.20－0.12＝0.54，②
由①②解得a＝0.26，b＝0.28.
(2)当该员工的评定等级为优秀时，奖金的均值为eq \f(1,2)×4×100＝200，
当该员工的评定等级为良好时，奖金的均值为eq \f(1,2)×2×100＝100，
当该员工的评定等级为合格时，奖金的均值为eq \f(1,2)×1×100＝50，
当该员工的评定等级为不合格时，奖金的均值为eq \f(1,2)×0×100＝0，
E(X)＝0×0.14＋50×0.26＋100×0.28＋200×0.32＝105，
故参与此次知识问答活动的某员工所获奖金X的均值为105元．
10．(2022·广州模拟)已知袋中装有大小、形状都相同的小球共5个，其中3个红球，2个白球．
(1)若从袋中任意摸出4个球，求恰有2个红球的概率；
(2)若每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球即停止摸球，这样的摸球最多四次，η1表示停止时的摸球次数；又若每次随机地摸出一个球，记下颜色后不放回，摸到白球即停止摸球，η2表示停止时的摸球次数．分别求出η1和η2的分布列，并计算η1≠η2的概率．
解 (1)设事件A为“从袋中任意摸4个球，恰有2个红球”，
则P(A)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(4,5))＝eq \f(3,5).
(2)η1的所有可能取值为1,2,3,4，
则P(η1＝1)＝eq \f(C\\al(1,2),C\\al(1,5))＝eq \f(2,5)，
P(η1＝2)＝eq \f(3×2,5×5)＝eq \f(6,25)，
P(η1＝3)＝eq \f(3×3×2,5×5×5)＝eq \f(18,125)，
P(η1＝4)＝eq \f(3×3×3×5,5×5×5×5)＝eq \f(27,125)，
η1的分布列为
η2的所有可能取值为1,2,3,4，
则P(η2＝1)＝eq \f(C\\al(1,2),C\\al(1,5))＝eq \f(2,5)，
P(η2＝2)＝eq \f(3×2,5×4)＝eq \f(3,10)，
P(η2＝3)＝eq \f(3×2×2,5×4×3)＝eq \f(1,5)，
P(η2＝4)＝eq \f(3×2×1×2,5×4×3×2)＝eq \f(1,10)，
η2的分布列为
从而P(η1≠η2)＝1－P(η1＝η2)
＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)×\f(2,5)＋\f(6,25)×\f(3,10)＋\f(18,125)×\f(1,5)＋\f(27,125)×\f(1,10)))
＝eq \f(897,1 250).
11．某公司圆满完成年初制定的生产目标，为答谢各位员工一年来的辛勤工作，公司决定召开年终总结联欢晚会，在联欢晚会上准备举行一个抽奖游戏，规定每位员工从一个装有4张奖券的箱子中，一次性随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元，其余3张面值均为40元，则每位员工所获得的奖励额的均值是( )
A．80元 B．100元
C．120元 D．140元
答案 B
解析 设每位员工所获得的奖励额为X元，则X所有可能的取值为80,120，
且P(X＝80)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,4))＝eq \f(1,2)，
P(X＝120)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,1),C\\al(2,4))＝eq \f(1,2)，
所以每位员工所获得的奖励额的均值
E(X)＝80×eq \f(1,2)＋120×eq \f(1,2)＝100.
12．(2022·榆林模拟)设0则当a在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内增大时，( )
A．E(ξ)增大，D(ξ)增大B．E(ξ)增大，D(ξ)减小
C．E(ξ)减小，D(ξ)增大D．E(ξ)减小，D(ξ)减小
答案 D
解析 由分布列中概率之和为1，
可得a＋b＝eq \f(1,2)，
∴E(ξ)＝－eq \f(1,2)＋b＝－eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－a))＝－a，
∴当a在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内增大时，E(ξ)减小，
又由D(ξ)＝(－1＋a)2×eq \f(1,2)＋(0＋a)2×a＋(1＋a)2×b＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(5,4)，
可知当a在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内增大时，D(ξ)减小．
13．(多选)(2022·烟台质检)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是( )
A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为eq \f(5,18)
B．四人去了同一餐厅就餐的概率为eq \f(1,1 296)
C．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为eq \f(25,216)
D．四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为eq \f(2,3)
答案 ACD
解析 四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有Aeq \\al(4,6)种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为eq \f(A\\al(4,6),64)＝eq \f(5,18)，故A正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为eq \f(6,64)＝eq \f(1,216)，故B错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为eq \f(C\\al(2,4)×52,64)＝eq \f(25,216)，故C正确；设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，
则ξ＝0,1,2,3,4.
则P(ξ＝0)＝eq \f(54,64)，P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)53,64)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)52,64)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,4)×5,64)，
P(ξ＝4)＝eq \f(1,64)，
则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为
则四人中去第一餐厅就餐的人数的均值E(ξ)＝0×eq \f(54,64)＋1×eq \f(C\\al(1,4)53,64)＋2×eq \f(C\\al(2,4)52,64)＋3×eq \f(C\\al(3,4)×5,64)＋4×eq \f(1,64)＝eq \f(2,3)，故D正确．
14．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝______.
答案 eq \f(3,10)
解析 由题意可知，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2)C\\al(1,4)＋C\\al(2,3)C\\al(2,2),C\\al(2,4)C\\al(2,6))＝eq \f(3,10).
15．(多选)设随机变量ξ的分布列如表：
则下列说法正确的是( )
A．当{an}为等差数列时，a2＋a2 021＝eq \f(1,1 011)
B．数列{an}的通项公式可能为an＝eq \f(2 023,2 022nn＋1)
C．当数列{an}满足an＝eq \f(1,2n)(n＝1,2，…，2 021)时，a2 022＝eq \f(1,22 022)
D．当数列{an}满足P(ξ≤k)＝k2ak(k＝1,2，…，2 022)时，(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2)
答案 ABD
解析 对于A，因为{an}为等差数列，
所以S2 022＝eq \f(2 022a1＋a2 022,2)＝1，
则有a2＋a2 021＝a1＋a2 022＝eq \f(1,1 011)，
故A正确；
对于B，若数列{an}的通项公式为
an＝eq \f(2 023,2 022nn＋1)＝eq \f(2 023,2 022)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，
则S2 022＝eq \f(2 023,2 022)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,2 022)－\f(1,2 023)))
＝eq \f(2 023,2 022)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2 023)))＝1，
故B正确；
对于C，因为an＝eq \f(1,2n)，
所以S2 022＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,22 021))),1－\f(1,2))＋a2 022
＝1－eq \f(1,22 021)＋a2 022＝1，
则有a2 022＝eq \f(1,22 021)，故C错误；
对于D，令Sk＝P(ξ≤k)＝k2ak，
则ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)2ak＋1－k2ak，
故eq \f(ak＋1,ak)＝eq \f(k,k＋2)，
所以eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n＋1)(n≥2)，
即(n＋1)an＝(n－1)an－1(n≥2)，故D正确．
16．(2022·莆田质检)某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A，B两个等级．三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为A级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为A级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为B级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为A级的概率如表一所示，一件产品的利润(单位：万元)如表二所示：
表一
表二
(1)用η表示一件产品的利润，求η的分布列和均值；
(2)因第一工序加工结果为A级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加x(0≤x≤4)万元(即每件产品利润相应减少x万元)时，第一工序加工结果为A级的概率增加eq \f(1,9)x.问该改良方案对一件产品利润的均值是否会产生影响？并说明理由．
解 (1)由题意可知，η的所有可能取值为23,8,5，
产品为一等品的概率为0.5×0.75×0.8＝0.3，
产品为二等品的概率为(1－0.5×0.75)×0.8＝0.5，
产品为三等品的概率为1－0.3－0.5＝0.2，
所以η的分布列为
E(η)＝23×0.3＋8×0.5＋5×0.2＝11.9.
(2)改良方案对一件产品的利润的均值不会产生影响，理由如下：
在改良过程中，每件产品检测成本增加x(0≤x≤4)万元，第一工序加工结果为A级的概率增加eq \f(1,9)x，
设改良后一件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为23－x,8－x,5－x，
所以一等品的概率为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.5＋\f(1,9)x))×0.75×0.8＝0.3＋eq \f(x,15)，
二等品的概率为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.5＋\f(x,9)))×0.75))×0.8＝0.5－eq \f(x,15)，
三等品的概率为1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.3＋\f(x,15)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.5－\f(x,15)))＝0.2，
所以E(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.3＋\f(x,15)))(23－x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.5－\f(x,15)))(8－x)＋0.2×(5－x)
＝6.9－0.3x＋eq \f(23,15)x－eq \f(1,15)x2＋4－0.5x－eq \f(8,15)x＋eq \f(1,15)x2＋1－0.2x＝11.9，
因为E(ξ)＝E(η)，
所以改良方案对一件产品的利润的均值不会产生影响．X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
X
1
2
3
4
5
P
eq \f(1,12)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
p
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
1－q
q－q2
X
0
1
P
9a2－a
3－8a
X
0
2
4
P
m
0.5
n
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
X
0
1
2
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
a
X
－1
0
1
P
m
eq \f(1,4)
n
购买实物商品(元)
(0,100)
[100,500)
[500,1 000)
积分
2
4
6
概率
eq \f(1,4)
eq \f(1,2)
eq \f(1,4)
购买虚拟商品(元)
(0,20)
[20,50)
[50,100)
[100,200)
积分
1
2
3
4
概率
eq \f(1,3)
eq \f(1,4)
eq \f(1,4)
eq \f(1,6)
X
3
4
5
P
eq \f(2,5)
eq \f(3,10)
eq \f(3,10)
X
0
4
10
P
0.2
0.24
0.56
X
20
30
P
eq \f(1,11)
eq \f(10,11)
X
1
2
3
P
a
b
a
X
1
2
3
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
a
A品牌的使用年限
2
3
4
5
概率
0.4
0.3
0.2
0.1
B品牌的使用年限
2
3
4
5
概率
0.1
0.3
0.4
0.2
X
0
1
2
P
p－p2
1－p
p2
X
1
2
3
P
eq \f(1,2)
1－q
q－q2
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,16)
eq \f(5,16)
eq \f(7,16)
eq \f(3,16)
得分
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频率
0.04
0.10
a
b
0.20
0.12
得分
(0,60)
[60，70)
[70，80)
[80，100]
评定等级
不合格
合格
良好
优秀
抽奖次数
0
1
2
4
η1
1
2
3
4
P
eq \f(2,5)
eq \f(6,25)
eq \f(18,125)
eq \f(27,125)
η2
1
2
3
4
P
eq \f(2,5)
eq \f(3,10)
eq \f(1,5)
eq \f(1,10)
ξ
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
a
b
ξ
0
1
2
3
4
P
eq \f(54,64)
eq \f(C\\al(1,4)53,64)
eq \f(C\\al(2,4)52,64)
eq \f(C\\al(3,4)×5,64)
eq \f(1,64)
ξ
1
2
3
…
2 021
2 022
P
a1
a2
a3
…
a2 021
a2 022
工序
第一工序
第二工序
第三工序
概率
0.5
0.75
0.8
等级
一等品
二等品
三等品
利润
23
8
5
η
23
8
5
P
0.3
0.5
0.2