高中数学高考第11讲 立体几何中的探索性问题（原卷版）

这是一份高中数学高考第11讲 立体几何中的探索性问题（原卷版），共9页。试卷主要包含了如图，平面，，，，，，如图等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（Ⅰ）若点是棱的中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：若二面角为，试求的值．
2．如图，平面，，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的正弦值为，求线段的长．
3．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求点到平面的距离；
（2）设是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求二面角的余弦值．
高考预测二：翻折问题
4．如图，是等边三角形，，，将沿折叠到△的位置，使得．
（1）求证：；
（2）若，分别是，的中点，求二面角的余弦值．
5．图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连结，如图2．
（1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面；
（2）求图2中的二面角的大小．
6．正方形的边长为2，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
7．如图，在中，，，为边上一动点，交于点，现将沿翻折至，使平面平面．
（1）当棱锥的体积最大时，求的长；
（2）若点为的中点，为的中点，求证：平面．
8．如图（1），在中，，，，、分别是、上的点，且，将沿折起到△的位置，使，如图（2）．
（1）求证：平面
（2）当点在何处时，三棱锥体积最大，并求出最大值；
（3）当三棱锥体积最大时，求与平面所成角的大小．
9．如图（1），在中，，，，，分别是，上的点，且，．将沿折起到△的位置，使，如图（2）．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面平面．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
10．如图1，，，过动点作，垂足在线段上且异于点，连接，沿将折起，使（如图2所示）．记，为三棱锥的体积．
（1）求的表达式；
（2）设函数，当为何值时，取得最小值，并求出该最小值；
（3）当取得最小值时，设点，分别为棱，的中点，试在棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小．
高考预测三：存在性问题
11．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设，是否存在实数使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
12．在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，确定点的位置；如果不存在，说明理由．
13．如图，四棱锥层中，平面，，，．且，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得平面上平面？如果存在点，请指出点的位置；如果不存在，请说明理由．
14．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，请说明理由．
15．如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．
（Ⅰ）求证：．
（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
高考预测四：开放性问题
16．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）应是平面与直线交于点在平面内，求的值．
17．如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，点为上靠近的三等分点．
（1）求二面角的余弦值；
（2）设点在上，且．判断直线是否在平面内，说明理由．
18．如图，在棱长为2的正方体中，点、、分别为，，的中点，点是正方形的中心．
（1）证明：平面；
（2）若平面和平面的交线为，求二面角．