高中数学高考第13讲 解析几何中的定点定值最值问题（解析版）

这是一份高中数学高考第13讲 解析几何中的定点定值最值问题（解析版），共19页。试卷主要包含了即面积的最小值为2，已知椭圆经过点，且一个焦点为，已知椭圆的离心率为，且过点，，已知椭圆经过点，且离心率为，已知椭圆的左焦点为，为坐标原点等内容，欢迎下载使用。
类型一：弦长或面积问题
1．如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．
（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．
【解析】解：（Ⅰ）抛物线的焦点在抛物线上，
即有，可得，
即有的方程为，
其准线方程为．
（Ⅱ）设，，，，，
，，
的导数为，直线的斜率为，直线的斜率为，
则切线的方程：，
即，又，所以，
同理切线的方程为，
又和都过点，所以，
所以直线的方程为．
联立得，
所以，，
所以．
点到直线的距离．
所以的面积，
所以当时，取最小值为2．即面积的最小值为2．
2．已知椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两个不同的点，，求面积的最大值为坐标原点）
【解析】解：（1）椭圆经过点，且离心率为．
，且，
解得，，
椭圆的方程为．
（2）联立，得，
△，即，
设，，，，则，，
，
到直线的距离，
面积：
．
设，则，
由，得或，
当时，面积取最大值．
3．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不与坐标轴平行的直线交椭圆于，两点，，记直线在轴上的截距为，
求的最大值．
【解析】解：（1）由题意可知：，则，
将代入椭圆方程：，解得：，则，
椭圆的方程：；
（2）设直线的方程为，设，，，，
，整理得：，
由△，解得：，
，，
则，
，解得：，，，则，则，
则，即，
当且仅当，即时，上式取等号，此时，则，满足，
的最大值为．
4．已知椭圆经过点，且一个焦点为．过点作圆的切线交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）将表示为的函数，并求的最大值．
【解析】解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为
椭圆经过点，且一个焦点为．
，
，
椭圆的方程为；
（Ⅱ）由题意知，
当时，切线的方程为，此时；
当时，设为，代入椭圆方程可得
设、的坐标分别为，，，，则，
与圆相切，，即
（当且仅当时取等号）
的最大值为2．
5．已知椭圆的离心率为，且过点，．椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的最小值．
【解析】解：（1）由，求得，
将点，代入椭圆方程可得．
解得，．
椭圆的标准方程：．
（2）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，
代入椭圆方程，并化简得．
设，，，，则，
因为与相交于点，且的斜率为，所以，．
四边形的面积，
当时，上式取等号．
（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
6．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．
（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；
（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）证明：圆即为，
可得圆心，半径，
由，可得，
由，可得，
即为，即有，则，
故的轨迹为以，为焦点的椭圆，
且有，即，，，
则点的轨迹方程为；
（Ⅱ）椭圆，设直线，
由，设，
由可得，
设，，，，
可得，，
则
，
到的距离为，
，
则四边形面积为
，
当时，取得最小值12，又，可得，
即有四边形面积的取值范围是，．
7．已知椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点、在椭圆上，且四边形是矩形，求矩形的面积的最大值
【解析】解：（1）由题意可得，解得，，
故椭圆的方程为．
（2）由题意知直线不垂直于轴时，可设直线，
由，得，△，
设，，，，则，，
又，，
，
，，
设，，则，
，
令，，
在，上单调递增，
设直线与轴交于点，
矩形面积
矩形面积 的最大值为，此时直线．
类型二：涉及坐标、向量数量积等问题
8．已知椭圆的左焦点为，为坐标原点．
求过点、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．
【解析】解：，，
，，．
圆过点、，
圆心在直线上．
设，则圆半径．
由，得，
解得．
所求圆的方程为．
设直线的方程为，
代入，整理得．
直线过椭圆的左焦点，方程有两个不等实根．
记，，，，中点，，
则，，
的垂直平分线的方程为．
令，得．
，，
点横坐标的取值范围为．
9．已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线与曲线交于不同的两点，，若存在点，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】解：（1），，
点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
且，，
，
曲线的方程是．
（2）设，两点坐标分别为，、，，，中点为，．
由，得．
△
，，
，
，
，，
，
，
，韦达定理代入，化简得，
△，解得且，
当时，也满足题意．
综上所述，的取值范围是，
10．如图所示，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．
（Ⅰ）若点的坐标为，，求的值；
（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求实数的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）依题意，是线段的中点，
因为，，，
所以点的坐标为，．
由于点在椭圆上，即有，
解得；
（Ⅱ）设，，则，①
因为是线段的中点，所以，．
因为，所以，
所以，即．②
由①，②消去，整理可得，
．
当且仅当时，上式等号成立．
所以的取值范围是，．
11．已知，，若动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线交轨迹于，两点，若，求直线的斜率的取值范围．
【解析】解：（1）设动点，
则（2分）
由已知得，化简得，即
点的轨迹是椭圆（6分）
（Ⅱ）设过的直线的方程为，，，，
由，得（8分）
在椭圆内，△，（10分）
（12分）
得
（14分）
高考预测二：定值问题
12．已知焦距为的椭圆中心在原点，短轴的一个端点为，点为直线与该椭圆在第一象限内的交点，平行的直线交椭圆与，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线，的斜率分别为，，求证：．
【解析】解：设椭圆的方程为：，．
由题意可得，及，解得，．
椭圆的方程为．
证明：联立，解得，即．
设直线的方程为．，，，．
联立，化为，
，．
，
其分子
，
即．
13．已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，点在直线的上方，若，且直线，分别与轴交于点，，求线段的长度．
【解析】解：（1）由椭圆的离心率，则，
以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8，则，则，
解得：，，
则椭圆的标准方程为：；
（2）设直线的方程，，，，，
则，整理得：，
△，解得：，
，，
则，，
则，
则，
，
，
，
由，则，，
则是等腰直角三角形，则，
线段的长度4．
14．已知椭圆的两个焦点分别为，．点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点的坐标为，点的坐标为，．过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，试求，满足的关系式．
【解析】解：（Ⅰ）依题意，，，所以．
故椭圆的方程为．（4分）
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由解得．
不妨设，，
因为，又，所以，
所以，的关系式为，即．（7分）
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
将代入整理化简得，．
设，，，，则，．（9分）
又，．
所以．（12分）
所以，所以，所以，的关系式为．（13分）
综上所述，，的关系式为．（14分）
15．已知椭圆的两个焦点分别为，，，，以椭圆短轴为直径的圆经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于、两点，设点，记直线，的斜率分别为，，问：是否为定值？并证明你的结论．
【解析】解：（1）椭圆的两个焦点分别为，，，，
以椭圆短轴为直径的圆经过点，
，解得，，
椭圆的方程为．
（2）是定值．
证明如下：设过的直线：或者
①时，代入椭圆，，令，，
，，．
②代入椭圆，
设，，，．
则，，
，
，
，，
．
高考预测三：定点问题
16．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，、是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于、的动点，且面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在一定点，，使得当过点的直线与曲线相交于，两点时，为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）设椭圆的标准方程为．
面积的最大值为，，即．
联立，解得，．
椭圆的方程为．
（2）假设存在一定点，，使得当过点的直线与曲线相交于，两点时，为定值．
当轴时，把代入椭圆方程可得，
．
当与轴不垂直时，设直线的参数方程为为参数），代入椭圆方程可得：，
，．
．
令，解得．
此式．
此时．
因此存在一定点，，使得当过点的直线与曲线相交于，两点时，为定值3．
17．为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且，直线过点且垂直于，求证：直线过定点．
【解析】解：（1）设，，则，，，
由得：，，因为点在椭圆上，所以，
即点的轨迹方程：；
（2）由题意设，则，
由得：，，，
，
，
由已知得，直线的方程：，
所以直线恒过定点．
18．已知椭圆的右焦点为，设左顶点为，上顶点为，且，如图所示．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点与椭圆上的另一点（非右顶点）关于直线对称，直线上一点满足，求点的坐标．
【解析】解：（Ⅰ）由题意，，，，
，
，
，，解得，
，，
椭圆的方程为；
（Ⅱ）设，，且，则的中点，，
由已知，则，
，
令，则，
即，
，，，
舍去），
，
，．