高中数学高考第14讲 导数的概念及运算(达标检测)(教师版)
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A.2B.C.1D.
【分析】根据导数的定义即可得出,从而得出正确的选项.
【解答】解:.
故选:.
2.(2020春•重庆期末)已知函数的导函数为,若,则
A.4B.2C.1D.
【分析】可以求出导函数,从而得出,然后求出的值即可.
【解答】解:,
,
.
故选:.
3.(2019秋•南岸区期末)函数的图象在点,(1)处的切线的倾斜角为
A.0B.C.D.
【分析】先求出函数在切点出的导数值,即为切线在此处的斜率,从而求得切线在此处的倾斜角.
【解答】解:函数的图象在点,(1)处的切线的斜率为,
设函数的图象在点,(1)处的切线的倾斜角为,
则,,
故选:.
4.(2020春•钦州期末)已知曲线在点,(1)处的切线与直线垂直,则的值为
A.B.0C.1D.2
【分析】求出函数的导数,计算(1),利用直线的斜率,列出关系式,即可求出的值.
【解答】解:曲线,可得,
所以(1),曲线在点,(1)处的切线与直线垂直,
所以,解得,
故选:.
5.(2020春•济南期末)曲线在点,处的切线方程为
A.B.C.D.
【分析】求出导数,求得切线的斜率,切点坐标,由斜截式方程,即可得到切线的方程.
【解答】解:的导数为,
,,
曲线在点,处的切线的方程为.
即.
故选:.
6.(2020春•赤峰期末)若曲线上存在两条垂直于轴的切线,则的取值范围是
A.,B.C.D.
【分析】先求出原函数的导函数,令,得到,然后将问题转化为在上有两个不同的解,再构造函数,求出的取值范围,即可得到的取值范围.
【解答】解:由,得,
令,则,
曲线存在两条垂直于轴的切线,
在上有两个不同的解.
令,则.
当时,,当时,,
在上单调递增,在上单调递减,
,
又当时,,.
的取值范围为.
故选:.
7.(2020•河南模拟)已知:过点可作函数图象的两条切线,,且,则
A.1B.C.D.2
【分析】先设切点为,然后利用导数求出切线方程,再将代入切线方程,得到关于的一元二次方程,设,为两切线,切点的横坐标,由韦达定理得到,,根据得,将韦达定理代入,即可解出的值.
【解答】解:设切点为,,故切线斜率为.
所以切线方程:,
将代入整理得:,
设,的切点横坐标分别为,,则:,.
因为,所以①.
结合韦达定理得,解得.
故选:.
8.(2020•合肥模拟)若函数与函数有公切线,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
【分析】分别设出切点,求出切线,然后根据切线相等,得到的切点横坐标与的关系式,转化为函数的值域问题.
【解答】解:设的切点为,,因为,
所以切线为:,即,.
设的切点为,,因为,
故切线为:.
即..
因为是公切线,所以,
消去得,,
令,.
,开口向上,且,.
所以,故在上单调递减,故,
即,故.
故选:.
9.(多选)(2020春•菏泽期末)下列各式正确的是
A.B.
C.D.
【分析】根据常函数,三角函数和幂函数的导数运算,逐一排除即可.
【解答】解:对于,,选项错误;
对于,,选项错误;
对于,,选项正确;
对于,,选项正确;
故选:.
10.(2020春•信阳期末)已知函数,则 .
【分析】求出函数的导数,代入,求出的值即可.
【解答】解:,
令,得,解得:,
故答案为:2019.
11.(2020春•沙坪坝区校级期末)若函数,则在点,(1)处的切线方程为 .
【分析】求出原函数的导函数,得到函数在处的导数,再求出(1),利用直线方程的点斜式得答案.
【解答】解:,,
则(1),又(1),
在点,(1)处的切线方程为,即.
故答案为:.
12.(2020春•凉山州期末)过原点作曲线的切线,则切点为 .
【分析】先另设切点,利用导数求出切线方程,将代入,求出切点坐标,进而得到切线方程.
【解答】解:设切点为,,因为.
故切线方程为:,
将代入得:,
解得,所以,
故切点为.
故答案为:.
13.(2020•新课标Ⅰ)曲线的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 .
【分析】求得函数的导数,设切点为,可得切线的斜率,解方程可得切点,进而得到所求切线的方程.
【解答】解:的导数为,
设切点为,可得,
解得,即有切点,
则切线的方程为,即,
故答案为:.
14.(2020春•信阳期末)已知与有相同的公切线,设直线与轴交于点,,则的值为 .
【分析】分别求得,的导数,可得切线的斜率,求得切线的方程,由直线方程相同可得关于,的方程组,解方程可得所求值.
【解答】解:,,
设与的切点为,,
可得切线的方程为,
即为,
设的切点为,,
可得切线的方程为,
即,
两函数有公切线,即令上述两切线的方程相同,
则有,可得,
所以切线的方程为,直线与轴交于点,,则.
故答案为:0.
15.(2020春•徐州月考)求下列函数的导数
(1)
(2)
(3)
【分析】按照导数的计算公式、运算法则将相应的函数看成基本函数的和、差、积、商即可.
【解答】解:(1)
(2),
(3)
16.(2019春•张家港市期末)若直线是曲线的一条切线,求实数的值.
【分析】先对曲线进行求导,然后令导函数等于3求出切点坐标,代入到曲线方程可得答案.
【解答】解:设切点为,,
对求导数是,..
(1)当时,
,在上,
,即.
又也在上,
..
(2)当时,
,在上,
,即.
又也在上,
..
综上可知,实数的值为或1.
17.(2020春•西城区校级期中)已知:直线与抛物线为常数)交于两点,,,,且抛物线在点,处的切线互相垂直.
(1)求的值;
(2)求两条切线交点的横坐标(用表示).
【分析】(1)先联立直线、抛物线方程,消去得到关于的一元二次方程,利用韦达定理结合、两点处的导数积为,即可求出的值;
(2)先表示出、两点处的切线方程,然后解出交点的横坐标即可.
【解答】解:(1)由,消去得:,显然.
又直线与抛物线交于两点,,,,
所以.
对求导得,
所以两条切线的斜率分别为,.
因为两条切线互相垂直,所以,
所以.
(2)由题意知切点分别为:,,
所以两条切线的方程分别为①;和②.
联立①②解方程组得:交点的横坐标为:.
18.(2019秋•天心区校级期末)已知函数的图象为曲线.
(1)求过曲线上任意一点切线斜率的取值范围;
(2)若在曲线上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围.
【分析】(1)据切点处的导数值为曲线切线斜率,由二次函数的最值求法,求导函数的范围也就是切线斜率范围;
(2)互相垂直的切线斜率互为负倒数,由(1)求斜率范围,据切点处的导数值为曲线切线斜率,解不等式,求切点横坐标范围.
【解答】解:(1)函数的导数为
,
即过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围是,;
(2)设其中一条切线的斜率为,另一条为,
由(1)可知,,
解得或,
由或,
即有或或,
得:,,.
19.(2020•凉山州模拟)已知函数.
(1)设函数在点,(1)处的切线方程为,求的值;
(2)若曲线与曲线至少有一条公共切线,求的取值范围.
【分析】(1)根据切点处的导数等于切线斜率,列出方程,求出的值;
(2)先利用导数、切点,表示出的切线,然后根据与相切,则判别式为零,即可得到关于的方程,再构造关于的函数,研究其零点的个数即可.
【解答】解:(1),
,,
又函数在,(1)处的切线方程为,
(1),即,即.
(2)设公切线与函数相切于点,,则
由,得,
公切线为:,
即,
由,得:,
直线与曲线相切,,
即,
设,则,
由,得;又由,得,
函数在上单增,在上单减,
,,
与曲线至少有一条公切线时,的取值范围为,.
[B组]—强基必备
1.(2020•昆山市模拟)已知函数,其图象记为曲线,曲线上存在异于原点的点,使得曲线与其在的切线交于另一点,曲线与其在的切线交于另一点,若直线与直线的斜率之积小于,则的取值范围为 .
【分析】,设,,,,,,写出直线方程,联立它与曲线方程得,,,同理得,,再计算,,由题意得,再求取值范围即可.
【解答】解:,
设,,,,,,,
即,
联立,得,,
同理,则,,
,,
所以,得,
令,则在上有解,
由△得,.
故答案为:,.
2.(2020•济南模拟)已知函数,若直线与函数,的图象均相切,则的值为 ;若总存在直线与函数,图象均相切,则的取值范围是 .
【分析】设直线与函数的图象相切的切点为,求得的导数,可得切线的斜率,求得切点和切线的方程,联立,运用判别式为0,解方程可得;设与的图象在交点处存在切线,且切点为,分别求得,的导数,可得切线的斜率,得到,,的方程,化简变形可得,设,求得导数和单调性,解方程可得,进而得到的值,结合抛物线的开口与的关系,可得所求范围.
【解答】解:设直线与函数的图象相切的切点为,
由,可得,即,切点为,
则,切线的方程为,
联立,可得,
由题意可得△,解得;
设与的图象在交点处存在切线,且切点为,
由,,
可得,,
化为,,则,
即,
设,,可得在递增,由(1),可得
的解为,
则,由的图象可得,当越大时,抛物线的开口越小,
可得此时和的图象相离,总存在直线与它们的图象都相切,
则的范围是,.
故答案为:,,.
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