高中数学高考第19讲 导数的应用——利用导数研究函数零点问题（教师版）

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知识梳理
1.判断、证明或讨论函数零点个数的方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.
2.已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.
题型归纳
题型1 讨论函数的零点个数
【例1-1】（2020•漳州三模）已知函数．
（1）当时，证明：；
（2）当时，讨论函数的零点个数．
【分析】（1）利用函数的导数的应用求出函数的单调区间，进一步证明出结果．
（2）利用分类讨论思想的应用和函数的二次求导的应用及构造函数的应用求出函数零点的个数．
【解答】解：（1）证明：当时，，
所以，
所以，
当时，，所以：，
所以在，单调递减，所以．
当时，，所以，
所以在单调递增，所以．
所以在上单调递增，．
综上所述：当且仅当时，等号成立．
（2）由于，所以0为函数的一个零点．
，，
当时，由（1）知函数仅有一个零点，
当时，
①当时，．
在单调递减，．
所以当时，函数无零点．
②当时，，
所以在单调递增．
由于，．
所以在上存在唯一的，，使得．
当时，，在单调递减．
有，所以在无零点．
当，时，，在，单调递增．
又，
设（a），
所以（a），
，
所以（a）在单调递增，有（a）（2）．
所以（a）在单调递增，有（a）（2），即．
因此函数在，有一个零点．
所以当时，有两个零点．
当时，
①当时，，所以在单调递增．
，在单调递增，．
所以在上无零点．
②当时，．有．
所以在，无零点．
③当时，，，在单调递增，
又，．
所以存在唯一的，使得．
当时，，函数在单调递减．
当，时，，函数在，单调递增．
又，，
所以函数在有1个零点．
所以当时，有2个零点．
综上所述：当时，有一个零点，
当或时，函数有2个零点．
【跟踪训练1-1】（2020•宜宾模拟）函数的零点个数为 ．
【分析】先求出导函数，令求出极值点，进而求出函数的极值，根据单调性和极值画出函数的大致图象，从而得到函数的零点个数．
【解答】解：函数，
，
令得：或，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
函数的极大值为，极小值为，
函数的大致图象如图所示：
，
由图象可知，函数有2个零点，
故答案为：2．
【跟踪训练1-2】（2020•西安二模）已知函数、为实数，为自然对数的底数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）当，时，判断函数零点的个数并证明．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解；
（2）先由导数与单调性关系分析函数的性质，然后结合函数零点判定定理即可求解．
【解答】解：（1），
①时，恒成立，故的单调递增区间，没有单调递减区间；
②时，易得，当时，，当时，，
故函数的单调递增区间，单调递减区间，
（2）当，时，的零点个数为2个，证明如下：
由（1）在单调递减，且，
故在有且仅有1个零点，
又因为在上单调递增且（1），（2）且在，上连续不间断，
故在，上有且仅有1个零点．
综上有且仅有2个零点．
【名师指导】
根据参数确定函数的零点个数有两种解决方法：一种是利用单调性与零点存在性定理求解，另一种是化原函数为两个函数，利用两个函数图象的交点来求解
题型2 由函数零点的个数求参数范围
【例2-1】（2020•新课标Ⅰ）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【分析】（1）当时，，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，再由导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调性；
（2）当时，恒成立，在上单调递增，不合题意；当时，利用导数可得函数单调性，得到函数极值，结合题意由极小值小于0即可求得的取值范围．
【解答】解：由题意，的定义域为，且．
（1）当时，，令，解得．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
在上单调递减，在上单调递增；
（2）当时，恒成立，在上单调递增，不合题意；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
的极小值也是最小值为．
又当时，，当时，．
要使有两个零点，只要即可，
则，可得．
综上，若有两个零点，则的取值范围是，．
【跟踪训练2-1】（2020•广东二模）已知函数，若函数有唯一零点，则的取值范围为
A．B．，，
C．，，D．，
【分析】求导，构造辅助函数，则，当时，可知在上单调递增，，即可判断在，上为增函数，在上为减函数，由，即可证明，当时，有唯一的零点；然后验证时，函数的零点的个数，判断选项即可．
【解答】解：因为．
令，则，
所以当时，，即在上单调递增，
又，
所以，，，当，，
所以在，上为增函数，在上为减函数，
又，所以当，，，
当，对恒成立，即当时，，
且当且仅当，，
故当时，有唯一的零点；
排除，
当时，，令，可得，有无数解，所以，不成立，排除，
故选：．
【跟踪训练2-2】（2020•新课标Ⅲ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性，求出函数的极值，得到关于的不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）．，
时，，在递增，
时，令，解得：或，
令，解得：，
在递增，在，递减，在，递增，
综上，时，在递增，
时，在递增，在，递减，在，递增；
（2）由（1）得：，，，
若有三个零点，
只需，解得：，
故．
【名师指导】
利用函数零点求参数范围的方法
(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解
题型3 函数的零点与极值点的偏移问题
【例3-1】（2020•张家口二模）已知函数是自然对数的底数）有两个零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）若的两个零点分别为，证明：．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合函数的单调性与导数关系对进行分类讨论，然后结合单调性及零点判定定理可求；
（2）先利用分析法分析与原不等式等价的不等式，然后结合特点考虑构造函数，结合导数可求．
【解答】解：（1）由题意可得，有2个零点，
令，则在时恒成立，
故在上单调递增，
所以有2个零点可转化为有2个零点，
因为，
时，，单调递增，不可能有2个零点，
当时，由可得，单调递增；可得，单调递减，（a），
若，则（a），此时恒成立，没有零点，
若，则（a），有一个零点，
若，则（a），
因为（1），，
所以在，上各有1个零点，符合题意，
综上，的范围；
（2）证明：要证，只要证，
即证，
由（1）可知，，，
所以，，
所以，
只要证，
设，令，，
所以只要证即证，
令，，
则，
（1），
即当时，，
所以即，
故．
【跟踪训练3-1】（2020•吴忠模拟）已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）若函数存在两个零点，，证明：．
【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可；
（2）要证即证，只要证明，即证，，令，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（1）的定义域是，
，
令，解得：，
令，解得：，
故在递增，在递减，
故（1）；
（2）证明：由（1）得（1），当时，有2个零点，，
则，，
，得，
令，则，，，
，显然成立，
要证即证，
只要证明，即证，，
令，（1），
，（1），
令，则，（1），
令，
则，（1），
令，，时，递减，
故时，（1），
故递减，（1），即，，
故递减，（1），
故，在递减，
（1），即，
在递减，，
故，，
综上，．
【名师指导】
函数极值点偏移问题的解题策略
函数的极值点偏移问题，其实质是导数的应用问题，解题的策略是把含双变量的等式或不等式转化为仅含一个变量的等式或不等式进行求解，解题时要抓住三个关键量：极值点、根差、根商