高中数学高考第17讲 导数的应用——利用导数证明不等式(学生版)
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知识梳理
构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数单调性、极值、最值加以证明.常见的构造方法有:
(1)直接构造法:证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))转化为证明f(x)-g(x)>0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);
(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论,如ln x≤x-1,ex≥x+1,ln x<x<ex(x>0),eq \f(x,x+1)≤ln(x+1)≤x(x>-1);
(3)构造“形似”函数:稍作变形再构造,对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数,把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式,根据“相同结构”构造辅助函数;
(4)构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号,导函数零点也不易求得,因此函数单调性与极值点都不易获得,则可构造函数f(x)和g(x),利用其最值求解.
题型归纳
题型1 移项作差构造函数证明不等式
【例1-1】(2019·福州调研)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当a>ln 2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.
【跟踪训练1-1】(2020·江西赣州模拟)已知函数f(x)=1-eq \f(ln x,x),g(x)=eq \f(ae,ex)+eq \f(1,x)-bx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(1,1),且在点A处的切线互相垂直.
(1)求a,b的值;
(2)证明:当x≥1时,f(x)+g(x)≥eq \f(2,x).
【名师指导】
一般地,要证f(x)>g(x)在区间(a,b)上成立,需构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x),通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式.若F(a)=0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递增即可;若F(b)=0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递减即可.
题型2 构造双函数,利用“若f(x)min>g(x)max,则f(x)>g(x)”证明不等式
【例2-1】(2020·菏泽调研)已知函数f(x)=xln x-ax.
(1)当a=-1时,求函数f(x)在(0,+∞)上的最值;
(2)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x+1>eq \f(1,ex+1)-eq \f(2,e2x)成立.
【跟踪训练2-1】(2020·南京模拟)已知三次函数f(x)的导函数f′(x)=-3x2+3且f(0)=-1,g(x)=xln x+eq \f(a,x)(a≥1).
(1)求f(x)的极值;
(2)求证:对任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≤g(x2).
【名师指导】
1.在证明不等式中,若无法转化为一个函数的最值问题,可考虑转化为两个函数的最值问题.
2.不等式里既有指数又有对数,求导后不好处理,通常是把指数和对数分开,使得不等式一边是指数,另一边是对数,分别计算它们的最值,利用最值来证明不等式.
题型3 变量代换法证明双变量函数不等式
【例3-1】(2020·大连模拟)若b>a>0,求证:ln b-ln a>eq \f(2ab-a,a2+b2).
【跟踪训练3-1】(2020·郑州模拟)已知函数f(x)=eq \f(ln x,x+a)(a∈R),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直.
(1)试比较2 0182 019与2 0192 018的大小,并说明理由;
(2)若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点x1,x2,证明:x1·x2>e2.
【名师指导】
证明双变量函数不等式的常见思路
(1)将双变量中的一个看作变量,另一个看作常数,构造一个含参数的辅助函数证明不等式.
(2)整体换元.对于齐次式往往可将双变量整体换元,化为一元不等式.
(3)若双变量的函数不等式具有对称性,并且可以将两个变量分离开,分离之后的函数结构具有相似性,从而构造函数利用单调性证明.
高中数学高考第18讲 导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题(学生版): 这是一份高中数学高考第18讲 导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题(学生版),共7页。
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高中数学高考第17讲 导数的应用——利用导数证明不等式(达标检测)(学生版): 这是一份高中数学高考第17讲 导数的应用——利用导数证明不等式(达标检测)(学生版),共4页。