高中数学高考第24讲 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（讲）（教师版）

这是一份高中数学高考第24讲 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（讲）（教师版），共10页。试卷主要包含了二倍角的正弦、余弦、正切公式等内容，欢迎下载使用。

思维导图
知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cs(α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ．
C(α＋β)：cs(α＋β)＝csαcsβ－sin_αsinβ．
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcsβ＋cs_αsinβ．
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcsβ－csαsinβ．
T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α，β，α＋β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α，β，α－β≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α：sin 2α＝2sinαcsα．
C2α：cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α．
T2α：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，且α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
题型归纳
题型1 公式的直接应用
【例1-1】（2020春•六盘水期末）已知sin（π﹣α）=33，则cs2α＝（ ）
A．223B．-13C．23D．13
【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可计算求解．
【解答】解：∵sin（π﹣α）＝sinα=33，
∴cs2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×(33)2=13．
故选：D．
【例1-2】（（2020春•金牛区校级期末）计算cs18°•cs42°﹣cs72°•sin42°＝（ ）
A．12B．-12C．32D．-32
【分析】直接利用三角函数的诱导公式的应用和余弦的和角公式的运用求出结果．
【解答】解：cs18°•cs42°﹣cs72°•sin42°＝cs18°•cs42°﹣sin18°•sin42°=cs60°=12．
故选：A．
【例1-3】（（2020春•上饶期末）若3sinα-2sin(α+π3)-7=0，则tanα＝（ ）
A．-233B．233C．-32D．32
【分析】由两角和的正弦公式展开整理可得3csα＝2sinα-7，两边平方，由基本关系式sin2α+cs2α＝1可得7sin2α﹣47sinα+4＝0，解出sinα，进而求出csα，再求出结果．
【解答】解：由3sinα-2sin(α+π3)-7=0，化简可得3sinα﹣2⋅12sinα﹣2⋅32csα=7，即2sinα-3csα=7，所以3csα＝2sinα-7，
两边平方可得3cs2α＝4sin2α﹣47sinα+7，整理可得3（1﹣sin2α）＝4sin2α﹣47sinα+7，即7sin2α﹣47sinα+4＝0，解得sinα=27，
所以3csα＝2⋅27-7=-37，所以csα=-37，
所以tanα=sinαcsα=27-37=-233．
故选：A．
【跟踪训练1-1】（2020春•河池期末）已知tanα=12，tan（α+β）=13，则tanβ＝（ ）
A．16B．-17C．17D．56
【分析】由于β＝（α+β）﹣α，根据已知利用两角差的正切函数公式即可计算求解．
【解答】解：∵tanα=12，tan（α+β）=13，
∴tanβ＝tan[（α+β）﹣α]=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα=13-121+12×13=-17．
故选：B．
【跟踪训练1-2】（（2020春•南阳期末）sin75°cs45°﹣sin15°sin45°＝（ ）
A．0B．12C．32D．1
【分析】由条件利用诱导公式、两角和的余弦公式，进行化简所给的式子，可得结果．
【解答】解：sin75°cs45°﹣sin15°sin45°＝cs15°cs45°﹣sin15°sin45°＝cs（15°+45°）=12，
故选：B．
【跟踪训练1-3】（（2020春•宁波期末）sin2π12=（ ）
A．2-34B．2+34C．34D．14
【分析】利用二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：sin2π12=1-csπ62=1-322=2-34．
故选：A．
【跟踪训练1-4】（（2020春•南充期末）若csα=13，则cs2α＝（ ）
A．-79B．-89C．79D．89
【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解．
【解答】解：∵csα=13，
∴cs2α＝2cs2α﹣1＝2×（13）2﹣1=-79．
故选：A．
【跟踪训练1-5】（2020春•黄浦区期末）若tan2α=14，则tan（α+π4）+tan（α-π4）＝ ．
【分析】展开两角和与差的正切，整理后再由二倍角的正切得答案．
【解答】解：∵tan2α=14，
∴tan（α+π4）+tan（α-π4）=tanα+tanπ41-tanπtanπ4+tanα-tanπ41+tanαtanπ4
=1+tanα1-tanα+tanα-11+tanα=(1+tanα)2-(1-tanα)21-tan2α=4tanα1-tan2α=2tan2α=2×14=12．
故答案为：12．
【跟踪训练1-6】（2020春•平谷区期末）2cs215°﹣1等于 ．
【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得结果．
【解答】解：2cs215°﹣1＝cs30°=32，
故答案为：32．
【名师指导】
应用三角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
题型2 三角函数公式的逆用与变形用
【例2-1】（2020•重庆模拟）（1+tan19°）•（1+tan26°）＝ ．
【分析】先把所求展开，再根据两角和的正切即可求解结论．
【解答】解：因为（1+tan19°）•（1+tan26°）
＝1+tan19°+tan26°+tan19°tan26°
＝1+tan（19°+26°）（1﹣tan19°tan26°）+tan19°tan26°
＝1+1﹣tan19°tan26°+tan19°tan26°
＝2；
故答案为：2．
【例2-2】（2020春•开江县校级月考）已知cs(x-π6)=13，则csx+cs(x-π3)=（ ）
A．32B．3C．12D．33
【分析】由题意利用诱导公式、两角和差的三角公式，求得要求式子的值．
【解答】解：∵已知cs(x-π6)=13，
∴csx+cs(x-π3)=cs[（x-π3）+π3]+cs（x-π3）
＝cs（x-π3）csπ3-sin（x-π3）sinπ3+cs（x-π3）
=32cs（x-π3）-32sin（x-π3）=3cs[π6+（x-π3）]
=3cs（x-π6）=3×13=33，
故选：D．
【跟踪训练2-1】（2020•张家口二模）1-tan2105°1+tan2105°=（ ）
A．12B．-12C．32D．-32
【分析】切化弦，易得原式为cs210°，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：1-tan2105°1+tan2105°=cs2105°-sin2105°cs2105°+sin2105°=cs210°＝﹣cs30°=-32．
故选：D．
【跟踪训练2-2】（2019秋•武汉期末）化简1-2sin(π-2)cs(π+2)的结果是（ ）
A．sin2+cs2B．sin2﹣cs2C．cs2﹣sin2D．﹣sin2﹣cs2
【分析】利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案．
【解答】解：1-2sin(π-2)cs(π+2)=1-2sin2⋅(-cs2)
sin22+2sin2⋅cs2+cs22=(sin2+cs2)2
＝|sin2+cs2|＝sin2+cs2．
故选：A．
【名师指导】
两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)和差角公式变形：
sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β，
cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β，
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)．
(3)倍角公式变形：降幂公式．
题型3 角的变换与名的变换
【例3-1】（2020春•宁波期末）设α，β∈（0，π），csβ=-1213，csα2=255，则csα＝ ，tan（α+β）＝ ．
【分析】利用余弦的倍角公式以及两角和差的正切公式进行计算即可．
【解答】解：csα＝2cs2α2-1＝2×（255）2﹣1=35，则α∈（0，π2），
则sinα=45，tanα=43，
∵csβ=-1213，∴sinβ=513，则tanβ=-512，
则tan（α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ=43-5121+43×512=48-1536+20=3356，
故答案为：35，3356
【例3-2】（2020春•城关区校级期末）若tanα＝3，则cs2α+3sin2α＝ ．
【分析】先利用余弦的二倍角公式将其化简，再利用同角三角函数的平方关系将分母的1用sin2α+cs2α代替，然后将分式的上下同除csα后，可将原式转化为只含tanα的表达式，代入数据即可得解．
【解答】解：cs2α+3sin2α＝cs2α﹣sin2α+3sin2α=cs2α+2sin2αsin2α+cs2α，
两边同除csα，原式=1+2tan2αtan2α+1=1+2×3232+1=1910．
故答案为：1910．
【例3-3】（2020春•梧州期末）已知cs（π2+θ）=-32，则cs2θ＝ ．
【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果．
【解答】解：∵已知cs（π2+θ）=-32=-sinθ，∴sinθ=32，
则cs2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×34=-12，
故答案为：-12．
【跟踪训练3-1】（2020春•宁波期末）已知sin2θ=-34，则tanθ+1tanθ=（ ）
A．43B．-43C．83D．-83
【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简所求结合已知即可计算求解．
【解答】解：sin2θ=-34，
则tanθ+1tanθ=sinθcsθ+csθsinθ=sin2θ+cs2θsinθcsθ=112sin2θ=112×(-34)=-83．
故选：D．
【跟踪训练3-2】（2020春•广州期末）已知cs（α+π3）=13，则sin(π6-α)=（ ）
A．13B．-13C．223D．±223
【分析】由角的转化可得π6-α=π2-（α+π3），进而可得sin（π6-α）＝sin[π2-（α+π3）]＝cs（α+π3）．
【解答】解：因为π6-α=π2-（α+π3），
所以sin（π6-α）＝sin[π2-（α+π3）]＝cs（α+π3）=13，
故选：A．
【跟踪训练3-3】（2020春•潍坊期末）已知cs(θ-π4)=7210，则sin2θ＝（ ）
A．-2425B．-1225C．1225D．2425
【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦，求得要求式子的值．
【解答】解：由cs(θ-π4)=7210，则sin2θ＝cs（2θ-π2）＝2cs2(θ-π4)-1
＝2×(7210)2-1=2425，
故选：D．
【名师指导】
1．三角公式求值中变角的解题思路
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等．
3.三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．