高中数学高考第35讲 等比数列及其前n项和（讲）（学生版）

这是一份高中数学高考第35讲 等比数列及其前n项和（讲）（学生版），共7页。试卷主要包含了等比数列的有关概念，等比数列的有关公式，等比数列的性质等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0，n∈N*)．
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,r)．
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
常用结论
1．正确理解等比数列的单调性
当q>1，a1>0或0当q>1，a1<0或00时 ，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列；
当q＝－1时，{an}是摆动数列．
2．记住等比数列的几个常用结论
(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))仍是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．
(4){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq \f(T2n,Tn)，eq \f(T3n,T2n)，…成等比数列．
(5)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝eq \f(a1,1－q).
(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．
题型归纳
题型1 等比数列的基本运算
【例1-1】（2020春•辽源期末）在等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝（ ）
A．3B．27C．3D．243
【例1-2】（2020春•赤峰期末）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝3，S6＝9，则S9＝（ ）
A．12B．18C．21D．24
【例1-3】（2020•新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列{lg3an}的前n项和．若Sm+Sm+1═Sm+3，求m．
【跟踪训练1-1】（2020春•广州期末）已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn=an+1an，若b5b6＝2，则a11＝（ ）
A．16B．21C．31D．32
【跟踪训练1-2】（2020•新课标Ⅱ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则Snan=（ ）
A．2n﹣1B．2﹣21﹣nC．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣1
【跟踪训练1-3】（2020•山东）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．
【名师指导】
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q)..
题型2 等比数列的判定与证明
【例2-1】（2019春•玉田县期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=32an+b（n∈N*，b∈R，b≠0）．
（ I）求证：{an}是等比数列；
（ II）求证：{an+1}不是等比数列．
【跟踪训练2-1】（2019•广西二模）已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1，（n∈N*）．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和．
【名师指导】
等比数列的4种常用判定方法
题型3 等比数列的性质及应用
【例3-1】（2020春•宣城期末）已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，a4•a14＝9，a8+a10＝10，则数列{an}的公比为（ ）
A．12B．13C．2D．3
【例3-2】（2020春•绵阳期末）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（ ）
A．80B．120C．150D．180
【跟踪训练3-1】（2020春•五华区校级期末）已知正项等比数列{an}中，a3=a4a2，若a1+a2+a3＝7，则数列的前十项和S10＝（ ）
A．511B．512C．1023D．1024
【跟踪训练3-2】（2020春•广东期末）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2020S1010=3，则S3030S1010=（ ）
A．9B．7C．5D．4
【名师指导】
1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
3．等比数列{an}中，所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有的性质，设公比为q.
(1)若共有2n项，则eq \f(S偶,S奇)＝q；
(2)若共有2n＋1项，eq \f(S奇－a1,S偶)＝q.
4．等比数列{an}中，Sk表示它的前k项和．当q≠－1时，有Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qk.定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列
通项
公式法
若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列