高中数学高考第40讲 直线、平面平行的判定与性质（讲）（教师版）

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知识梳理
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
题型归纳
题型1 直线与平面平行的判定与性质
【例1-1】（2020春•海淀区校级期末）如图，三棱柱中，，，分别为棱，，中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【分析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证，进而利用线面平行的判定定理即可证明平面．
（2）由已知可证是平行四边形，进而证明，利用线面平行的判定证明平面，根据面面平行的判定证明平面平面，根据面面平行的性质即可可证平面．
【解答】证明：（1）在中，，分别为棱，中点．
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）在三棱柱中，，
因为，分别为，中点，
所以，
所以是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，，
所以平面平面，
所以平面．
【例1-2】（2019•广东模拟）如图，五面体，四边形是矩形，是正三角形，，，是线段上一点，直线与平面所成角为，平面．
（1）试确定的位置．
（2）求三棱锥的体积．
【分析】（1）连接、相交于，则为的中点，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定可得平面；
（2）由为的中点，得，由已知求得到平面的距离为，可得到平面的距离为．再求出三角形的面积，代入三棱锥体积公式求得三棱锥的体积．
【解答】解：（1）如图，四边形是矩形，连接、相交于，则为的中点，
取中点，连接，则，
平面，平面，平面．
此时为中点；
（2）为的中点，．
直线与平面所成角为，是正三角形，，
到平面的距离为，到平面的距离为．
又四边形是矩形，且，．
．
三棱锥的体积为．
【跟踪训练1-1】（2020春•大兴区期末）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据线面平行的性质定理即可证明；
（Ⅱ）取的中点，连接，，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；
（Ⅲ）取中点，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．
【解答】证明：（Ⅰ）在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，
，
（Ⅱ）取的中点，连接，，
是的中点，
，，
又由（Ⅰ）可得，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
（Ⅲ）取中点，连接，，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
又由（Ⅱ）可得平面，，
平面平面，
是上的动点，平面，
平面，
线段存在点，使得平面．
【跟踪训练1-2】（2019春•崂山区校级期中）在正方体中，点为棱的中点．问：在棱上是否存在点，使得面？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由．
【分析】取中点，中点，连结，，则，，从而平面平面，由此推导出在棱上存在中点，使得面．
【解答】解：在棱上存在中点，使得面．
理由如下：
取中点，中点，连结，，
在正方体中，点为棱的中点．
，，
，，
平面平面，
平面，面．
【名师指导】
1.证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．
2.在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．
题型2 面面平行的判定与性质
【例2-1】（2019秋•金凤区校级期末）如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面．
【分析】推导出，，由此能证明平面平面．
【解答】证明：底面为正方形，，
棱与均垂直于底面，，
，
，，
平面平面．
【跟踪训练2-1】（2020春•南关区校级期末）如图，在正方体中，．
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求证：平面平面．
【分析】（1）通过平移先作出异面直线所成的角，进而求出即可；
（2）利用线面、面面平行的判定定理即可证明．
【解答】解：（1）连接、．由正方体可得，对角面是一个平行四边形，．
或其补角即为异面直线与所成的角，
△是一个等边三角形，
即为异面直线与所成的角；
（2）证明：由（1）可知：，而平面，平面，
平面，
同理可得平面，
又，
平面平面．
【名师指导】
证明面面平行的常用方法
1．利用面面平行的定义或判定定理．
2．利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
3．利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．
题型3 平行关系的综合应用
【例3-1】（2019秋•兴庆区校级月考）如图，已知，是平面，外的一点，直线，分别与、相交于、和、．
（1）求证：；
（2）已知，，，求的长．
【分析】（1）由面面平行的性质即可得证；
（2）由平行线的性质即可求解．
【解答】解：（1）证明：，平面，平面，
；
（2）由（1）可知，，即，
．
【跟踪训练3-1】（2019春•青云谱区校级月考）如图，平面，线段分别交，于，，线段分别交，于，，线段分别交，于，，若，，，．求的面积．
【分析】利用面面平行的性质得到两个三角形对应边的比，结合面积公式即可得解．
【解答】解：平面，
又平面平面，平面平面，
，
同理，
又，，，
，
又，
所以，
，
．
故的面积为：100．
【名师指导】
利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)
∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b