高中数学高考第40讲 直线、平面平行的判定与性质（讲）（学生版）

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知识梳理
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
题型归纳
题型1 直线与平面平行的判定与性质
【例1-1】（2020春•海淀区校级期末）如图，三棱柱中，，，分别为棱，，中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【例1-2】（2019•广东模拟）如图，五面体，四边形是矩形，是正三角形，，，是线段上一点，直线与平面所成角为，平面．
（1）试确定的位置．
（2）求三棱锥的体积．
【跟踪训练1-1】（2020春•大兴区期末）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
【跟踪训练1-2】（2019春•崂山区校级期中）在正方体中，点为棱的中点．问：在棱上是否存在点，使得面？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由．
【名师指导】
1.证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行．
2.在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．
题型2 面面平行的判定与性质
【例2-1】（2019秋•金凤区校级期末）如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面．
【跟踪训练2-1】（2020春•南关区校级期末）如图，在正方体中，．
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求证：平面平面．
【名师指导】
证明面面平行的常用方法
1．利用面面平行的定义或判定定理．
2．利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
3．利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．
题型3 平行关系的综合应用
【例3-1】（2019秋•兴庆区校级月考）如图，已知，是平面，外的一点，直线，分别与、相交于、和、．
（1）求证：；
（2）已知，，，求的长．
【跟踪训练3-1】（2019春•青云谱区校级月考）如图，平面，线段分别交，于，，线段分别交，于，，线段分别交，于，，若，，，．求的面积．
【名师指导】
利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)
∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b