高中数学高考第九章 9 3圆的方程-教师版(1)

这是一份高中数学高考第九章 9 3圆的方程-教师版(1)，共18页。

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( √ )
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( × )
(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＞0.( √ )
作业检查
无
第2课时
阶段训练
题型一 求圆的方程
例1 (1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的方程为________________．
(2)一个圆经过椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
答案 (1)(x－2)2＋y2＝9 (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)
解析 (1)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，
所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝eq \f(2a,\r(5))＝eq \f(4\r(5),5)，
解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝eq \r(4＋5)＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，
(4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为
y＋1＝－2(x－2)，
令y＝0，解得x＝eq \f(3,2)，圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，0))，半径为eq \f(5,2).
思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧，弧长之比为1∶2，则圆C的标准方程为________________．
答案 x2＋(y±eq \f(\r(3),3))2＝eq \f(4,3)
解析 ∵圆C关于y轴对称，∴可设C(0，b)，
设圆C的半径为r，则圆C的标准方程为x2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12＋－b2＝r2，,|b|＝\f(1,2)r，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r2＝\f(4,3)，,b＝±\f(\r(3),3)，))
于是圆C的标准方程为x2＋(y±eq \f(\r(3),3))2＝eq \f(4,3).
题型二 与圆有关的最值问题
例2 已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．求x＋y的最大值和最小值．
解 设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的在y轴上的截距．
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即eq \f(|2＋－3－t|,\r(2))＝1，
解得t＝eq \r(2)－1或t＝－eq \r(2)－1.
∴x＋y的最大值为eq \r(2)－1，最小值为－eq \r(2)－1.
引申探究
1．在例2的条件下，求eq \f(y,x)的最大值和最小值．
解 eq \f(y,x)可视为点(x，y)与原点连线的斜率，eq \f(y,x)的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即eq \f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－2＋eq \f(2\r(3),3)或k＝－2－eq \f(2\r(3),3).∴eq \f(y,x)的最大值为－2＋eq \f(2\r(3),3)，最小值为－2－eq \f(2\r(3),3).
2．在例2的条件下，求eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．
解 eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq \r(x＋12＋y－22)，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为eq \r(34)，
∴eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值为eq \r(34)＋1，最小值为eq \r(34)－1.
思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝eq \f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题．
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
解 (1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以eq \r(3)为半径的圆．
设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值．
由eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k2＝3，
∴kmax＝eq \r(3)，kmin＝－eq \r(3).
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，
当且仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，在y轴上的截距b取最小值，
由点到直线的距离公式，得eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，
即b＝－2±eq \r(6)，
故(y－x)min＝－2－eq \r(6).
(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，
与圆交于B点，并延长交圆于C′，则
(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，
(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
题型三 与圆有关的轨迹问题
例3 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解 (1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，
|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
解 如图所示，
设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)，\f(y,2)))，线段MN的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四边形的对角线互相平分，
故eq \f(x,2)＝eq \f(x0－3,2)，eq \f(y,2)＝eq \f(y0＋4,2).从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝x＋3，,y0＝y－4.))
又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，
但应除去两点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,5)，\f(28,5)))(点P在直线OM上的情况)．
第3课时
阶段重难点梳理
1．圆的定义与方程
【知识拓展】
1．确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．
2．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)20)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋E＋F＝0，,3＋2\r(2)2＋D3＋2\r(2)＋F＝0，,3－2\r(2)2＋D3－2\r(2)＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1，))
故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.
巧妙解法 (几何法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2eq \r(2)，0)，(3－2eq \r(2)，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2eq \r(2))2＋t2，解得t＝1.
则圆C的半径为eq \r(32＋t－12)＝3，
所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
答案 C
解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C满足．
2．方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的范围是( )
A．(－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞)
B．(－∞，－2eq \r(2))∪(2eq \r(2)，＋∞)
C．(－∞，－eq \r(3))∪(eq \r(3)，＋∞)
D．(－∞，－2eq \r(3))∪(2eq \r(3)，＋∞)
答案 B
解析 将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得(x＋eq \f(m,2))2＋(y－1)2＝eq \f(m2,4)＋1－3.
由其表示圆可得eq \f(m2,4)－2>0，解得m2eq \r(2).
3．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．
答案 (x－2)2＋y2＝10
解析 设圆心坐标为C(a,0)，
∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，
∴|CA|＝|CB|，
即eq \r(a＋12＋1)＝eq \r(a－12＋9)，
解得a＝2，
∴圆心为C(2,0)，
半径|CA|＝eq \r(2＋12＋1)＝eq \r(10)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
答案 (－2，－4) 5
解析 由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.
作业布置
1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 ( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y＝eq \r(2)
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
答案 A
解析 AB的中点坐标为(0,0)，
|AB|＝eq \r([1－－1]2＋－1－12)＝2eq \r(2)，
∴圆的方程为x2＋y2＝2.
2．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
答案 B
解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，
解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
3．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是 ( )
A．原点在圆上 B．原点在圆外
C．原点在圆内 D．不确定
答案 B
解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0＜a＜1，
所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，
即eq \r(0＋a2＋0＋12)＞eq \r(2a)，所以原点在圆外．
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案 A
解析 设圆上任一点坐标为(x0，y0)，
xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，连线中点坐标为(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝x0＋4,2y＝y0－2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2，))
代入xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
5．圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的渐近线截得的弦长为eq \r(3)，则圆C的方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝1 B．x2＋(y－eq \r(3))2＝3
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y＋eq \r(3))2＝3
答案 A
解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为eq \r(3)，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x2＋(y－1)2＝1.
6．已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线(A，B是切点)，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是( )
A.eq \r(2) B．2eq \r(2) C.eq \r(3) D．2eq \r(3)
答案 C
解析 圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
则C(1,1)，
当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小，
|PC|min＝eq \f(|3－4＋11|,\r(32＋42))＝2，此时|PA|＝|PB|＝eq \r(3).
所以四边形PACB的面积S＝2×eq \f(1,2)×eq \r(3)×1＝eq \r(3)，故选C.
7．设直线l1：mx－(m－1)y－1＝0(m∈R)，则直线l1恒过定点_______；若直线l1为圆x2＋y2＋2y－3＝0的一条对称轴，则实数m＝_______.
答案 (1,1) 2
解析 l1方程变形为m(x－y)＋y－1＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
∴l1恒过定点(1,1)．
l1过圆心(0，－1)，则m－1－1＝0，∴m＝2.
8．若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________．
答案 (x－2)2＋(y＋eq \f(3,2))2＝eq \f(25,4)
解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．
又因为圆与直线y＝1相切，所以eq \r(22＋m2)＝|1－m|，
解得m＝－eq \f(3,2).
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋eq \f(3,2))2＝eq \f(25,4).
9．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2eq \r(3)，则圆C的标准方程为___________________．
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝4
解析 设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，
由题意得a＝2b>0，且a2＝(eq \r(3))2＋b2，
解得a＝2，b＝1.
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
10．直线mx＋y－4＝0与直线x－my－4＝0相交于点P，则P到点Q(5,5)的距离|PQ|的取值范围是__________．
答案 [eq \r(2)，5eq \r(2)]
解析 直线mx＋y－4＝0过定点A(0,4)，直线x－my－4＝0过定点B(4,0)，且两直线互相垂直，所以点P在以AB为直径的圆上运动，圆心K(2,2)，r＝2eq \r(2).
又|QK|＝3eq \r(2)，
所以eq \r(2)＝3eq \r(2)－2eq \r(2)≤|PQ|≤3eq \r(2)＋2eq \r(2)＝5eq \r(2)，
即|PQ|的取值范围是[eq \r(2)，5eq \r(2)]．
11．已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段的长为4eq \r(3)，半径小于5.
(1)求直线PQ与圆C的方程；
(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．
解 (1)由题意知直线PQ的方程为x＋y－2＝0.
设圆心C(a，b)，半径为r，
由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－eq \f(1,2)＝x－eq \f(3,2)，
即y＝x－1，所以b＝a－1.①
由圆C在y轴上截得的线段的长为4eq \r(3)，
知r2＝12＋a2，
可得(a＋1)2＋(b－3)2＝12＋a2，②
由①②得a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.
当a＝1，b＝0时，r2＝13，满足题意，
当a＝5，b＝4时，r2＝37，不满足题意．
故圆C的方程为(x－1)2＋y2＝13.
(2)设直线l的方程为y＝－x＋m(m≠2)，
A(x1，m－x1)，B(x2，m－x2)．
由题意可知OA⊥OB，即eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，
∴x1x2＋(m－x1)(m－x2)＝0，
化简得2x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝0.③
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x＋m，,x－12＋y2＝13))得
2x2－2(m＋1)x＋m2－12＝0，
∴x1＋x2＝m＋1，x1x2＝eq \f(m2－12,2)，
代入③，得m2－12－m·(1＋m)＋m2＝0，
∴m＝4或m＝－3，经检验都满足题意，
∴直线l的方程为x＋y－4＝0或x＋y＋3＝0.
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2eq \r(2)，在y轴上截得线段长为2eq \r(3).
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为eq \f(\r(2),2)，求圆P的方程．
解 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.
∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.
∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P点的坐标为(x0，y0)，
则eq \f(|x0－y0|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，即|x0－y0|＝1.
∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.
①当y0＝x0＋1时，由yeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,0)＝1，得(x0＋1)2－xeq \\al(2,0)＝1.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝0，,y0＝1，))∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.
②当y0＝x0－1时，由yeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,0)＝1，得(x0－1)2－xeq \\al(2,0)＝1.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝0，,y0＝－1，))∴r2＝3.
∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.
综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.
*13.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求eq \f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．
解 (1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2eq \r(2).
又|QC|＝eq \r(2＋22＋7－32)＝4eq \r(2).
所以|MQ|max＝4eq \r(2)＋2eq \r(2)＝6eq \r(2)，
|MQ|min＝4eq \r(2)－2eq \r(2)＝2eq \r(2).
(2)可知eq \f(n－3,m＋2)表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则eq \f(n－3,m＋2)＝k.
由直线MQ与圆C有交点，
所以eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2)，
可得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，
所以eq \f(n－3,m＋2)的最大值为2＋eq \r(3)，最小值为2－eq \r(3).
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：(－eq \f(D,2)，－eq \f(E,2))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)