高中数学高考第7节 对数与对数函数 教案

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1．对数的概念
如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：
＝N；②lgaab＝b(a＞0，且a≠1)．
(2)换底公式：
lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．
(3)对数的运算性质：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①lga(M·N)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
3．对数函数的定义、图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
eq \O([常用结论])
1．换底公式的两个重要结论
(1)lga b＝eq \f(1,lgb a)；(2)lgambn＝eq \f(n,m)lga b.
其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R且m≠0.
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝lg2(x＋1)是对数函数．( )
(2)lg2x2＝2lg2x.( )
(3)函数y＝lneq \f(1＋x,1－x)与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )
(4)对数函数y＝lgax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，函数图象不在第二、三象限．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材改编
1．(lg29)·(lg34)＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C．2 D．4
D [(lg29)·(lg34)＝eq \f(lg 9,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)＝4.故选D.]
2．已知，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
D [因为0＜a＜1，b＜0，c＝lgeq \s\d8(\f(1,2))eq \f(1,3)＝lg2 3＞1.所以c＞a＞b.故选D.]
3．函数y＝的定义域是________．
eq \f(1,2)，1 [由≥0，得0＜2x－1≤1.
∴eq \f(1,2)＜x≤1.
∴函数y＝的定义域是eq \f(1,2)，1.]
4．函数y＝lga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．
(3,1) [当4－x＝1即x＝3时，y＝lga1＋1＝1.
所以函数的图象恒过点(3,1)．]
考点1 对数式的化简与求值
对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
1.设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m等于( )
A.eq \r(10) B．10
C．20 D．100
A [由已知，得a＝lg2m，b＝lg5m，
则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,lg2m)＋eq \f(1,lg5m)＝lgm2＋lgm5＝lgm10＝2.
解得m＝eq \r(10).]
2．计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(1,4)－lg 25))÷100eq \s\up18(-\f(1,2))＝________.
－20 [原式＝(lg 2－2－lg 52)×100eq \s\up20(\f(1,2))＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,22×52)))×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.]
3．计算：eq \f(1－lg632＋lg62·lg618,lg64)＝________.
1 [原式＝eq \f(1－2lg63＋lg632＋lg6\f(6,3)·lg66×3,lg64)
＝eq \f(1－2lg63＋lg632＋1－lg632,lg64)
＝eq \f(21－lg63,2lg62)＝eq \f(lg66－lg63,lg62)＝eq \f(lg62,lg62)＝1.]
4．已知lg23＝a,3b＝7，则lg3eq \r(7)2eq \r(21)的值为________．
eq \f(2＋a＋ab,2a＋ab) [由题意3b＝7，所以lg3 7＝b.
所以lg3eq \r(7) 2eq \r(21)＝lgeq \r(63) eq \r(84)＝eq \f(lg284,lg263)＝eq \f(lg222×3×7,lg232×7)＝eq \f(2＋lg23＋lg23·lg37,2lg23＋lg23·lg37)＝eq \f(2＋a＋ab,2a＋ab).]
对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形．
考点2 对数函数的图象及应用
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
(1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝eq \f(1,ax)，y＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))(a＞0，且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
(2)当0＜x≤eq \f(1,2)时，4x＜lgax，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C．(1，eq \r(2)) D．(eq \r(2)，2)
(1)D (2)B [(1)对于函数y＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，当y＝0时，有x＋eq \f(1,2)＝1，得x＝eq \f(1,2)，即y＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))的图象恒过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，排除选项A、C；函数y＝eq \f(1,ax)与y＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝lgax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上的图象，可知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＜geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，即2＜lgaeq \f(1,2)，则a＞eq \f(\r(2),2)，所以a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)).]
[母题探究]
1．(变条件)若本例(2)变为：若不等式x2－lgax＜0对x∈恒成立，求实数a的取值范围．
[解] 由x2－lgax＜0得x2＜lgax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝lgax，要使x∈时，不等式x2＜lgax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝lgax图象的下方即可．当a＞1时，显然不成立；
当0＜a＜1时，如图所示．
要使x2＜lgax在x∈上恒成立，需f1≤f2，所以有2≤lgaeq \f(1,2)，解得a≥eq \f(1,16)，所以eq \f(1,16)≤a＜1.
即实数a的取值范围是.
2．(变条件)若本例(2)变为：当0＜x≤eq \f(1,4)时，eq \r(x)＜lgax，求实数a的取值范围．
[解] 若eq \r(x)＜lgax在x∈成立，则0＜a＜1，且y＝eq \r(x)的图象在y＝lgax图象的下方，如图所示，
由图象知eq \r(\f(1,4))＜lgaeq \f(1,4)，
所以
解得eq \f(1,16)＜a＜1.
即实数a的取值范围是.
1.(2019·合肥模拟)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为( )
A B
C D
A [令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C，D.
当x＝eq \f(3,2)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝ln eq \f(1,2)＜0，排除选项B，故选A.]
2．已知函数y＝lga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1
D [由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0＜a＜1,0＜c＜1.]
3．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则( )
A．x1x2＜0 B．x1x2＝0
C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
D [作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．
显然x1＜0，x2＜0.
不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，
所以＝lg(－x1)，＝－lg(－x2)，
此时，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，
由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故选D.]
考点3 对数函数的性质及应用
解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点
(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．
(2)底数与1的大小关系．
(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
比较大小
(1)(2019·天津高考)已知a＝lg52，b＝lg0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
(2)已知a＝lg2e，b＝ln 2，c＝lgeq \s\d8(\f(1,2))eq \f(1,3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(1)A (2)D [(1)因为a＝lg52＜lg5eq \r(5)＝eq \f(1,2)，b＝lg0.50.2＞lg0.50.5＝1，c＝0.50.2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up20(\f(1,5))＞eq \f(1,2)，0.50.2＜1，所以a＜c＜b，故选A.
(2)因为a＝lg2e＞1，b＝ln 2∈(0,1)，c＝lgeq \s\d8(\f(1,2))eq \f(1,3)＝lg23＞lg2e＞1，所以c＞a＞b，故选D.]
对数值大小比较的主要方法
(1)化同底数后利用函数的单调性．
(2)化同真数后利用图象比较．
(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较．
解简单对数不等式
(1)若lgaeq \f(3,4)＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
(2)若lga(a2＋1)＜lga2a＜0，则a的取值范围是________．
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) [(1)当0＜a＜1时，lgaeq \f(3,4)＜lgaa＝1，∴0＜a＜eq \f(3,4)；
当a＞1时，lgaeq \f(3,4)＜lgaa＝1，∴a＞1.
∴实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)．
(2)由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a，
又lga(a2＋1)＜lga2a＜0，所以0＜a＜1，
同时2a＞1，所以a＞eq \f(1,2).综上，a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).]
对于形如lgaf(x)＞b的不等式，一般转化为lgaf(x)＞lgaab，再根据底数的范围转化为f(x)＞ab或0＜f(x)＜ab.而对于形如lgaf(x)＞lgbg(x)的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．
和对数函数有关的复合函数
解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
已知函数f(x)＝lg4(ax2＋2x＋3)，若f(1)＝1，求f(x)的单调区间．
[解] 因为f(1)＝1，所以lg4(a＋5)＝1，
因此a＋5＝4，a＝－1，
所以f(x)＝lg4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，
函数f(x)的定义域为(－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．
又y＝lg4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．
1.已知，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a
2．若定义在区间(－1,0)内的函数f(x)＝lg2a(x＋1)满足f(x)＞0，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))D．(0，＋∞)
A [∵－1＜x＜0，∴0＜x＋1＜1.又∵f(x)＞0，∴0＜2a＜1，∴0＜a＜eq \f(1,2).]
3．已知a＞0，若函数f(x)＝lg3(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)) [要使f(x)＝lg3(ax2－x)在[3,4]上单调递增，
则y＝ax2－x在[3,4]上单调递增，
且y＝ax2－x＞0恒成立，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)≤3，,9a－3＞0，))解得a＞eq \f(1,3).]定义
函数y＝lgax(a＞0且a≠1)叫做对数函数
图象
a＞1
0＜a＜1
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1时，y＜0；
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数