湘教版初中数学八年级下册第二单元《四边形》单元测试卷（含答案解析）
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考试范围：第二单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为( )
A. B. C. D.
2. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌( )
A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
3. 如图，▱的对角线，交于点，若，，则的长可能是( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，在平行四边形中，，，对角线、相交于点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，已知中，，是边上的中线，是的外角平分线，交于点，下列结论：；；；其中正确结论的个数是( )
A.
B.
C.
D.
7. 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是( )
A. 测量对角线是否相等 B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量四个角相等 D. 测量一组对角是否都为直角
8. 如图所示，在菱形中，，点，分别在，上，且，过点作交于点，过点作交于点，与交于点当四边形与四边形的周长之差为时，的值为( )
A. B. C. D.
9. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，添加下列一个条件，能使平行四边形成为菱形的是( )
A. B. C. D.
10. 已知菱形的面积为，一条对角线长为，则这个菱形的边长是厘米．( )
A. B. C. D.
11. 下列说法正确的是( )
A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直
C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形
12. 如图，正方形的边长为，点，分别是对角线上的两点，，，，垂足分别为，，，则图中阴影部分的面积等于( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，则______度．
14. 在平行四边形中，若，则 ，
15. 如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点若，，则阴影部分的面积之和为______．
16. 如图，在中，，分别平分和，，若从三个条件：；；中，选择一个作为已知条件，则能使四边形为菱形的是______填序号．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在四边形中，，点在边上，求证：．
18. 本小题分
如图，▱中，点在上，且，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．保留作图痕迹
在图中，画出的平分线；
在图中，画出的平分线，并说明理由．
19. 本小题分
如图，▱的对角线，相交于点，过点的直线分别与，相交于点，，写出图中关于点成中心对称的三角形，四边形．
20. 本小题分
如图，在中，，，，，分别为边，的中点．
求的度数．
求的长．
21. 本小题分
已知：如图，在中，，点，，分别是，，边上的中点求证：四边形是矩形．
22. 本小题分
如图，在中，，，，分别是，，的中点．
求证：四边形是菱形；
若，求菱形的周长．
23. 本小题分
如图，四边形是正方形，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，．
求证：≌．
24. 本小题分
如图，已知▱，对角线，相交于点，．
求证：▱是菱形．
请添加一个条件使菱形为正方形．
25. 本小题分
如图，一块边长为的正方形木板斜靠在墙边，，点，，，，在同一平面内，过点作于点．
求证：≌；
若，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意得：
，
解得：．
故选：．
边形的内角和是，根据多边形的内角和为，就得到一个关于的方程，从而求出边数．
本题根据多边形的内角和定理，把求边数问题转化成为一个方程问题．
2.【答案】
【解析】解：选项，等边三角形的内角为，个，所以个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于，不符合题意；
选项，正方形的内角为，个，所以个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于，不符合题意；
选项，正五边形的内角为，，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于，符合题意；
选项，正六边形的内角为，个，所以个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于，不符合题意；
故选：．
正多边形镶嵌有三个条件限制：边长相等；顶点公共；在一个顶点处各正多边形的内角之和为判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
在中：，
即，
的长可能为．
故选：．
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得出的取值范围，进而得出结论．
本题考查的了平行四边形的性质和三角形的三边关系．解题时注意：平行四边形对角线互相平分；三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4.【答案】
【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选：．
由，，利用三角形的三边关系，即可求得，然后由四边形是平行四边形，求得的取值范围．
本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到是的一半是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：
A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
6.【答案】
【解析】解：连接，
，
，
是边上的中线，
，故正确；
，是边上的中线，
，
，
，
，
故正确；
，平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
在中，，故正确；
，，
AE错误已知没有条件，故错误；
正确结论的个数是个，
故选：．
连接，根据等腰三角形的性质得出，即可判断；根据等腰三角形三线合一及平行线的性质，即可判断；证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出，求出，根据矩形的判定推出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，，，求出，根据勾股定理判断即可；根据和判断即可．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了矩形的定义和判定．
矩形的判定定理有：
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，据此判断．
【解答】
解：、对角线相等，四边形不一定是矩形，例如等腰梯形；
B、两组对边相等，四边形也不一定是矩形，例如平行四边形；
C、根据矩形的判定，四个角相等 则四个角都为直角，四边形就是矩形；
D、一组对角都为直角，四边形不一定是矩形，因为另两个角度数不确定．
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查菱形的性质与判定根据菱形的性质得出，，推出平行四边形、、，得出和，根据菱形的判定得出四边形与四边形是菱形，再解答即可．
【解答】
解：四边形是菱形，
，，，
，，
四边形与四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，
，即，
四边形与四边形是菱形，
四边形与四边形的周长之差为，
，
解得：，
故选C．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形的对角线互相垂直、平分．
根据菱形的面积公式可得菱形的另一对角线长，再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可求出其边长．
【解答】
解：设菱形的另一对角线长为，
，
解得：，
菱形的边长为：，
故选B．
11.【答案】
【解析】解：菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B.矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C.正方形的每一条对角线平分一组对角，故A选项符合题意；
D.平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故选：．
根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解．
本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形和轴对称图形的性质，解题的关键是逐个判断四个选项即可得出正确答案．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理．
首先根据正五边形的性质得到，然后根据角平分线的定义得到，再利用三角形内角和定理得到的度数．
【解答】
解：五边形为正五边形，
，
是的角平分线，
，
，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：如图，
四边形是平行四边形，
，，
，
．
故答案为：
空
，
空
．
根据平行四边形对边平行，同旁内角互补，即可求出的度数，根据平行四边形的性质得到的度数．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
15.【答案】
【解析】解：
如图，过点作于点，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，，又点的对称点是点，于点，于点，，，
，
．
故答案为：．
根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型．当时，四边形是菱形．只要证明四边形是平行四边形，即可解决问题；
【解答】
解：当时，四边形是菱形．
理由：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，分别平分和，
，
，
四边形是菱形．
17.【答案】证明：，
由四边形的内角和为得，
A.
在中，，
．
【解析】略
18.【答案】解：如图所示，连接，则平分；
如图所示，连接，，交于点，连接，则平分．
理由：四边形是平行四边形，且，交于点，
，
又，
平分．
【解析】依据等腰三角形的性质以及平行线的性质，即可得到平分；
依据平行四边形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到平分．
本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
19.【答案】解：四边形是平行四边形，
平行四边形关于对角线的交点成中心对称，
点和点，点和点，点和点关于点对称，
和，和，和，和关于点对称，
四边形和四边形，四边形和四边形关于原点对称．
【解析】判断两个图形是否关于点中心对称可以转换为判断两个图形的顶点是否关于点对称即可．
本题考查了中心对称的知识，解题的关键是确定关于点对称的点，从而找到关于对称的三角形和四边形．
20.【答案】解：如图，在中，，，
，
即的度数是；
由知，．
在中，，，，
．
又、分别为边、的中点，
是的中位线，
．
【解析】本题考查了三角形中位线定理、含度角的直角三角形性质．在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
由“直角三角形的两个锐角互余”的性质来求的度数；
由“度角所对的直角边等于斜边的一半”求得，则然后根据三角形中位线定理求得．
21.【答案】解：点，，分别是，，的中点，
，，
，
，
，
四边形是矩形．
【解析】本题考查了矩形的判定定理，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理和矩形的判定定理即可得到结论．
22.【答案】证明：，分别是，的中点，
且．
同理且．
又，
，
四边形是菱形．
是中点，
，
菱形的周长为．
【解析】此题主要考查三角形中位线定理，菱形的判定及性质，掌握菱形的判定与性质是解题关键．
根据三角形中位线定理与菱形的判定解答即可；
由题意易得，因此菱形的周长为．
23.【答案】证明：由题意可得，
，
则是等边三角形，
故，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
≌．
【解析】根据题意，可以得到时等边三角形，再根据正方形的性质，即可得到≌的条件，从而可以证明结论成立．
本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】证明：在▱中，
，
，
又，
，
，
▱是菱形．
答案不唯一，如添加或等．
，
菱形为正方形．
【解析】本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．
根据平行四边形可得，接着得到，然后证明出，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明；
根据正方形的判定方法添加即可．
25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
在中，，
．
【解析】由“”可证≌；
由勾股定理可得，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
