第3讲第2课时《勾股定理》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

教学路径

师：上节课我们学习了勾股定理有关问题，这节课我们继续学习勾股定理，下面我们一起来看一下根据勾股定理构造出的美丽的勾股树吧.

初步性问题

探究类型之三 勾股定理与拼图

例4  勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.如图是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn，设第一个正方形的边长为1.请解答下列问题：

（1）S1=_______；

解析：

∵第一个正方形的边长为1，∴正方形的面积为1.
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为，另一条直角边就是，
∴三角形的面积为×÷2=，

∴S1=1+.

答案：1+（填在横线上）

（2）通过探究，用含n的代数式表示S，则S=________.

图2                                        图3

解析:

如图2，若正方形的边长为a，正方形的面积为a2，（下一步）              

如图3，若含30°角的直角三角形的斜边长为a，两条直角边长分别为，，所以含30°角的直角三角形的面积为：，正好是以a为边长的等边三角形面积的一半.

（下一步）

设第n个正方形的边长和含30°角的直角三角形的斜边长为an，

（下一步）Sn= S正方形+ S三角形= an 2+=(1+) an 2.

（下一步）

a1=1，

a2=×a1=，

a3=×a2=，

…，

an=×an-1=.（下一步）

Sn= (1+) an 2=（1+）×().

答案：  （1+）×()（填在横线上）

1.师：如何求红色图形的面积？

生：（预设）分别求出三角形和正方形的面积，正方形的面积就是1，而三角形是含30°的特殊直角三角形，根据前面题目的总结，它的面积为.

2.师：好，接下来就要探究一般的规律了，由特殊到一般，方法上是否相同呢？

生：（预设）我们发现还是要求正方形和直角三角形的面积，它们都和一条边长有密切关系.

师：如果我们设第n个图形中正方形的边长为an，那么图形的面积是多少？

生：（预设）(1+) an 2.

师：最后的问题就剩下求an，观察，猜想，归纳，总结，你得到的结论是？

生：（预设）an=×an-1=，

3.师：最后我们总结一下自己的收获吧.

学生回答.

师：（1）勾股定理反映直角三角形三边关系即a2+b2=c2，同时也反映了以直角三角形三边为正方形的面积关系，是勾股定理的另一种表现形式；（2）从简单到复杂，从特殊到一般是探究规律型问题的一般方法.

师：下面我们接着来看一下勾股定理在折叠问题中有哪些应用.

类似性问题

4.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2,5,1,2，则最大的正方形E的面积是__________.

解析：

S3=S1+S2=SA+SB+SC+SD=2+5+1+2=10.

探究类型之四  勾股定理在折叠中的应用

例5  如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长.小萍灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

分别以AB，AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于G点，可得四边形AEGF为正方形.设AD=x,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

解析：根据四边形AEGF为正方形以及轴对称性质得：

EG=GF=AF=AE=AD=x，（在图中标出3个x），（下一步）

BE=BD=2，CF=CD= 3，（在图中标出2、2、3、3），（下一步）

BG=x-2，CG=x-3，（在图中标出x-2， x-3），（下一步）

在Rt△BGC中可利用勾股定理建立等量关系式．

答案：

解：设AD=x，

    由轴对称的性质得： AF=AE=AD=x，BE=BD=2，CF=CD=3.

     由四边形AEGF为正方形得EG=GF=x，

∴BG= x-2，CG= x-3.

在Rt△BCG中，∠G=90°， 

∴BG2+ CG2= CB2，

即(x-2)2+ (x-3)2= 52，

解得：x1=-1(舍)，x2=6.

1. 学生先分析一下题目，同桌之间讨论，交流分析思路，一会请同学们上来讲一讲.
2. 指定学生说说自己的解题思路：

生： AD=x，再根据已知条件，利用轴对称的性质以及四边形AEGF是正方形得：EG=GF=AF=AE=AD=x，从而得到BG= x- 2，CG= x- 3，最后在Rt△BGC中利用勾股定理建立等量关系式即可解得x的值.

3.学生求出x的取值，并指定学生说说怎么求x的值呢？

4.师：这道题目又给了大家什么启发呢？

生：（预设）本题考查了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解线段的长度．

生：（预设）我们可以借助勾股定理建立等量关系式进而求解方程.

师：（1）对折不改变图形的大小及形状，也就是说折叠前后的图形全等，并且成轴对称，其中折痕所在的直线即为对称轴；（2）借助勾股定理列方程的方法求解平面图形，是方程的一种简单应用，有时候也让我们的解题更为便捷.

类似性问题

3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6 cm，

BC=8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕

为DE，则DE的长为（     ）

A.4 cm    B.cm     C.6 cm    D.10 cm

学生独立完成，指定学生讲解.

解析：

由折叠性质知AD=BD，设BD=x cm，则CD=（8-x）cm.

在Rt△ACD中，AC 2+CD 2=AD 2，∴62+(8-x) 2=x2,解得x=；（下一步）

在Rt△ABC中，AB===10（cm）,

∴ AE=BE=5cm,

∴DE===（cm）.

师：三角形除了沿一边上的中垂线翻折，还可以如何翻折，留给大家思考.

初步性问题

探究类型之五  利用勾股定理求立体图形中两点间的距离

例6  请阅读下列材料：

问题：如图甲，一圆柱的底面半径为5 dm，BC是底面直径，高AB为5 dm，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线；

路线1：侧面展开图中的线路AC，如图乙所示.

设路线1的长度为，则=AC=AB+BC=5+(5π)=25+25π.

路线2：高AB+底面直径BC，如图甲所示：

设路线2的长度为，则=(AB+BC)=(5+10)=225.

∵-=25+25π-225=25π-200=25（π-8）＞0.

∴＞,∴＞.所以选择路线2较短.

（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1 dm，高AB为5 dm”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算:

路线1：=AC=______ _____________；

路线2：=（AB+BC）=___      ___.

∵_____，∴____，（填“＞”或“＜”）

∴应选择路线______  _（填“1”或“2”）较短.

（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.

解析:

（1）路线1：蚂蚁从A点沿侧面爬行到C点的最短路线，将几何体展开，依据是“两点之间线段最短”，利用直角三角形的勾股定理求解；路线2：利用线段的和差关系求解.

答案：

（1）AB2+BC2=52+π2；（5+2）2=49；＜；＜；1（直接填在横线上）

解析:

（2）解不等式，确定大小关系.

答案：

解：（2）路线1：=AC2=AB2+BC2=h2+(πr)2=h2+π2r2.

路线2：=(AB+BC)2=(h+2r)2.

∴-=(h2+π2r2)-(h+2r)2 =π2r2-4hr-4r2. （下一步）

当-＞0时, π2r2-4hr-4r2＞0,即［(π2-4)r-4h］·r＞0.

又r＞0, ∴(π2-4)r-4h＞0， 解得r＞.

当-＜0时，π2r2-4hr-4r2＜0,即(π2-4)r-4h］·r＜0.

又r＞0, ∴(π2-4)r-4h＜0，解得r＜,（下一步）

综上：当r＞时，＞，选择路线2.

当0＜r＜时，＜，选择路线1.

当r=时，=，选择路线2或路线1都可以.

师：路线1是常见的类型：求几何体侧面上两点间的最短距离，通常的方法如何求解？

生：（预设）将几何体展开在平面上，利用两点之间线段最短确定最短路线.

师：很好，路线2是如何设计的呢？

生：（预设）直接是线段的和差关系.

师：由特殊到一般，我们要探究路线1和路线2的优劣，如何比较呢？

生：（预设）根据第一问的提示，作差法比较大小，解不等式.

类似性问题

5. 如图，圆柱形容器中，高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3 m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m（容器厚度忽略不计）．

师：对于此类题的解题方法一定是展开成平面图来计算，然后连接AB,AB为壁虎捕捉蚊子的最短距离.同学们，你们说这样对吗？

生：不对，AB不是最短距离，壁虎爬行的距离应该是AE+EB，

师：说得非常好，那我们怎么求AE+EB的最短距离呢？

生：作点A关于CD的对称点A′,连接A′B，则A′B的长即为所求最短距离.

解析：

将圆柱侧面展开如图所示，（下一步）

作点A关于CD的对称点A′,连接A′B，（动画作出上边的辅助线）则A′B的长即为所求最短距离.

过点B作BF⊥AC于F（在图中作出），则BF=0.5m，A′F=1.2m，根据勾股定理得A′B===1.3（m）.