第5讲第2课时《平行四边形》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

第五讲  平行四边形［教学内容］八年级第五讲“平行四边形”.（第一课时）［教学目标］知识技能理解平行四边形的定义，掌握平行四边形常用的判定方法.结合平行四边形的性质及判定，进一步培养学生推理论证的能力.数学思考经历运用平行四边形描述现实生活的过程，发展学生的抽象思维和形象思维.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.解决问题运用平行四边形的性质进行有关的证明和计算.感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性，发展学生的实践能力及创新意识.情感态度
　　在应用平行四边形的性质过程中培养独立思考的习惯，进一步认识数学与生活的密切联系. [教学重点、难点]重点：平行四边形性质的探究，平行四边形的判定.
　　难点：平行四边形的判定.[教学准备]动画多媒体语言课件.      第一课时教学路径 导入：师：在之前的两讲内容中，我们主要学习了勾股定理及其逆定理，勾股定理帮我们解决了很多和直角三角形有关的数学问题，直角三角形是一种特殊的三角形，那么我们今天重点学习一种特殊的四边形——平行四边形. 启动型问题：如图（1）为某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F，乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假设两车的速度，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站？      小萍：连接BE交AD于点G，如图（2）.∵BA∥DE，BD∥AE，∴四边形ABDE为平行四边形.∴BG=EG，AB=DE，BD=AE.∵GF∥BC，∴EF=FC.又∵BC⊥EC，∴GF⊥EC.∴DC=DE，AB=DC.∴BA+AE+EF=BD+DC+CF.∴两人同时到达F站. 师：考虑一下，我们都运用了哪些平行四边形的性质及判定定理？下面让我们一起回顾一下平行四边形的概念、性质及判定定理. 回顾1.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.(下一步)2.平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等；定理2：平行四边形的对角相等；定理3：平行四边形的对角线互相平分.(下一步)                                 两组对边分别平行                                 两组对边分别相等         两组对角分别相等（邻角互补）    角                                 对角线互相平分         对角线 3.平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；定理2：对角线互相平分的四边形是平行四边形；定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(下一步)              两组对边分别平行             两组对边分别相等一组对边平行且相等   的四边形是平行四边形角           两组对角分别相等    对角线       对角线互相平分          （下一步）4.三角形的中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.  初步性问题探究类型之一 平行四边形的判定例1  如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．（分两题出示）（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．  （1）解析：四边形ABCD      AD∥BC     DF∥CE是平行四边形      AD＝BC                  四边形CEDF是平行四边形F是AD的中点    DF=AD    DF＝CE             CE=BC出现顺序：红色 黑色  蓝色 绿色 紫色 下划线 橙色 （下一步）答案：证明: ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC. ∵F是AD的中点，∴DF=AD.又∵CE=BC，∴DF＝CE又∵DF∥CE．∴四边形CEDF为平行四边形．（2）课件出示解析：闪图中AB∥CD，然后在图中标上∠B与∠DCE标上弧度线，并标上60°（下一步）过点D作DH⊥BE于点H(动画在图中作出），构造含30°角的Rt△DCH和Rt△DHE，然后运用勾股定理来求线段ED的长度． 答案: 解：过点D作DH⊥BE于H，如图.∵AB＝4，∴CD＝4．∵AB∥DC，∴∠B=∠DCE，∵∠B＝60°，∴∠DCE＝60°.在Rt△DCH中，∠DHC＝90°，∵CD＝4，∠CDH＝30°，∴CH＝2，∴DH＝2.∵四边形CEDF为平行四边形．∴CE＝DF＝AD＝3,∴EH＝1.在Rt△DHE中，∠DHE＝90°，DE＝=. 1.师：如何证明四边形CEDF是平行四边形呢？生:根据四边形ABCD是平行四边形知边DF∥CE，已知一组对边平行的前提下，我们可以证明另一组对边平行或这组对边相等，根据条件我们可以证这组对边相等.师：非常好，在这里我们采用的证明方法是？生：综合法,由因导果.师：我们在证明的时候要注意分析已知条件和要证明的结果，选取适当的方法进行证明.生独立完成（1），然后指定学生讲解.2.师：如何求DE的长，边分析边标已知条件？生：将已知条件标在图中，根据已知条件得CD＝4，∠DCE＝60°，此时可过点D作DH⊥BE于点H，构造含30°角的Rt△DCH和Rt△DHE，然后运用勾股定理来求线段ED的长度．学生独立完成，然后找学生说说自己的答案.3.师：非常好，根据给出的线索我们可以渐渐的找到解决问题的方法，通过构造直角三角形来求线段的长度，在九年级的时候我们能够将这个问题看的更清楚，大家发现已知条件是边角边，正好和判定三角形全等的条件吻合，这其实是一个解斜三角形问题，目前初中阶段的方法就是转化为解直角三角形，当然高中还有其它更简单的方法，余弦定理.  类似性问题1.已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD.从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（      ）A.6种      B.5种     C.4种      D.3种 解析：从四个条件中任选两个有6种情况：①②;①③,①④,②③;②④,③④.（下一步）其中能使四边形ABCD是平行四边形的有①②，①③，②④，③④. （下一步）    反例：①④；②③                            5.如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD,②AO＝CO,③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题．（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果……，那么……”的形式）  答案：（1）解：是真命题.证明如下：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，又∵∠AOB＝∠COD，AO＝CO，∴△ABO≌△CDO,∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形.（下一步）（2）假命题1：四边形ABCD中，如果AB∥CD，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形；假命题2：四边形ABCD中，AC交BD于点O，如果AO＝CO，AD＝BC，那么四边形ABCD是平行四边形.反例：如图①，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形；如图②，四边形ABCD中，AO＝CO，AD＝BC，但四边形ABCD不是平行四边形.    图①                           图② 初步性问题探究类型之二 平行四边形的性质例 2  如图，在ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．（1）求证：△ABN≌△CDM；（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．  （1）解析：四边形ABCD        AB=CD是平行四边形       ∠B=∠CDM                    △ABN≌△CDMAD=BC                         M、N分别是       DM=AD       DM= BNAD，BC的中点     BN=BC 出现顺序：红色 黑色  蓝色  下划线   绿色 （下一步）答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM.∵M、N分别是AD，BC的中点，∴DM=AD ，BN=BC，∴BN=DM.∵在△ABN和△CDM中，AB=CD,∠B=∠CDM,BN=DM,∴△ABN≌△CDM(SAS). （2）解析：结合直角三角形斜边中线的性质、平行线的性质及∠1=∠2可得∠MND=∠CND=∠2=30°，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 答案：解：∵M是AD的中点，∠AND=90°，∴MN=MD=AD，∴∠1=∠MND.∵AD∥BC，∴∠1=∠CND.∵∠1=∠2，∴∠MND=∠CND=∠2，∵CE⊥MN，∴∠CEN=90°，∴∠MND=∠CND=∠2=30°.在Rt△PNE中，∠PEN=90°，∵∠MND=30°，PE=1，∴PN=2PE=2，∴NE=.∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，∴△CNM是等边三角形，∵CE⊥MN，∴MN= 2NE=2，∴CM=2．∵△ABN ≌△CDM，∴AN=CM=2． 师：如何证明两个三角形全等呢？生：，根据SAS来证明两个三角形全等.师：如何求AN的长？生：结合直角三角形斜边中线的性质、平行线的性质及∠1=∠2可得∠MND=∠CND=∠2=30°，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可.师：其实四边形CDMN是？生：菱形.师：求线段的长时注意找等量线段. 初步性问题探究类型之三   平行四边形的性质和判定的综合例  3  如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，EH∥FG分别交BA和DC的延长线于点G、H，连接EG,FH．（分两题出示）求证：（1）△BFG≌△DEH；（2）GE=HF．     （1）解析：                                            （标出∠1、∠2、∠3、∠4）四边形ABCD     AB∥CD      ∠1=∠2是平行四边形                                    EH∥FG      ∠3=∠4         △BFG≌△DEH BE=DF      BF =DE 出现顺序：红色 黑色  蓝色  下划线   绿色 答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1=∠2.∵EH∥FG，∴∠3=∠4.∵BE=DF，∴BF=BE+EF=DF+EF=DE.∵在△BFG和△DEH中 ,∠1=∠2,BF＝DE, ∠3=∠4,∴△BFG≌△DEH（ASA）.（2）解析：△BFG≌△DEH    FG=EH          四边形GEHF是平行四边形    GE=HFFG∥EH       出现顺序：红色 黑色  绿色  下划线   蓝色   答案：证明：由（1）知△BFG≌△DEH，∴FG=EH.又∵EH∥FG，∴四边形GEHF是平行四边形，∴GE=HF． 师：如何证明两个三角形全等？生： ASA.师：如何证明两条线段相等？生：将两条线段放在平行四边形中，利用平行四边形的性质证明.师：很好，还有别的方法吗？生：全等.师：很好，大家要学会不断的总结证明的方法，比如这里证明线段相等的方法有哪些？学生回答. 类似性问题 3.如图，ABCD中，∠ABC=60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是________.    学生独立完成，然后指定学生说说自己的解题思路.解析：证明四边形ABDE为平行四边形得到AB=DE,从而得到AB=CE.（下一步）在Rt△CEF中，设CF=x，则CE=2x，根据勾股定理求出x的值.