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第5讲第2课时《平行四边形》(教案)2022—2023学年人教版数学八年级下册
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第五讲 平行四边形[教学内容]八年级第五讲“平行四边形”.(第一课时)[教学目标]知识技能理解平行四边形的定义,掌握平行四边形常用的判定方法.结合平行四边形的性质及判定,进一步培养学生推理论证的能力.数学思考经历运用平行四边形描述现实生活的过程,发展学生的抽象思维和形象思维.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.解决问题运用平行四边形的性质进行有关的证明和计算.感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性,发展学生的实践能力及创新意识.情感态度
在应用平行四边形的性质过程中培养独立思考的习惯,进一步认识数学与生活的密切联系. [教学重点、难点]重点:平行四边形性质的探究,平行四边形的判定.
难点:平行四边形的判定.[教学准备]动画多媒体语言课件. 第一课时教学路径 导入:师:在之前的两讲内容中,我们主要学习了勾股定理及其逆定理,勾股定理帮我们解决了很多和直角三角形有关的数学问题,直角三角形是一种特殊的三角形,那么我们今天重点学习一种特殊的四边形——平行四边形. 启动型问题:如图(1)为某城市部分街道示意图,AF∥BC,EC⊥BC,BA∥DE,BD∥AE,甲、乙两人同时从B站乘车到F站,甲乘1路车,路线是B→A→E→F,乙乘2路车,路线是B→D→C→F.假设两车的速度,途中耽误时间相同,那么谁先到达F站? 小萍:连接BE交AD于点G,如图(2).∵BA∥DE,BD∥AE,∴四边形ABDE为平行四边形.∴BG=EG,AB=DE,BD=AE.∵GF∥BC,∴EF=FC.又∵BC⊥EC,∴GF⊥EC.∴DC=DE,AB=DC.∴BA+AE+EF=BD+DC+CF.∴两人同时到达F站. 师:考虑一下,我们都运用了哪些平行四边形的性质及判定定理?下面让我们一起回顾一下平行四边形的概念、性质及判定定理. 回顾1.平行四边形定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.(下一步)2.平行四边形的性质定理1:平行四边形的对边相等;定理2:平行四边形的对角相等;定理3:平行四边形的对角线互相平分.(下一步) 两组对边分别平行 两组对边分别相等 两组对角分别相等(邻角互补) 角 对角线互相平分 对角线 3.平行四边形的判定定理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;定理2:对角线互相平分的四边形是平行四边形;定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(下一步) 两组对边分别平行 两组对边分别相等一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形角 两组对角分别相等 对角线 对角线互相平分 (下一步)4.三角形的中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半. 初步性问题探究类型之一 平行四边形的判定例1 如图,在ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使CE=BC,连接DE,CF.(分两题出示)(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)若AB=4,AD=6,∠B=60°,求DE的长. (1)解析:四边形ABCD AD∥BC DF∥CE是平行四边形 AD=BC 四边形CEDF是平行四边形F是AD的中点 DF=AD DF=CE CE=BC出现顺序:红色 黑色 蓝色 绿色 紫色 下划线 橙色 (下一步)答案:证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,AD=BC. ∵F是AD的中点,∴DF=AD.又∵CE=BC,∴DF=CE又∵DF∥CE.∴四边形CEDF为平行四边形.(2)课件出示解析:闪图中AB∥CD,然后在图中标上∠B与∠DCE标上弧度线,并标上60°(下一步)过点D作DH⊥BE于点H(动画在图中作出),构造含30°角的Rt△DCH和Rt△DHE,然后运用勾股定理来求线段ED的长度. 答案: 解:过点D作DH⊥BE于H,如图.∵AB=4,∴CD=4.∵AB∥DC,∴∠B=∠DCE,∵∠B=60°,∴∠DCE=60°.在Rt△DCH中,∠DHC=90°,∵CD=4,∠CDH=30°,∴CH=2,∴DH=2.∵四边形CEDF为平行四边形.∴CE=DF=AD=3,∴EH=1.在Rt△DHE中,∠DHE=90°,DE==. 1.师:如何证明四边形CEDF是平行四边形呢?生:根据四边形ABCD是平行四边形知边DF∥CE,已知一组对边平行的前提下,我们可以证明另一组对边平行或这组对边相等,根据条件我们可以证这组对边相等.师:非常好,在这里我们采用的证明方法是?生:综合法,由因导果.师:我们在证明的时候要注意分析已知条件和要证明的结果,选取适当的方法进行证明.生独立完成(1),然后指定学生讲解.2.师:如何求DE的长,边分析边标已知条件?生:将已知条件标在图中,根据已知条件得CD=4,∠DCE=60°,此时可过点D作DH⊥BE于点H,构造含30°角的Rt△DCH和Rt△DHE,然后运用勾股定理来求线段ED的长度.学生独立完成,然后找学生说说自己的答案.3.师:非常好,根据给出的线索我们可以渐渐的找到解决问题的方法,通过构造直角三角形来求线段的长度,在九年级的时候我们能够将这个问题看的更清楚,大家发现已知条件是边角边,正好和判定三角形全等的条件吻合,这其实是一个解斜三角形问题,目前初中阶段的方法就是转化为解直角三角形,当然高中还有其它更简单的方法,余弦定理. 类似性问题1.已知四边形ABCD,有以下四个条件:①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有( )A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 解析:从四个条件中任选两个有6种情况:①②;①③,①④,②③;②④,③④.(下一步)其中能使四边形ABCD是平行四边形的有①②,①③,②④,③④. (下一步) 反例:①④;②③ 5.如图,四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在①AB∥CD,②AO=CO,③AD=BC中任意选取两个作为条件,“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题.(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?若是,请证明;若不是,请举出反例;(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举出反例加以说明.(命题请写成“如果……,那么……”的形式) 答案:(1)解:是真命题.证明如下:∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,又∵∠AOB=∠COD,AO=CO,∴△ABO≌△CDO,∴AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.(下一步)(2)假命题1:四边形ABCD中,如果AB∥CD,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形;假命题2:四边形ABCD中,AC交BD于点O,如果AO=CO,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.反例:如图①,四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形;如图②,四边形ABCD中,AO=CO,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形. 图① 图② 初步性问题探究类型之二 平行四边形的性质例 2 如图,在ABCD中,M、N分别是AD,BC的中点,∠AND=90°,连接CM交DN于点O.(1)求证:△ABN≌△CDM;(2)过点C作CE⊥MN于点E,交DN于点P,若PE=1,∠1=∠2,求AN的长. (1)解析:四边形ABCD AB=CD是平行四边形 ∠B=∠CDM △ABN≌△CDMAD=BC M、N分别是 DM=AD DM= BNAD,BC的中点 BN=BC 出现顺序:红色 黑色 蓝色 下划线 绿色 (下一步)答案:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠CDM.∵M、N分别是AD,BC的中点,∴DM=AD ,BN=BC,∴BN=DM.∵在△ABN和△CDM中,AB=CD,∠B=∠CDM,BN=DM,∴△ABN≌△CDM(SAS). (2)解析:结合直角三角形斜边中线的性质、平行线的性质及∠1=∠2可得∠MND=∠CND=∠2=30°,然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可. 答案:解:∵M是AD的中点,∠AND=90°,∴MN=MD=AD,∴∠1=∠MND.∵AD∥BC,∴∠1=∠CND.∵∠1=∠2,∴∠MND=∠CND=∠2,∵CE⊥MN,∴∠CEN=90°,∴∠MND=∠CND=∠2=30°.在Rt△PNE中,∠PEN=90°,∵∠MND=30°,PE=1,∴PN=2PE=2,∴NE=.∵∠MNC=60°,CN=MN=MD,∴△CNM是等边三角形,∵CE⊥MN,∴MN= 2NE=2,∴CM=2.∵△ABN ≌△CDM,∴AN=CM=2. 师:如何证明两个三角形全等呢?生:,根据SAS来证明两个三角形全等.师:如何求AN的长?生:结合直角三角形斜边中线的性质、平行线的性质及∠1=∠2可得∠MND=∠CND=∠2=30°,然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可.师:其实四边形CDMN是?生:菱形.师:求线段的长时注意找等量线段. 初步性问题探究类型之三 平行四边形的性质和判定的综合例 3 如图,已知在ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,BE=DF,EH∥FG分别交BA和DC的延长线于点G、H,连接EG,FH.(分两题出示)求证:(1)△BFG≌△DEH;(2)GE=HF. (1)解析: (标出∠1、∠2、∠3、∠4)四边形ABCD AB∥CD ∠1=∠2是平行四边形 EH∥FG ∠3=∠4 △BFG≌△DEH BE=DF BF =DE 出现顺序:红色 黑色 蓝色 下划线 绿色 答案:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠1=∠2.∵EH∥FG,∴∠3=∠4.∵BE=DF,∴BF=BE+EF=DF+EF=DE.∵在△BFG和△DEH中 ,∠1=∠2,BF=DE, ∠3=∠4,∴△BFG≌△DEH(ASA).(2)解析:△BFG≌△DEH FG=EH 四边形GEHF是平行四边形 GE=HFFG∥EH 出现顺序:红色 黑色 绿色 下划线 蓝色 答案:证明:由(1)知△BFG≌△DEH,∴FG=EH.又∵EH∥FG,∴四边形GEHF是平行四边形,∴GE=HF. 师:如何证明两个三角形全等?生: ASA.师:如何证明两条线段相等?生:将两条线段放在平行四边形中,利用平行四边形的性质证明.师:很好,还有别的方法吗?生:全等.师:很好,大家要学会不断的总结证明的方法,比如这里证明线段相等的方法有哪些?学生回答. 类似性问题 3.如图,ABCD中,∠ABC=60°,点E,F分别在CD和BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,EF=,则AB的长是________. 学生独立完成,然后指定学生说说自己的解题思路.解析:证明四边形ABDE为平行四边形得到AB=DE,从而得到AB=CE.(下一步)在Rt△CEF中,设CF=x,则CE=2x,根据勾股定理求出x的值.
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