第7讲第1课时《正方形》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

教学路径

导入：

师：在学完平行四边形、矩形和菱形之后，今天我们来学习正方形.

启动型问题：

如图（1）所示，正方形花园ABCD内有两条相交的人行道MN，EF，而且MN⊥EF，M、N、E、F分别为边AB、CD、AD、BC上的出口.小萍认为MN=EF，你认为她说得对吗？

小亮：说得对，理由如下：如图（2），过点D作DG∥MN交AB于点G，

过点C作CH∥EF交AD于点H.

∵AB∥CD，AD∥BC.

∴四边形DNMG是平行四边形，四边形CFEH是平行四边形.

∴DG=MN，EF=CH.

∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.

∵∠A=∠CDH=90°,AD=DC.

∴△ADG≌△DCH,∴DG=CH.∴MN=EF.

回顾

1.正方形的概念

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.（下一步）

2.正方形与矩形、菱形的关系

有一个角是90°的菱形正方形有一组邻边相等的矩形. （下一步）

（下一步）

3.正方形的性质

定理：（1）四条边都相等；

（2）四个角都是直角；

（3）对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. （下一步）

初步性问题

探究类型之一正方形的性质

例1  如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．(分两题出示)

（1）求证：CE=CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

师：如何证明线段相等？

生：由于两条线段在两个三角形中，可通过全等证明.

师：如何证明线段的和差关系？

生：截长补短，转化为求线段相等，证明线段相等.

师：正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，因此正方形除具有矩形和菱形的性质外，又具有一些独特的性质，是证明线段或角相等以及有关线段或角计算的重要依据.

（1）解析：

根据正方形的性质及DF=BE证明△CBE≌△CDF（在图中将△CBE与△CDF填充上颜色）；（下一步）

答案：证明：根据正方形的性质可知：

BC=CD，∠B=∠CDA=∠CDF=90°，

又∵BE=DF，

∴△CBE≌△CDF（SAS），

∴CE=CF．

（2）解析：动画在“GE=BE+GD”下划横线，箭头，出示文字： GE=GF（下一步）出示箭头，出示文字：证明△CGE≌△CGF.（同时在图中将△CGE和△CGF填充上颜色）

答案：

解：GE=BE+GD成立． 证明如下:

由（1）知：△CBE≌△CDF，

∴∠BCE=∠DCF，

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°.

又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．

∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，

∴△CGE≌△CGF（SAS）．

∴GE=GF，

∴GE=DF+GD=BE+GD．

例2   已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF.

（1）求证：BE=DF；（分两题出示）

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论.

师：线段相等问题？

生：利用三角形全等证明.

师：四边形AEMF是什么特殊四边形，如何证明？

生：菱形，先证是平行四边形.

师：如何证明是平行四边形？

生：对角线互相平分.

师：此类问题主要考查正方形的性质定理和菱形的判定定理的综合运用，解题关键是掌握正方形的性质，灵活运用菱形的判定定理，创造条件进行证明.

（1）

解析：动画用手按下图标出图中的红色和紫色，直角（先标同色）

，最后出示文字：

直接根据正方形的四边相等，四个角相等，运用HL证明

Rt△ABE≌Rt△ADF,即可得BE=DF.

答案：

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=90°.

又∵AE=AF,

∴Rt△ABE≌Rt△ADF，

∴BE=DF.

（2）

解析：

根据等腰三角形的三线合一可证O平分EF，（动画将△EFC填充颜色）

（下一步）已知四边形AEMF的对角线AM被O平分，即可证明四边形AEMF是平行四边形,又AE=AF，故其为菱形.

答案：

答：四边形AEMF是菱形.证明如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCA=∠DCA=45°,BC=DC.

∵BE=DF,

∴BC-BE=DC-DF,即CE=CF.

又∵OC=OC，

∴△ECO≌△FCO，

∴OE=OF.

又∵OM=OA，

∴四边形AEMF是平行四边形.

∵AE=AF，

∴平行四边形AEMF是菱形.

类似性问题

3. 如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是___________.

解析：

∵AE=AC，∠EAC=45°,

∴∠ACE=∠E=×(180°-45°)=67.5°,

∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=67.5°-45°=22.5°.

4.如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F,连接EF．求证:AM=EF．

解析：

连接MC（动画在图中作出），证明△ABM≌△CBM（将图中的两个三角形图上颜色）得到AM=CM，

（下一步）易知四边形MECF为矩形可得EF=CM，故AM=EF．（给四边形MECF填充上颜色）

5.   如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且

∠EDF=45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

（1）求证：EF=FM；

（2）当AE=1时，求EF的长．

解析：

（1）根据旋转的性质及∠EDF=45°，利用SAS证明△DEF≌△DMF；

（下一步）

（2）设EF=x，则FC=FM-CM=x-1，故BF=BC-FC=4-x，易知BE=2，在Rt△BEF中根据勾股定理列方程求解.

初步性问题

探究类型之二    正方形的判定

例3  如图，△ABC是等腰三角形，∠A=90°,点P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点.

（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；

（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，说明理由.

师：如何证明△PDQ是等腰直角三角形？

生：分别证明△PDQ是等腰和直角三角形.

师：如何证等腰？

生：利用全等证明两边相等.

师：如何确定点P的位置？

生：执果索因.

师：要判定一个四边形是正方形，最常用的方法就是，就是证明它是矩形，再证明这个矩形有一组邻边相等.或先证明它是菱形，再证明这个菱形有一个角是直角.

（1）

解析：

连接AD(动画在图中作出)，证明△BPD≌△AQD.（然后图中的两个三角形填充上颜色）

答案：

证明：连接AD.

∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点.

∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B.

又∵BP=AQ，

∴△BPD≌△AQD.

∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP.

∵∠BDP+∠ADP=90°,

∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°，

∴△PDQ为等腰直角三角形.

 (2)

解析：

通过有一组邻边相等的矩形是正方形证明.

答案：

答：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形.理由如下：

由（1）知△ABD为等腰直角三角形.

当P点运动到AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°.

∴四边形APDQ为矩形，

又∵DP=AP=AB,

∴四边形APDQ是正方形.

类似性问题

1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（      ）

A.BC=AC             B.CF⊥BF

C.BD=DF             D.AC=BF

解析：动画：先用手标上紫色的，然后用手依次将线描成红色和绿色，

（下一步）

又因为BE=BF，所以BE=EC=BF=CF，所以四边形BECF是菱形.

（下一步）若CF⊥BF，根据““有一个角是90°相等的菱形是正方形””易知四边形BECF是正方形；（下一步）

若BC=AC，则根据等腰三角形三线合一的性质可知CE⊥AB，故四边形BECF是正方形；（下一步）

若BD=DF，则BC=EF，根据“对角线相等的菱形是正方形”得四边形BECF是正方形.