第13讲第1课时《关于一次函数的分段函数的应用》（教案）2022—2023学年人教版数学八年级下册

教学路径

方案说明

一 、课前谈话：

上节课我们已经学习了运用一次函数解决实际问题的知识，但上节课我们所用到的函数主要是一次函数，并且整个实际过程都是用一个函数来描述的，但是在实际生活当中，往往一个问题可能有几个不同的阶段，并且每一阶段用来描述问题的函数也设不一样的，那么这样的问题又改如何来解决呢？

师：带领学生回顾复习分段函数的相关知识.

小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时10分，到达学校的时间是7：55，为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步.（分两题）

（1）小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？

小萍：（1）小刚每分钟走1 200÷10=120（步），

每步走100÷150＝（米），

所以小刚上学的步行速度是120×＝80（米/分）.

小刚家和少年宫之间的路程是80×10＝800（米）.

少年宫和学校之间的路程是80×（25-10）＝1 200（米）.

（2）下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留.问：

①小刚到家的时间是下午几时？

②小刚回家过程中，离家的路程s（米）与时间t（分）之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式.

小颖：（2）①＝60（分），所以小刚到家的时间是下午5：00. （下一步）

②小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时=20分，此时小刚离家1100米，所以点B的坐标是（20，1100）.线段CD表示小刚与同伴玩了30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s(米）与行走时间t（分）之间的函数关系，由路程与时间的关系得s=1100-110(t-50),即线段CD所在直线的函数解析式是s=6600-110t.（下一步）

线段CD所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得：点C的坐标是（50，1100），点D的坐标是（60，0），设线段CD所在直线的函数解析式是s=kt+b，将点C,D的坐标代入，

得解得

所以线段CD所在直线的函数解析式是s=-110t+6600.

二、自主探究，合作交流

回顾：

（1）分段函数的特征：不同的自变量区间所对应的函数解析式不同，其函数图象是一个折线.

（2）分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上，在求函数解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值.

师：下面我们来看几道例题：

初步性问题

探究类型之一   天然气（或水费）中的分段函数

例1：为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源.某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如下表所示：

（1）若甲用户3月份的用气量为60 m3，则应缴费______元；

解析：60×2.5=150（元）

答案：150

（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3）,y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；

解析：动画用手标把B点横纵线，描一遍，然后出示：根据用气125 m3时费用为325元列方程求a的值；

（下一步）现在图中把A点描一遍，然后A点y轴左边出示：75×2.5=187.5

根据点A（75,187.5），B（125,325），C（145,385）用待定系数法求每一段对应的函数解析式.

答案：

解：根据题意得75×2.5+（125-75）a=325，解得a=2.75.

线段OA的函数解析式为y=2.5x(0≤x≤75).

75×2.5=187.5，故A(75,187.5)，B（125,325），C（145,385）.（下一步）

设线段AB和射线BC的函数关系式分别为y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,由题意得

解得

所以y1=2.75x-18.75(75＜x≤125)，y2=3x-50(x＞125).

综上可知y=

（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用气175 m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？

解析：设乙用户2月份用气x m3，则3月份用气（175-x）m3，由x>175-x

解得x>87.5；

（下一步）（动图）

（下一步）分87.5<x<100，100≤x≤125，x>125三种情况讨论.

答案：

解：设乙用户2月份用气x m3,则3月份用气（175-x）m3，根据题意得x>175-x，解得x>87.5.

①当87.5<x<100时,75<175-x<87.5,

2.75x-18.75+2.75（175-x）-18.75=455,此方程无解.

②当100≤x≤125时, 50≤175-x≤75,

2.75x-18.75+2.5（175-x）=455,解得x=145，舍去.

③当x>125时， 175-x<50,

3x-50+2.5(175-x)=455,解得 x=135,175-x=40.

故乙用户2、3月份的用气量分别是135 m3、40 m3.

师：如何求分段函数的解析式？

生：先求出a，再用待定系数法求每段函数的解析式.

师：如何求乙用户2、3月份的用气量？

生：设乙用户二月份的用气量为x，先根据不等关系求出取值范围，然后再分类讨论.

师：（1）单价×数量=总价；

（2）运用待定系数法求一次函数的解析式；

（3）解决分段函数问题时，要注意分类讨论思想在解实际问题的运用.

探究类型之二   分段函数在实际生活中的应用

例2：为响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的阶梯电价，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如折线图，

请根据图象回答下列问题：

（1）当用电量是180千瓦时时，电费是_________元；

（2）第二档的用电量范围是___________________；

（3）“基本电价”是____________元/千瓦时；

解析：（1）动画用手描一边A点及x,y轴的垂线，然后出示：用电量为180千瓦时的电费为108元；（下一步）

（2）动画用手分别用三种颜色描OA,AB，BC，然后出示文字：从函数图象可以看出第二档的用电量的范围是超过180千瓦时但不超过450千瓦时；

（下一步）

（3）108÷180=0.6（元/千瓦时）.

答案：（1）108     （2）超过180千瓦时但不超过450千瓦时

（3）0.6  （直接填在横线上）

（4）小明家8月份的电费是328．5元，这个月他家用电多少千瓦时？

解析：动画用手先将328．5元标在y轴上，做动画：

然后出示文字：小明家8月份的用电量超过450千瓦时，先求出直线BC的函数解析式，再将y=328．5代入计算．

答案：

因为328．5＞283．5，所以他家本月用电量超过450千瓦时.设直线BC的解析式为y=kx+b，

将（450，283．5），（540，364．5）坐标代入，

得 解得

所以直线BC的解析式为y=0.9x-121.5.

将y=328.5代入y=0.9x-121.5，得328.5=0．9x-121.5，解得x=500，所以小明家本月用电500千瓦时.

师：如何求8月份的用电量？

生：由电费是328．5元，他家本月用电量超过450千瓦时，要想求出他家的用电量，先利用待定系数法求分段函数在BC段的解析式，代入求值即可.

师：此类问题多以分段函数的形式出现，正确理解分段函数是解决问题的关键，一般应从如下几方面入手:

（1）寻找分段函数的分段点；

（2）针对每一段函数关系，求解相应的函数解析式；

（3）利用条件可求未知问题.

探究类型之三  出租车计费中的分段函数

例3某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下列问题：

（分两道题出示）

（1）出租车的起步价是多少元？当x>3时，求y关于x的函数解析式；

（2）若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程.

解析：（1）动画用手描一遍图中的平行x轴的线段，然后出示文字：

出租车的起步价是8元，

（下一步）动画用手描一遍图中的斜线段，描点（3，8），（5,12），然后出示文字：

设当x＞3时，y与x的函数关系式为y=kx+b，运用待定系数法即可求出；

（下一步）

（2）将y=32代入（1）中的函数解析式就可以求出x的值．

答案：解：

（1）由图象可知，出租车的起步价是8元.当x>3时，设函数的解析式为y=kx+b.

∵图象经过点（3,8），（5,12），

∴ 解得 ∴y=2x+2.

（2）当y=32时，2x+2=32，解得x=15.

答：这位乘客乘车的里程是15 km.

类似性问题

1.某移动通讯公司提供了A、B两种方案的通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是（     ）

A. 若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元

B. 若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜

C. 若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多

D. 若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分

1、学生独立解答完成本题，最后找学生来说说自己的解答过程.

2、老师评价.

2.一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(单位：升)与时间x（单位：分）之间的部分关系如图所示．那么，从关闭进水管起______分钟该容器内的水恰好放完.

解析：进水速度：20÷4=5（升/分）；（下一步）

出水速度：5-（30-20）÷8=3.75（升/分）；（下一步）

30÷3.75=8（分）.

1、学生独立解答完成本题，最后找学生来说说自己的解答过程.

2、老师评价.

三、总结反思，拓展升华

这节课我们主要学习了不等式组解法的相关知识，同学们自己思考掌握的怎么样？还有哪些地方需要努力.

教师引导学生寻找信息；尝试解答。（假如解决有困难，可以在第一课时讲解完成后在来叫学生独立解答）

小组讨论；尝试解答

老师带领学生来总结函数图象平移法则

；

学生相互交流；

尝试解答