2022-2023学年天津市南开中学高三下学期第四次月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年天津市南开中学高三下学期第四次月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，，则集合（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩（单位：分）分别是：，则这12名学生成绩的分位数是（ ）．
A. 92B. 87C. 93D. 91
5. 已知，，，则的大小关系是（ ）．
A. B.
C. D.
6. 已知一个正四棱柱所有棱长均为3，若该正四棱柱内接于半球体，即正四棱柱的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则半球体的体积为（ ）．
A B. C. D.
7 已知函数，有下述三个结论：
①的最小正周期是；
②在区间上单调递减；
③将的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A ①B. ②C. ①②D. ①②③
8. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）．
A. B.
C D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10. 复数z满足（i是虚数单位），则复数z为__________．
11. 在的展开式中，的系数是__________．
12. 直线l经过点P（5，5）且和圆C：相交，截得弦长为，则l的方程是______．
13. 某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是______；该选手闯关成功的概率是______．
14. 已知，，，则的最小值为__________．
15. 如图，在边长为1的正方形中，P是对角线上一点，且，则__________，若点M为线段（含端点）上的动点，则的最小值为__________．
三、解答题：
16. 在中，角所对的边分别为.已知.
（1）求A的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17. 如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD，，，，点P为棱DF的中点.
（1）求证：平面APC；
（2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
（3）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值.
18. 已知椭圆，其离心率为，右焦点为，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为.
（1）求椭圆的标准方程：
（2）直线与椭圆有唯一的公共点（在第一象限，此直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点且，求直线的斜率.
19. 设是公比大于0的等比数列，是等差数列，已知，，，．
（1）求数列，数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20. 已知函数，在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得，请说明理由.
2023届高三第四次月考
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
3. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
4. 学校组织班级知识竞赛，某班的12名学生的成绩（单位：分）分别是：，则这12名学生成绩的分位数是（ ）．
A. 92B. 87C. 93D. 91
【答案】C
5. 已知，，，则的大小关系是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
6. 已知一个正四棱柱所有棱长均为3，若该正四棱柱内接于半球体，即正四棱柱的上底面的四个顶点在球面上，下底面的四个顶点在半球体的底面圆内，则半球体的体积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
7. 已知函数，有下述三个结论：
①的最小正周期是；
②在区间上单调递减；
③将的图象上所有点向左平行移动个单位长度后，得到函数的图象.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
【答案】C
8. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，过作与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于点，交抛物线的准线于点，若三角形（为原点）的面积，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
9. 已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10. 复数z满足（i是虚数单位），则复数z为__________．
【答案】
11. 在的展开式中，的系数是__________．
【答案】
12. 直线l经过点P（5，5）且和圆C：相交，截得弦长为，则l的方程是______．
【答案】或
13. 某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响．则该选手仅回答正确两个问题的概率是______；该选手闯关成功的概率是______．
【答案】 ①. ②. ##0.5
14. 已知，，，则的最小值为__________．
【答案】12
15. 如图，在边长为1的正方形中，P是对角线上一点，且，则__________，若点M为线段（含端点）上的动点，则的最小值为__________．
【答案】 ①. ②.
三、解答题：
16. 在中，角所对的边分别为.已知.
（1）求A的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出，利用正弦定理求出，即可求出A；
（2）先利用和差角公式求出，利用正弦定理求出c；
（3）利用二倍角公式和和差角公式即可求解.
【小问1详解】
因为,所以.
因为，由正弦定理得：,所以.
因为，，所以.
【小问2详解】
由（1）知：.
因为，所以
.
由正弦定理得：.
【小问3详解】
由（1）知：.
所以.
.
所以.
17. 如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD，，，，点P为棱DF的中点.
（1）求证：平面APC；
（2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
（3）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接BD，交AC于点O，由中位线定理和线面平行判定定理即可证明结果；
（2）建立空间直角坐标系，写出坐标，求得平面的法向量，根据线面角公式即可求得直线与平面所成角的正弦值；
（3）由（2）可知平面的法向量，再求得平面的法向量，利用空间向量法即可求出结果.
【小问1详解】
证明：连接BD，交AC于点O，又P，O分别为DF和DB的中点，
所以，
因为平面APC，平面APC，所以平面APC；
【小问2详解】
解：直线平面ABCD，平面ABCD，所以，
由（1）得，，
所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，，
所以，，
设平面BCF的法向量，
，，解得，
又.
设直线DE与平面BCF所成角的正弦值，
所以，
所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
【小问3详解】
解：由（2），，，
设平面APC的法向量为，
则，即，令，则，，
所以平面APC的法向量，
所以，
所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为.
18. 已知椭圆，其离心率为，右焦点为，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为.
（1）求椭圆的标准方程：
（2）直线与椭圆有唯一的公共点（在第一象限，此直线与轴的正半轴交于点，直线与直线交于点且，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出，列出韦达定理，求出点、的坐标，进而求出点的坐标，由已知可得出，可求得，结合可求得的值.
【小问1详解】
解：由题意可得，解得，
因此，椭圆的标准方程为：.
【小问2详解】
解：由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，且，
联立，消去并整理，得，
，可得，
由韦达定理可得，，
，则点，
因为点在第一象限，则，则，直线的方程为，
在直线的方程中，令可得，即点，易知点，
，则直线的方程为，
联立可得，即点，
因为，，即，即，可得，则，
将代入可得，则，
，解得.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用三角形面积之间的等量关系求出直线的斜率，解题的关键在于求出点的坐标，将三角形面积的等量关系转化为两点坐标之间的关系，进而构建等式求解.
19. 设是公比大于0的等比数列，是等差数列，已知，，，．
（1）求数列，数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据等比数列的通项公式列方程，求得公比，可求得其通项公式，继而根据等差数列的通项公式列方程，求得首项和公差，可得其通项公式；
（2）由（1）的结论可得的表达式，分别利用错位相减法和裂项求和法，即可求得.
【小问1详解】
设等比数列的公比为q，，设等差数列的公差为d．
∵，，∴，
∵，∴，∴．
∵，，∴，
∴，∴．
【小问2详解】
由（1）得，
令，，
记数列前项和为A，数列的前项和为B，
，①
则，②
①－②得，
，
∴，
又，
∴
，
∴．
20. 已知函数，在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在；答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）求导，表示在点处切线方程，再由已知条件得出方程组，解之可得答案.
（2）由（1）可得，问题转化为恒成立，令，求导，分析在上的单调性，由函数的最值可求得的取值范围；
（3）假设存在正数，使得：成立.并转化为函数的最小值小于0即可.求导，分析函数的单调性，得出最值，由此可得出正数的值.
【详解】解：（1）函数的导数为，
在点处切线方程为，可得；
∴函数的切线方程为，即，
∴，解得；
（2）证明：由（1）可得，
∵，∴，即为，
可令，，
由，可得，，即有，在递增，
可得，∴，
故的取值范围为；
（3）对于在中的任意一个常数，
假设存在正数，使得：.
由成立，
从而存在正数，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可.
令，，
令，解得，令，解得，
则为函数的极小值点，即为最小值点.
故的最小值为，
再令，（），
，
则在递增，可得，则.
故存正数，使得.
【点睛】本题考查导数的几何意义，运用导函数分析函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题的转化，属于难题.