高中数学高考湖南省长沙市雅礼中学2019届高三数学下学期考前热身训练试题理(1)

湖南省长沙市雅礼中学2019届高三数学下学期考前热身训练试题 理

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设 为虚数单位，则复数(　　)

(A)      (B)        (C)        (D)

2.设全集，集合， ，则(　　)

(A)      (B)     (C)    (D)  

3.已知点...,则向量在方向上的投影为（　　）

A． B． C． D．

4.设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)

A．奇函数，且在(0,1)上是增函数      B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数      D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

5.战国时人们已经知道通过观察水的结冰与否来推知气温下降的程度。例如，《吕氏春秋·慎大览·察今》就记载道：“见瓶中之冰而知天下之寒。”这种做法被后世人们所认可，汉代的《淮南子·兵略训》就有几乎同样的记载：“见瓶中之水，而知天下之寒暑”，这是因为，通过观察瓶中水结冰或冰融化，确实可以大致知道气温的寒暖变化。直到比利时人南怀仁（F.Verbiest,1623~1688）于清顺治十六年（1659）来华，他著述的关于温度计的一本小册子《验气图说》于1671年刊行，温度计的神秘面纱才被逐渐的在中华大地揭开.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是(　　)

A．各月的平均最低气温都在0℃以上      B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同  D．平均最高气温高于20℃的月份有5个

6.圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(　　)

A．2       B.       C．4        D.

7.把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为(　　)

A.     B.       C.       D.

8.函数f(x)＝x2－2ln|x|的图象大致是(　　)

9.已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为               （    ）

A.           B.          C.         A.

10．逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常免不了的事，但是饮酒过度，是会影响健康的，这不，某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计一次性饮酒两诱发某种疾病的频率为，一次性饮酒两诱发这种疾病的频率为．将频率视为概率，已知某人一次性饮酒两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒两不诱发这种疾病的概率为（    ）

A． B． C． D．

11．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于两点，，若，，则双曲线的离心率是（   ）

A． B． C． D．5

12.设函数．若，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

第II卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值       .

14．二项式的展开式的常数项为_______．

15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A等于        .

16.已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，点为棱上的动点，若平面截正方体所得的截面为五边形，在线段长度的范围为         .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（本小题满分12分）[数列满足：，．

（1）求的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数．

18.（本小题满分12分）[如图，在四边形中，，，点在上，且，，现将沿折起，使点到达点的位置，且与平面所成的角为．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

19.（本小题满分12分）[已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点．，为椭圆上关于原点对称的两点．直线与直线的斜率和满足：．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与圆相切，且与椭圆相交于，两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点．

20.（本小题满分12分）[某场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料統计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为

其中，

（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；

（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为（单位：元）

①求的分布列；

②若，求的数学期望的最大值．

21.（本小题满分12分）[设函数．

（1）若，试比较当时，与0的大小；

（2）证明：对任意的正整数，不等式成立．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4–4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线参数方程为为参数）；以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，．

（1）求的参数方程为和的直角坐标方程；

（2）已知是上参数对应的点，为上的点，求中点到直线的距离取最小值时，点的直角坐标．

23．（本小题满分10分）选修4–5：不等式选讲

已知函数．

（1）若关于的不等式的解集为，，求的值；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范围．

雅礼中学2019届高三考前热身训练

数  学（理科）

命题人：雅礼高三备课组   审题人：雅礼高三备课组

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设 为虚数单位，则复数(　A　)

(A)      (B)        (C)        (D)

2.设全集，集合， ，则(　A　)

(A)      (B)     (C)    (D)  

3.已知点...,则向量在方向上的投影为（　A　）

A． B． C． D．

4.设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)

A．奇函数，且在(0,1)上是增函数      B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数      D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

解析　易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选A.

5.战国时人们已经知道通过观察水的结冰与否来推知气温下降的程度。例如，《吕氏春秋·慎大览·察今》就记载道：“见瓶中之冰而知天下之寒。”这种做法被后世人们所认可，汉代的《淮南子·兵略训》就有几乎同样的记载：“见瓶中之水，而知天下之寒暑”，这是因为，通过观察瓶中水结冰或冰融化，确实可以大致知道气温的寒暖变化。直到比利时人南怀仁（F.Verbiest,1623~1688）于清顺治十六年（1659）来华，他著述的关于温度计的一本小册子《验气图说》于1671年刊行，温度计的神秘面纱才被逐渐的在中华大地揭开.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是(　　)

A．各月的平均最低气温都在0℃以上      B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同  D．平均最高气温高于20℃的月份有5个

解析　由题意知，平均最高气温高于20℃的有七月，八月，故选D.

6.圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(　　)

A．2       B.       C．4        D.

解析　由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知，其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，∴＋＝(a＋3b)

＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.

7.把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为(　D　)

A.     B.       C.       D.

8.函数f(x)＝x2－2ln|x|的图象大致是(　　)

解析　f(x)＝x2－2ln|x|为偶函数，排除D.当x>0时，f(x)＝x2－2ln x，f′(x)＝2x－＝，所以当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)为减函数；

当x>1时，f′(x)>0，f(x)为增函数，排除B，C，故选A.答案　A

9.已知是球的球面上两点，,为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为               （    ）

A.           B.          C.         A.

【解析】当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为.故选A.

10．逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常免不了的事，但是饮酒过度，是会影响健康的，这不，某调查机构进行了针对性的调查研究.据统计一次性饮酒两诱发某种疾病的频率为，一次性饮酒两诱发这种疾病的频率为．将频率视为概率，已知某人一次性饮酒两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒两不诱发这种疾病的概率为（    ）

A． B． C． D．

【解析】记事件：这人一次性饮酒两未诱发这种疾病，

记事件：这人一次性饮酒两未诱发这种疾病，

则事件：这人一次性饮酒两未诱发这种疾病，继续饮酒两不诱发这种疾病，则，，，，因此，，故选A．

11．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于两点，，若，，则双曲线的离心率是（    ）

A． B． C． D．5

【解析】若，则可设，，，则，，由双曲线的定义，得，则此时满足，所以是直角三角形，且，所以由勾股定理，得，得，故选B．

12.设函数．若，且，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【解析】画出的图象如图所示．

结合图象可得，当时，；当时，，

满足．由此可得当，且时，．

当，，.故选B．

第II卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值    18    .

14．二项式的展开式的常数项为_______．

【解析】∵的展开式通项为，由，所以的常数项系数为；

由，所以的常数项系数为，所以的展开式的常数项为，故答案为．

15.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A等于        .

解：∵sin C＝2sin B，由正弦定理得c＝2b，∴cos A＝＝＝＝，又A为三角形的内角，∴A＝30°.

16.已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，点为棱上的动点，若平面截正方体所得的截面为五边形，在线段长度的范围为         .

解析：取棱中点，通过作图可得为棱中点时为临界点，当动点在线段（包括端点）上运动时，截面为四边形；当动点在线段（不包括端点）上运动时，截面为五边形，所以线段长度的范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17.（本小题满分12分）[数列满足：，．

（1）求的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数．

解：（1）由题意，，

当时，，

两式相减得，，即．（4分）

当时，也符合，；（5分）

（2），

．（9分）

由，解得．满足的最小正整数．（12分）

18.（本小题满分12分）[如图，在四边形中，，，点在上，且，，现将沿折起，使点到达点的位置，且与平面所成的角为．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

证明：（1），，，

，，，且，平面，

又平面，平面平面．（5分）

解：（2）由（1）知平面，，

由与平面所成的角为得，为等腰直角三角形，，

，结合 得，，故为等边三角形，

取的中点，连结，，平面，

以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，所在的直线为轴，

所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图，

则，1，，，1，，，，，，

从而，，，

设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，

则由得，令得，

由得，令得，

设二面角的大小为，则，

即二面角的余弦值为．（12分）

19.（本小题满分12分）[已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点．，为椭圆上关于原点对称的两点．直线与直线的斜率和满足：．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与圆相切，且与椭圆相交于，两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点．

解：（1）设，则，，

由得，，

由，即得，，

所以，所以，

即椭圆的标准方程为：（5分）

（2）证明：设，，，，

由，得：，

,解得

（6分）

，

又与圆相切，所以，即（8分）

所以

（11分）

所以，，即，

所以，以线段为直径的圆经过原点．（12分）

20.（本小题满分12分）[某场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料統计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为

其中，

（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；

（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为（单位：元）

①求的分布列；

②若，求的数学期望的最大值．

解：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为，

依题意得，

则，

购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（3分）

（2）①依题意的取值分别为400，450，500，550，600，

，，

，，，

的分布列为：

（7分）

②，

根据，得，，

，，解得或，

，，

，，解得，

，，

，

当时，的最大值为480，

的数学期望的最大值为480．（12分）

21.（本小题满分12分）[设函数．

（1）若，试比较当时，与0的大小；

（2）证明：对任意的正整数，不等式成立．

解析：（1）当时，函数．令

则

显然，当时，，所以函数在上单调递减

又，所以，当时，恒有，即恒成立．

故当时，有 （5分）                        

（2）证明：由（1）知

即

令，，即有

所以（）

因此

故对任意的正整数，不等式成立．

（12分）

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4–4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线参数方程为为参数）；以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，．

（1）求的参数方程为和的直角坐标方程；

（2）已知是上参数对应的点，为上的点，求中点到直线的距离取最小值时，点的直角坐标．

解：（1）化为，所以的参数方程为为参数）；的直角坐标方程为．（5分）

（2）由题设，由（1）可设，于是．

到直线距离，

当时，取最小值，此时点的直角坐标为．

（10分）

23．（本小题满分10分）选修4–5：不等式选讲

已知函数．

（1）若关于的不等式的解集为，，求的值；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范围．

解：（Ⅰ），即，两边平方并整理得，

由已知，是关于的方程的两根，

由韦达定理得，又因为△，

解得．（5分）

（Ⅱ）因为，

所以不等式恒成立，只需，

当时，，解得或；

当时，，解得．

综上可知实数的取值范围是，（10分）