高中数学高考黄金卷01（新课标Ⅱ卷）（文）（解析版）

黄金卷01（新课标Ⅱ卷）

文科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵，∴，解得或，

故，则，故选A。

2．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于(  )。

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

【答案】C

【解析】由已知得：，则，

∴复数对于的点为，位于第三象限，故选C。

3．王老师是高三的班主任，为了在新型冠状病毒疫情期间更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成。已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数。则该钉钉群人数的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】设教师人数为，家长人数为，女学生人数为，男学生人数为，、、、，

则，，，则，

又“教师人数的两倍多于男学生人数，

∴，∴，当时，，此时总人数最少为，故选C。

4．函数的图像大致是(  )。

A、  B、  C、  D、

【答案】B

【解析】函数的定义域为，又，则为奇函数，排除C、D，

∵在上恒成立，而在上恒成立，

∴当时，，故选B。

5．已知()，函数的值域为，则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】当时，为一次函数，值域为，不符合题意；

当时，为二次函数，又值域为，则，

由题意可知，得，则，

则，

当且仅当时等号成立，故选A。

6．执行如图所示的程序框图，输出的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】根据程序框图可知：

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由三视图可还原成三棱锥如图所示，

其中是边长为的正三角形，

作平面与点，

连接，交于点，则为的中点，

、、，

∴，故选D。

8．已知实数、满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】B

【解析】表示可行域中的点到原点距离的平方，

由图可知点到原点的距离最大，，

原点到直线的距离为可行域中点到原点距离的最小值，

设距离为，则，，，故选B。

9．已知函数(，)的最小正周期为，将的图像向右平移个单位后得函数的图像，则函数的图像(  )。

A、关于直线对称

B、关于直线对称

C、关于点对称

D、关于点对称

【答案】D

【解析】由题意得，故，∴，

∴，

又，∴，∴，

令()，解得()，

即的对称轴为()，经检验、都不符合，

∴令()，解得()，

即的对称中心为()，经检验不符合，符合，

故选D。

10．已知函数()有唯一的零点，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】有唯一的零点可转化为与由唯一的交点，

要想有唯一的零点，则在处取得极小值，且，

则交点坐标，的定义域为，

，则且，

即，构造出新的函数，

则恒成立，∴是单调递增函数，

又，，根据零点存在定理可知，故选A。

11．已知是双曲线(，)的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】设双曲线右焦点为，连接，

左焦点到渐近线的距离为，故，

在中，，由双曲线定义得，

在中，由余弦定理得，

整理得，即，又，

解得、，故双曲线方程为：，故选D。

12．现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面为正方形，，侧面为等边三角形，线段的中点为，若，则所需球体原材料的最小体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】如图，设为中点，为正方形中心，

连、，，

设四棱锥的外接球的球心为，半径为，

则球心一定在过点且垂直于底面的垂线上，

∴，，

∵是边长为的等边三角形，∴，

又、，∴，∴,

又，∴为外心，

则球心一定在过点且垂直于侧面的垂线上，

∴，∴，∴，

又∵，∴，

此时球心在四棱锥外，不是最小球，浪费材料，

可把底面的外心看做最小球的球心，此时的球不是四棱锥的外接球，

但这时候原材料最省，最小球的半径，，故选A。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设向量，，，若，则        。

【答案】

【解析】由已知得，解得，

则，，故。

14．已知为第三象限角，且，则        。

【答案】

【解析】由已知得，则，由为第三象限角，得，

故，，∴。

15．已知函数()，若直线与曲线相切，则        。

【答案】

【解析】，设切点为，则切线斜率为，故，即，故，

令()，则，

∴当时，故在上单调递减，

当时，故在上单调递增，

∴，即有唯一实数根，∴。

16．在等腰直角中，，，为内一点，，则        。

【答案】

【解析】如图建系，则、，∵，

∴，∴，

∴，，

∴，∴，

，，

故，故、，

故，故。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。

(1)若，求证：平面；

(2)若平面平面，且，点在线段上，且，求三棱锥的体积。

【解析】(1)证明：∵，∴，                                            1分

又∵底面为菱形，，

连接，则为正三角形，∴，                          3分

又，平面，∴平面；            4分

 (2)解：∵平面平面，平面平面，，      6分

∴平面，∵平面，∴，                  8分

又，，∴平面，                         9分

又，∴。           12分

18．（12分）

年月日上午，辽宁省省委、省政府在沈阳召开辽宁省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程。某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品。如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，如表是设备改造后的样本的频数分布表。

设备改造后样本的频数分布表

(1)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；

(2)根据上图和上表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；

(3)根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利元，一件不合格品亏损元，用频率估计概率，则生产件产品企业大约能获利多少元？

附：

【解析】(1)根据上图和上表可得列联表：

将列联表中的数据代入公式计算得：，  4分

∵，

∴有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；        6分

(2)根据上图和上表可知，设备改造后产品为合格品的概率约为，           7分

设备改造前产品为合格品的概率约为，                               8分

即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好；                         9分

(3)用频率估计概率，件产品中大约有件合格品，件不合格品，           10分

则获利约为，                                    11分

因此，该企业大约能获利元。                                         12分

19．（12分）

已知数列的前项和为，，，且(，)。

(1)设，求证：数列为等比数列；

(2)求数列的前项和。

【解析】(1)由已知得，即()，                    2分

∴()，                                3分

又∵，且，故数列是首项为、公比为的等比数列；   4分

(2)由(1)知，则，∴，        5分

设，   6分

，   7分

两式相减得：，  9分

解得，                                                  10分

∴数列的前项和。                             12分

20．（12分）

已知抛物线：的焦点为，点，圆()与抛物线交于、两点，直线与抛物线交点为。

(1)求证：直线过焦点；

(2)过作直线，交抛物线于、两点，求四边形面积的最小值。

【解析】(1)由题意，设、，直线的方程为，

联立得，                              2分

由题意可得，该方程有一个根为，

由韦达定理得，则，∴，

则直线的斜率为，直线的斜率为，          4分

∴，故、、三点共线，∴直线过焦点；                   5分

(2)设直线方程为，则直线的方程为，               6分

联立得：，

设、，则，

∴，同理可得，                        10分

∴四边形面积为：

，

当且仅当时，四边形面积取得最小值，最小值为。              12分

21．（12分）

已知函数。

(1)讨论的单调性；

(2)求证：当时 ，对都有。

【解析】(1)∵，其定义域为，∴，，     1分

当时，即时，恒成立，∴在上单调递增，             2分

当时，即时，有两个根为：

、，，                                  3分

∴当和时，，单调递增，  4分

当时，，单调递减；                5分

(2)由(1)知，当时，，在上单调递增，

∵对有，

不妨设，∵在上单调递增，∴，

则原式可以转化为，                          7分

即有，即证，

设，，                                        9分

则，，

当时，单调递增，，

∵，∴，                                               10分

当时，单调递增，

∴，即，

同理可证，即，

则原不等式得证。                                                          12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为。

(1)写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

(2)已知点、，直线过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值。

【解析】(1)由直线的参数方程消去，

得到直线的普通方程为：，                        2分

由得，

∴曲线的直角坐标方程为，                                       4分

(2)由题意可知直线必过点，∴，∴，       5分

∴直线的参数方程为(为参数)，                                   6分

代入中得：，

设、、点所对应的参数分别为、、，                              8分

∴，∴。                                        10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

(1)当时，若的最小值为，求实数的值；

(2)当时，若不等式的解集包含，求实数的取值范围。

【解析】(1)当时，，                 2分

∵的最小值为，∴，解得或；               4分

(2)当时，即，                             5分

当时，原式等同于，即，                          7分

∵不等式的解集包含，∴且，即，        9分

故实数的取值范围是。                                               10分