高中数学高考黄金卷02（文）（新课标Ⅰ卷）（解析版）

黄金卷02（新课标Ⅰ卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，则(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】，又，∴，故选D。2．已知为虚数单位，则(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】，故选C。3．若实数、满足，且的最小值为，则实数的值为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】画出可行域如图所示，当目标函数过点时取得最小值由得，则，解得，故选B。4．音乐是由不同频率的声音组成的。若音()的频率为，则简谱中七个音()、()、()、()、()、()、()组成的音阶频率分别是、、、、、、，其中相邻两个音的频率比是一个音到另一个音的台阶。上述“七声音阶”的台阶只有两个不同的值，记为、() ，称为全音，称为半音，则下列关系式成立的是(  )。(参考数据：、)A、B、C、D、【答案】D【解析】由题意知，，显然A、B错误，由，∴C错误，而，∴D正确，故选D。5．函数的图像大致为(  )。A、    B、   C、    D、【答案】B【解析】由可知函数为奇函数，故排除C、D，由图像性质可知，当时，，排除A，故选B。6．如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分。若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】设六角星的中心为点，分别将点与两个大等边三角形的六个交点连接起来，则将中间的正六边形分成了六个全等的小等边三角形，且与阴影部分六个小等边三角形也是全等的，∴所求的概率，故选C。7．已知()，函数的值域为，则的最小值为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】当时，为一次函数，值域为，不符合题意；当时，为二次函数，又值域为，则，由题意可知，得，则，则，当且仅当时等号成立，故选A。8．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”。庙会大多在春节、元宵节等节日举行。庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”)。今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会。游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”；游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是(  )。A、甲                B、乙                C、丙                D、丁【答案】A【解析】由四人的预测可得下表：  预测结果  甲乙丙丁中奖人甲√×××乙√×√√丙××√√丁×√×√(1)若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意，(2)若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意，(3)若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意，(4)若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意，故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确，故应选A。9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】由题意面出图形，如图所示，连接、，则，∴即为与所成的角，在中，，，由余弦定理得，故异面直线与所成角的余弦值为，故选C。10．已知函数()，若集合含有个元素，则实数的取值范围是(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】，∵，∴，解得：或()，∴或()，设直线与在上从左到右的第四个交点为，第五个交点为，则(此时)，(此时)，由于方程在上有且只有四个实数根，则，即，解得，故选D。11．已知函数()有唯一的零点，则(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】有唯一的零点可转化为与由唯一的交点，要想有唯一的零点，则在处取得极小值，且，则交点坐标，的定义域为，，则且，即，构造出新的函数，则恒成立，∴是单调递增函数，又，，根据零点存在定理可知，故选A。12．已知过椭圆号的右焦点的直线，斜率存在且与椭圆交于、两点，若的垂直平分线与轴交于点，则点横坐标的取值范围为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】若真线为轴，则垂直平分线为轴，∴；若直线与轴不平行，由已知得直线与轴不垂直，设直线方程为，联立得：，恒成立，设、，则，，设为线段的中点，∴，代入直线方程可得，则的垂直平分线的方程为，当时，，∵，∴，综上所述，，故选C。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设向量，，，若，则        。【答案】【解析】由已知得，解得，则，，故。14．为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼。已知某学生通过第一关的概率为，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为，则该同学两关均通过的概率为       。【答案】【解析】设该学生通过第一关为事件，通过第二关为事件，在通过第一关的前提下通过第二关的概率为，∵，∴。15．已知抛物线：，，若抛物线上存在点()，使得过点的切线，设与轴交于点，则的面积为        。【答案】【解析】由可得，，∴直线的斜率，又直线的斜率为，∵切线，∴，又，解得，，不妨设，则直线的方程为，即，∴，则的面积为。16．在四棱锥中，底面为正方形，，为等边三角形，线段的中点为，若，则此四棱锥的外接球的表面积为        。【答案】【解析】如图，设为中点，为正方形中心，连、，，设四棱锥的外接球的球心为，半径为，则球心一定在过点且垂直于底面的垂线上，∴，，∵是边长为的等边三角形，∴，又、，∴，∴,又，∴为外心，则球心一定在过点且垂直于侧面的垂线上，∴，∴，∴，又∵，∴，∴。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。(1)若，求证：平面；(2)若平面平面，且，点在线段上，且，求三棱锥的体积。     【解析】(1)证明：∵，∴，                                            1分又∵底面为菱形，，连接，则为正三角形，∴，                          3分又，平面，∴平面；            4分 (2)解：∵平面平面，平面平面，，      6分∴平面，∵平面，∴，                  8分又，，∴平面，                         9分又，∴。           12分18．（12分）已知等比数列的前项和为，且()。(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和。【解析】(1)当时，，                                                     1分当时，，即，                        2分∴等比数列的公比是，∴，即，故，             3分故数列是首项为，公比为的等比数列，；                        4分(2)由(1)知，，又，∴，故，∴，        6分则，                                  7分    ，                                8分两式相减得：，        11分∴。                                                       12分19．（12分）某校高三文科名学生参加了月的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、外语成绩情况，利用随机数表法从中抽取名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为、、、…。(1)若从第行第列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的人的编号(下面是摘自随机数表的第行至第行)； (2)抽出的名学生的数学、外语成绩如表： 外语优良及格数学优良及格若数学成绩优秀率为，求、的值；(3)在外语成绩为良的学生中，已知，，求数学成绩优比良的人数少的概率。【解析】(1)根据图表数据最先抽出的人的编号依次为、、、、；         3分(2)由得，∵，∴；   6分(3)，且，，∴满足条件的有：、、、、、、、、、、、、、，共有种，且每组出现都是等可能的，                                        9分记：“数学成绩优秀的人数比良的人数少”为事件，事件包括：、、、、、共个基本事件，                                           11分∴。                                                        12分20．（12分）已知圆： ，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为。(1)求曲线的方程；(2)若、为曲线上的两点，记、，且，试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。【解析】(1)取，连接，设动圆的圆心为，∵两圆相内切，∴，又， ∴，     2分∴点的轨是以、为焦点的椭圆，其中，，∴、、，∴的轨迹方程为；             4分(2)当轴时，有、，由得，又，∴、，∴，                                  6分当与轴不垂直时，设直线的方程为，联立得：，                          8分则，由得，即，∴，整理得：，∴，                 10分∴，综上所述，的面积为定值。                                          12分21．（12分）已知函数。(1)当时，判断函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，求正整数的最小值。【解析】(1)当时，，定义域为，则，                                            1分设，定义域为，则，                     2分令得，当时，则在上单调递增，当时，则在上单调递减，则在处取极大值也是最大值，，                     4分故当时，恒成立，当且仅当时取等号，∴在设单调递减；                                               5分(2)若()有两个极值点，即()有两个极值点，即有两个异号零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，                 6分∵的定义域为，，                                  7分设，∴，故在上单调递增，而，，故存在，使得，          9分则在上单调递减，在上单调递增，则，                              10分若函数的图像与直线有两个交点，则，                    11分当时，，∵，。                            12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为。(1)写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；(2)若点，直线与曲线交于、两点，求的值。【解析】(1)由得，                                   1分∴直线的直角坐标方程为：，                                     2分由得曲线的普通方程为：；                          4分(2)点在直线上，且直线的斜率是，倾斜角是，                       5分∴以直线的数方程为(为参数)，                                 6分代入曲线中并整理得，，                    7分设、为此方程的两个实数根，则，，                8分又直线过点，，                                              9分∴。                         10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知、、为正数，且满足。证明：(1)；(2)。【解析】证明：(1)∵、、为正数，，∴               2分                     3分，          4分∴；                                            5分(2)由、、，将上述三个不等式相加得：，                 7分又、、，同理，将上述三个不等式相加得：，                9分而，∴，当且仅当时，等号成立。 10分