高中数学高考黄金卷02（文）（新课标Ⅲ卷）（解析版）
展开黄金卷02（新课标Ⅲ卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，则( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】，又，∴，故选D。2．已知复数满足，则( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，则，故选B。3．如图虚线网格的最小正方形边长为，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】还原三视图为几何体的直观图可知如图：是圆柱的一半，可得该几何体的体积为：，故选C。4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵。”则问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、土兵共有( )。A、人B、人C、人D、人【答案】D【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、土兵依次成等比数列，且首项为，公比也是，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：，故选D。5．已知双曲线：(，)的一个焦点坐标为，且两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程为( )。A、或B、或C、或D、或【答案】D【解析】两条渐近线的夹角为，∴或，又，，解得或，∴双曲线的标准方程为或，故选D。6．如图的程序框图，若输入，，，则输出的值为( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】此程序图的功能是输出的、、中的最小数，又、、，∴，输出的值为，故选C。7．下列图像中，不可能是函数(，且)大致图像的是( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】考虑函数图像过原点的情况，必有，，令，可得，，可知当时，，函数图像单调递增，当时，，函数图像单调递减，且函数定义域为，∴函数图像大致为A，同理，令、可得，图像大致为D，对于图像B，由于图像过原点，必有，，而、，图像为A，、，图像为 D，∴图像B不可能成为函数的图像，对于图像 C，根据图像特征，，，可选择、的，且满足单调性，不唯一，例如，可得，图像大致为C，故选B。8．已知()关于对称，将函数图像向左平移()个单位后与函数重合，则的最小值为( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵关于对称，∴，即()，又，∴，，将向左平移个单位，，此时与重合，∴有()，∴的最小值为，故选A。9．已知单位向量、、，满足。若常数、、的取值集合为，则的最大值为( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由条件得，和的取值只有三种可能，分别为、、，但二者不可能同时一个取，另一个取，∴的化简结果只有四种形式：、、、，而，故所有可能取值只有或两种结果，∴的最大值为，故选A。10．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】设直线：的参数方程为(为参数)，∵圆：的两条切线分别为、，切点分别为、，∴，，则点、在以为直径的圆上，设这个圆为圆，即是圆与圆的公共弦，则圆心的坐标是，且半径的平方是，∴圆的方程是，则公共弦所在的直线方程为：，即，则，得，，∴直线经过定点，故选B。11．如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中(球未画出)，使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若四棱锥的表面积为，则球的表面积为( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】设球、半球的半径分别为、，则由正方体与半球的位置关系易知正方体的棱长为，设正方体的下底面的中心为，连接，则四棱锥的高，易知该四棱锥为正四棱锥，则其斜高为，由题意得，得，根据几何体的对称性知球的球心在线段上，连接、，在中，，，，则，解得，∴球的表面积，故选B。12．函数(是以为底的自然对数，)，若存在实数、()，满足，则的取值范围为( ) 。A、B、C、D、【答案】C【解析】根据题意，作出函数的图像如图所示：∵存在实数、()，满足，∴根据函数图像可得，，∴，即，∴，构造函数，，则，令，解得，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，∴当时取极小值也是最小值，∴，∵，，，∴，∴的取值范围为，故选C。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若实数、满足，且的最小值为，则实数的值为 。【答案】【解析】画出可行域如图所示，当目标函数过点时取得最小值由得，则，解得。14．若，则 。【答案】【解析】∵，∴，则，∴。15．已知抛物线：，，若抛物线上存在点()，使得过点的切线，设与轴交于点，则的面积为 。【答案】【解析】由可得，，∴直线的斜率，又直线的斜率为，∵切线，∴，又，解得，，不妨设，则直线的方程为，即，∴，则的面积为。16．已知数列满足，，，则 ， 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）【答案】 【解析】∵，∴，∴，且，即，∴的奇数项为首项为、公差为的等差数列，设()，则，∴的偶数项为首项为、公差为的等差数列，设()，则，∴；∵。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）平面四边形中，，，。(1)若的周长为，求。(2)若，，求四边形的面积。【解析】(1)在中，∵，，的周长为，∴， 1分又由余弦定理得：， 3分则将代入得； 5分(2)在中，由余弦定理得：， 7分∴，又，，∴，， 9分∴四边形的面积。 12分18．（12分）电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有名女性。(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷体育迷合计男 女 合计 (2)将日均收看该体育节目不低于分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有名女性，若从“超级体育迷”中任意选取人，求至少有名女性观众的概率。附：【解析】(1)由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“体育迷”有人，从而完成列联表如下： 非体育迷体育迷合计男女合计将列联表中的数据代入公式计算，得， 4分∴没有的把握认为“体育迷”与性别有关； 5分(2)由频率分布直方图可知“超级体育迷”为人，从而一切可能结果所组成基本事件为：、、、、、、、、、，则由个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的， 8分用表示“任选人中，至少有人是女性”这一事件，则由、、、、、、这个基本事件组成， 11分因而。 12分19．（12分）如图所示，是圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在的平面，且。(1)若为线段的中点，求证：平面；(2)求三棱锥体积的最大值；(3)若，点在线段上，求的最小值。 【解析】(1)证明：在中，∵，为的中点，∴， 1分又垂直于圆所在的平面，∴，∵，∴平面； 3分(2)∵点是圆上，∴当时，到的距离最大，且最大值为半径，又，∴的面积的最大值为， 5分又∵三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为； 6分(3)在中，，，∴，同理，∴， 8分在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图， 当、、共线时，取得最小值， 10分又∵，，∴垂直平分，即为中点，从而，即的最小值为。 12分20．（12分）已知函数，，。(1)设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；(2)对(1)中的和任意的、，证明：。【解析】(1)，的定义域为，∴， 1分①当时，令，解得，∴当时，，在上递减，当时，，在上递增，∴是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点，∴最小值， 4分②当时，恒成立，在上递增，无最小值，故的最小值的解析式为()； 6分(2)由(1)知，对任意的、，，①； 8分，② 9分，③ 10分故由①②③得。 12分21．（12分）直角坐标系中，已知椭圆：的左，有焦点分别为、，为的中点，过作直线交椭圆于、两点，过作另直线交椭圆于、两点。(1)判断以为直径的圆是否经过，若经过，请求出此时的斜率，若不经过请说明理由；(2)若、、三点共线，设直线与直线的斜率存在且分别为、，试问是否为常数，若是，求出常数的值；若不是，请说明理由。【解析】(1)由题意可知，∴右焦点，， 1分①当斜率不存在时，方程为，，，∴以为直径的圆不经过， 2分②当斜率存在时，设点、，设直线方程为， 3分联立得：，恒成立，则，， 4分假设以为直径的圆经过，则，∴，即，整理得：，即，解得，，综上，存在以为直径的圆经过，且此时的斜率为； 6分(2)设、、、，则的方程为， 7分联立得：，∵，∴，可得， 9分即，同理可得，∵、、三点共线，∴，整理得， 10分，综上，为常数，常数为。 12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点的轨迹为曲线。(1)求曲线和的极坐标方程；(2)设直线：，射线：，，若与曲线，直线分别交于、两点，求的最大值。【解析】(1)将、代人得曲线的极坐标方程，即，即， 2分设，则，代入曲线的极坐标方程得曲线的极坐标方程，即； 5分(2)直线的极坐标方程为，设、，则、， 6分∴ ， 9分∴的最大值为。 10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知、、为正数，且满足。证明：(1)；(2)。【解析】证明：(1)∵、、为正数，，∴ 2分 3分， 4分∴； 5分(2)由、、，将上述三个不等式相加得：， 7分又、、，同理，将上述三个不等式相加得：， 9分而，∴，当且仅当时，等号成立。 10分
