高中数学高考黄金卷03（理）（新课标Ⅰ卷）（解析版）
展开黄金卷03（新课标Ⅰ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数满足，则( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】，则，故选A。2．已知集合，，则( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴，∵，∴，故选B。3．等差数列前项和为，若、是方程的两根，则( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由韦达定理得：，，结合等差数列的性质可得：，则，故选A。4．音乐是由不同频率的声音组成的。若音()的频率为，则简谱中七个音()、()、()、()、()、()、()组成的音阶频率分别是、、、、、、，其中相邻两个音的频率比是一个音到另一个音的台阶。上述“七声音阶”的台阶只有两个不同的值，记为、() ，称为全音，称为半音，则下列关系式成立的是( )。(参考数据：、)A、B、C、D、【答案】D【解析】由题意知，，显然A、B错误，由，∴C错误，而，∴D正确，故选D。5．函数的图像大致为( )。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴是奇函数，故排除CD，又，故排除B，故选A。6．某公司为了调查产品在、、三个城市的营销情况，派甲、乙、丙、丁四人去调研，每人只去一个城市每个城市必须有人去，且甲乙不能去同一个城市，则不同的派遣方法有( )。A、种B、种C、种D、种【答案】D【解析】人不同组合方案有：①若甲、乙各自单独为一组，有种，②若甲与丙、丁之一为一组，有种，③若乙与丙、丁之一为一组，有种，故不同的派遣方法有种，故选D。7．已知实数、满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】表示可行域中的点到原点距离的平方，由图可知点到原点的距离最大，，原点到直线的距离为可行域中点到原点距离的最小值，设距离为，则，，，故选B。8．在，，，点是的重心，则的最小值是( ) 。A、B、C、D、【答案】C【解析】设的中点为，∵点是的重心，∴，再令，，则，解得，∴，∴，当且当时取等号，故选C。9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】由题意面出图形，如图所示，连接、，则，∴即为与所成的角，在中，，，由余弦定理得，故异面直线与所成角的余弦值为，故选C。10．将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的()倍(纵坐标不变)，得到函数的图像，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】将函数的图像经过变化后得到的图像，令()，即()，∵在上是增函数，∴，又，∴，令时，解得，当且时，不符合题意，故选B。11．已知双曲线：(，)的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】如图，由双曲线的定义知，∵，∴，即，而，∴，在中，，设，由于，则，由余弦定理得：，即，∵，∴，即，故选B。12．已知函数()有唯一的零点，则( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】有唯一的零点可转化为与由唯一的交点，要想有唯一的零点，则在处取得极小值，且，则交点坐标，的定义域为，，则且，即，构造出新的函数，则恒成立，∴是单调递增函数，又，，根据零点存在定理可知，故选A。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知平面向量、的夹角为，且、，则 。【答案】【解析】。14．的展开式中的系数为 (用数字作答)。【答案】【解析】展开式的通项公式为：，则的通项公式为：，令，则的系数为，则的通项公式为：，令，则的系数为，∴的展开式中的系数为。15．已知抛物线：，其准线与轴交于点，过其焦点的直线与抛物线相交于、两点，记直线、的斜率分别为、，则的最小值为 。【答案】【解析】∵、，设、，直线的方程为，联立得：，∴、，∵、，∴，∴当且仅当时，的最小值为。16．已知、、、四点在同一个球面上，且、、两两垂直，当、与面积之和的最大值为时，该球的表面积为 。【答案】【解析】设、、，则、与面积之和为，故的最大值为，又，当且仅当时等号成立，即，即，∵、、、四点所在的同一个球即以、、为邻边的长方体的外接球，∴该球的直径，则该球的表面积。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列的前项和为，且满足，。(1)求数列的通项公式；(2)令，记数列的前项和为，证明。【解析】(1)当时，有，解得， 1分当时，有，则：， 3分整理得：，∴数列是首项为、公比为的等比数列，∴； 5分(2)由(1)有， 6分设， 8分则数列的前项和：， 10分又，则恒成立，故。 12分18．（12分）如图所示，在四棱锥中，，，，，，，为的中点。(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值。 【解析】(1)∵，，，∴，∴，∴， 2分在中，，，∴，∴， 3分又、平面，，∴平面； 4分(2)由(1)得、，，又，∴平画，以为坐标原点，、、为，，轴如图建立空直角坐标系， 5分∴、、，，，又∵为的中点，则， 6分由图可知平面的法向量为，又， 8分设直线与平面所成角的平面角为，则， 11分则。 12分19．（12分）插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物自然美的一种造型艺术，与建筑、盆景、造园等艺术形式相似，是最优美的空间造型艺术之一。为了通过插花艺术激发学生对美的追求，增添生活乐趣，提高学生保护环境的意识，增加团队凝聚力，某高校举办了以“魅力校园、花香溢校园”为主题的校园插花比赛。比赛按照百分制的评分标准进行评分，评委由名专业教师、名非专业教师以及名学生会代表组成，各参赛小组的最后得分为评委所打分数的平均分。比赛结束后，得到甲组插花作品所得分数的频率分布直方图和乙组插花作品所得分数的频数分布表，如下所示： 定义评委对插花作品的“观赏值”如下所示。分数区间观赏值(1)估计甲组插花作品所得分数的中位数(结果保留两位小数)；(2)从位评委中随机抽取人进行调查，试估计其对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏值”高的概率；(3)若该校拟从甲、乙两组插花作品中选出一个用于展览，从这两组插花作品的最后得分来看该校会选哪一组？请说明理由(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)。【解析】(1)设甲组插花作品所得分数的中位数为，由频率分布直方图可得甲组得分在前三个分数区间的频率之和为，在最后三个分数区间的频率之和为，故在内，且，解得； 3分(2)设“对乙组插花作品的观赏值比对甲组插花作品的观赏值高”为事件，“对乙组插花作品的观赏值为”为事件，“对乙组插花作品的观赏值为为事件，“对甲组插花作品的观赏值为”为事件，“对甲组插花作品的观赏值为”为事件，则：，，由频数分布表得，，， 5分∵事件与相互独立，其中、，、，∴，∴评委对乙组插花作品的观赏值比对甲组插花作品的观赏值高的概率为； 7分(3)由频率分布直方图可知，甲组插花作品的最后得分约为：，由乙组插花作品所得分数的频数分布表，得：分数区间频数频率∴乙组插花作品的最后得分约为：，∵，∴该校会选择甲组插花作品。 12分20．（12分）记抛物线：()的焦点为，过点的动直线与的交点为、。当的斜率为时，。(1)求抛物线的方程；(2)若，()，求的取值范围。【解析】(1)抛物线的焦点，直线的方程为， 1分联立直线与抛物线的方程得：， 2分设、，则，，则， 3分∵，∴，即，解得，∴抛物线的方程为； 4分(2)由(1)知，焦点，由得：，，由得，又、，故，代入得，即，， 6分①当时，点，此时，，∴，记，则，当时，，故在上单调递减，∴的取值范围是， 9分②当时，点，此时，，∴，同理，当时，在上单调递增，∴的取值范围是， 11分综上，的取值范围是。 12分21．（12分）已知。(1)求函数的极值；(2)设，对于任意、，总有成立，求实数的取值范围。【解析】(1)的定义域为，， 1分令，解得或， 2分当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减， 4分∴在处取极小值为，在处取极大值为， 5分(2)由(1)可知当时，的最大值为，对于任意、，总有成立，等价于恒成立，， 7分①当时，∵，∴， 即在上单调递增，恒成立，符合题意，可取， 8分②当时，设，， ∴在上单调递增，且，则存在使得，∴在上单调递减，则上单调递增，又，∴不恒成立，不符合题意，舍去， 11分综上，实数的取值范围为。 12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分别为、，点为曲线上任意一点，求的取值范围。【解析】(1)直线的普通方程为， 2分由，得，由、 、得：，∴曲线的直角坐标方程为； 4分(2)由题意，得点，点，曲线的参数方程为(为参数)， 5分设，则， 6分， 7分， 8分∴，∵，∴，故的取值范围是。 10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数。 (1)当时，解不等式；(2)若存在，使得不等式的解集非空，求的取值范围。【解析】(1)当时，函数，解不等式转化为：，即， 2分∴，解得，∴不等式的解为； 4分(2)由得，设，则不等式的解集非空，等价于， 6分由得，由题意知存在，使得上式成立， 8分而函数在上的最大值为，∴，即的取值范围是。 10分
