高中数学高考黄金卷03（文）（新课标Ⅲ卷）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷03（文）（新课标Ⅲ卷）（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
黄金卷03（新课标Ⅲ卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则(  )。 A、B、C、D、【答案】D【解析】，，，故选D。2．已知是复数，为的共轭复数。若命题：，命题：，则是成立的(  )。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得，∴，由，设()，得，∴或，即或，∴是成立的充分不必要条件，故选A。3．王老师是高三的班主任，为了在新型冠状病毒疫情期间更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成。已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数。则该钉钉群人数的最小值为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】设教师人数为，家长人数为，女学生人数为，男学生人数为，、、、，则，，，则，又“教师人数的两倍多于男学生人数，∴，∴，当时，，此时总人数最少为，故选C。4．函数的图像大致为(  )。A、  B、  C、  D、【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴是奇函数，故排除CD，又，故排除B，故选A。5．音乐是由不同频率的声音组成的。若音()的频率为，则简谱中七个音()、()、()、()、()、()、()组成的音阶频率分别是、、、、、、，其中相邻两个音的频率比是一个音到另一个音的台阶。上述“七声音阶”的台阶只有两个不同的值，记为、() ，称为全音，称为半音，则下列关系式成立的是(  )。(参考数据：、)A、B、C、D、【答案】D【解析】由题意知，，显然A、B错误，由，∴C错误，而，∴D正确，故选D。6．过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意得，则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相切，不合题意，舍去，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得，故选A。7．近年来，黄金周给百姓的生活带来了巨大变化。不断增长的旅游需求，日益完善的旅游市场和四通八达的交通出行，让人们对黄金周热情不改。而随着社会老龄化程度的不断加深，老人出游人数也越来越多。据全国老龄办统计，国内游总人次中有两成是老年人。某旅行社在十一期间接待了大量的老年旅行团，旅行团人数的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下(阴影部分为损坏数据)，估算该旅行社团的平均人数和频率分布直方图中的矩形的高分别为(  )。A、，B、，C、，D、，【答案】A【解析】由茎叶图得，旅行团人数在的频数为，由频率分布直方图可得，人数在的频率为，可得旅行团总数为，则旅行团人数在的频率为，在频率分布直方图中对应的高为，可得频率分布表如下：人数频率∴平均人数为，故选A。8．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】由题意面出图形，如图所示，连接、，则，∴即为与所成的角，在中，，，由余弦定理得，故异面直线与所成角的余弦值为，故选C。9．已知函数的图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为，关于的方程在上有两个不同实根，则实数的取值范围是(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵的最大值为，最小值为，其图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为，∴，解得，∴，∴∴，当时，方程有两个不同实根，∴，∴，故选B。10．已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数()的所有零点之和为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵为定义在上的奇函数，先画当时的图像如图，再围绕原点将的图像旋转得到时的图像，的零点可以看做与()的图像的交点，由图像可知交点一共有个，设交点的横坐标从左到右依次为、、、、，则，，且满足，解得，∴，故选D。11．已知是双曲线(，)的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】设双曲线右焦点为，连接，左焦点到渐近线的距离为，故，在中，，由双曲线定义得，在中，由余弦定理得，整理得，即，又，解得、，故双曲线方程为：，故选D。12．已知四棱锥中，是边长为的正三角形，，，二面角的余弦值为，当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的外接球的体积为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵四棱锥的底面面积为定值，故当四棱锥的高最大时，其体积最大，∵二面角的余弦值为，故当中边上的高最大时，当四棱锥的高最大，又，∴当时，边上的高最大，此时四棱锥的图像如图所示，连接交于点，连接，设的外心为，连接，在上取一点使其满足，∴，，∴，，，，，，∵、，∴为二面角的一个平面角，∴，故，∴，∴，∴，∵、，，∴平面，∴，又，∴平面，∴为四棱锥的外接球的球心，由，解得，故该四棱锥的外接球的体积为，故选C。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则       。【答案】【解析】∵∴，则，∴由正弦二倍角公式得。14．在中，，点满足，若，则        。(用弧度制作答)【答案】【解析】取的中点为，连接，则，∴，设，则，解得，∴是等边三角形，∴。15．已知函数与函数()的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为        。【答案】【解析】由题意得，在上有解，即在上有解，即函数与函数的图像在上有交点，函数的图像是由函数的图像左右平移得到的，且当的图像经过点时，函数与函数的图像有界交点，此时代入点，有，得，∴。16．在中，点是的中点，，且，，则        ，        。(本题第一空2分，第二空3分)【答案】【解析】∵，∴，在和中，分别由正弦定理得，，又，∴两式相比得，即，即，即，则或，又，∴，故。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）某公司统计了年期间该公司年收入的增加值(万元)以及相应的年增长率，所得数据如表所示：年份代码增加值增长率(1)通过表格数据可知，可用线性回归模型拟合年的年收入增加值与代码的关系，求增加值关于代码的线性回归方程；(2)从哪年开始连续三年公司年收入増加值的方差最大？(不需要说明理由)附：对于一组数据、、…、，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，。【解析】(1)依题意，，                                              1分，                                 2分，           4分，                                                6分，故，                       8分故所求的同归方程为；                                        9分(2)年。                                                                 12分18．（12分）已知等比数列的前项和为，且()。(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和。【解析】(1)当时，，                                                     1分当时，，即，                        2分∴等比数列的公比是，∴，即，故，             3分故数列是首项为，公比为的等比数列，；                        4分(2)由(1)知，，又，∴，故，∴，        6分则，                                  7分    ，                                8分两式相减得：，        11分∴。                                                       12分19．（12分）如图，已知正方体的棱长为，、、分别是、、的中点。(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由。        【解析】(1)连接，则为的中位线，∴，                           1分∵在正方体中，，∴，同理可证，                   2分又，，平面，平面，∴平面平面；                                                   4分(2)取的中点，则满足平面，且，证明如下：             5分取的中点，连接、、、、、，则，，，，                 6分∴在中，由、得，                         7分∴在中，由、得，                      8分∴在中，由、得，                          9分∴在中，，，                           10分又∵，，平面，                    11分∴平面，且。                                          12分20．（12分）已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点。(1)求动点的轨迹方程；(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程。【解析】(1)设，，以为切点的切线为，整理得：，                1分同理：以为切点的切线为：，                                   2分联立方程组：，解得，                            3分设直线的方程为：，联立方程组得：，                           5分∴，，∴，∴点的轨迹方程为；  6分(2)由(1)知：，             8分又到直线的距离为：，                          9分∴，                           11分∴时，取得最小值，此时直线的方程为。                     12分21．（12分）已知函数(且)。(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点、()，且，证明：。【解析】(1)的定义域为，，                                    1分当时，恒成立，则在上单调递减，                    2分当时，令，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增；           4分(2)由(1)知，，，依题意可知，解得，由得：()，，，由及得，即，                   6分欲证，只要，注意到在上单调递减，且，只要证明即可，由得，          7分∴           ，，                      9分令，，                               10分则，则在上是递增的，          11分于是，即，综上。                      12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的方程为(为参数)，直线的方程为。以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。(1)求曲线和直线的极坐标方程；(2)已知射线的极坐标方程是，且与曲线和直线在第一条限的交点分别为、，求的长。【解析】(1)曲线：，化为极坐标方程为：，                     2分直线的极坐标方程为，                                    4分(2)设点，则有，解得，即，       6分设点，则有，解得，即，              8分∴。                                          10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数，。(1)当时，求不等式的解集；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围。【解析】(1)当时，，                            2分不等式等价于或或，                    4分解得或，不等式解集为；                            5分(2)当时，不等式等价于，                7分整理得，记，则，解得。         10分