高中数学高考黄金卷03（文）（新课标Ⅰ卷）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷03（文）（新课标Ⅰ卷）（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】∵，∴，故选C。
2．已知复数满足，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】∵，则，故选B。
3．某装修公司为了解客户对照明系统的需求，对照明系统的两种设计方明系统评分面达图案在稳固性、创新性、外观造型、做工用料以及成本五个方面的满意度评分进行统计，根据统计结果绘制出如图所示的雷达图，则下列说法正确的是( )。
A、客户对两种设计方案在外观造型上没有分歧
B、客户对设计一的满意度的总得分高于设计二的满意度的总得分
C、客户对设计二在创新性方面的满意度高于设计一在创新性方面的满意度
D、客户对两种设计方案在稳固性和做工用料方面的满意度相同
【答案】B
【解析】根据雷达图可列表如下：
根据表格分析可得A、C、D错误，选项B正确，故选B。
4．等差数列前项和为，若、是方程的两根，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】由韦达定理得：，，结合等差数列的性质可得：
，则，故选A。
5．已知为第三象限角，且，则的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】由已知得，则，由为第三象限角，得，
故，，∴，故选D。
6．已知实数、满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】表示可行域中的点到原点距离的平方，
由图可知点到原点的距离最大，，
原点到直线的距离为可行域中点到原点距离的最小值，
设距离为，则，，，故选B。
7．下列图像中，不可能是函数(，且)大致图像的是( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】考虑函数图像过原点的情况，必有，，
令，可得，，
可知当时，，函数图像单调递增，
当时，，函数图像单调递减，且函数定义域为，∴函数图像大致为A，
同理，令、可得，图像大致为D，
对于图像B，由于图像过原点，必有，，
而、，图像为A，、，图像为 D，
∴图像B不可能成为函数的图像，
对于图像 C，根据图像特征，，，
可选择、的，且满足单调性，
不唯一，例如，可得，图像大致为C，
故选B。
8．若为定义在上的奇函数，且，当时，，则
( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】∵，且为奇函数，∴，∴周期，
∴、、、、、
、、
，
∴，
∴
，故选C。
9．已知单位向量、、，满足。若常数、、的取值集合为，则的最大值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】由条件得，
和的取值只有三种可能，分别为、、，
但二者不可能同时一个取，另一个取，
∴的化简结果只有四种形式：、、、，
而，故所有可能取值只有或两种结果，
∴的最大值为，故选A。
10．将函数的图像向右平移个单位长度，再将所得的图像上所有点的横坐标变为原来的
()倍(纵坐标不变)，得到函数的图像，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】将函数的图像经过变化后得到的图像，
令()，即()，
∵在上是增函数，∴，又，∴，
令时，解得，当且时，不符合题意，故选B。
11．已知、、、四点在同一个球面上，且、、两两垂直，当、与面积之和的最大值为时，该球的表面积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】设、、，则、与面积之和为，
故的最大值为，
又，
当且仅当时等号成立，即，即，
∵、、、四点所在的同一个球即以、、为邻边的长方体的外接球，
∴该球的直径，则该球的表面积，故选B。
12．已知双曲线：(，)的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】如图，由双曲线的定义知，
∵，∴，即，
而，∴，
在中，，设，
由于，则，
由余弦定理得：，
即，∵，∴，即，故选B。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图虚线网格的最小正方形边长为，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为 。
【答案】
【解析】还原三视图为几何体的直观图可知如图：
是圆柱的一半，可得该几何体的体积为：
。
14．在中，，点满足，若，则 。(用弧度制作答)
【答案】
【解析】取的中点为，连接，则，
∴，
设，则，解得，
∴是等边三角形，∴。
15．已知为等差数列，，，的前项和为，则使得达到最大值时是 。
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
由、两式做差得，∴，
∴数列单调递减，又解得，
∴，由得，即，
∴、，∴当时取得最大值。
16．函数(是以为底的自然对数，)，若存在实数、()，满足，则的取值范围为 。
【答案】
【解析】根据题意，作出函数的图像如图所示：
∵存在实数、()，满足，
∴根据函数图像可得，，
∴，即，∴，
构造函数，，
则，令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
∴当时取极小值也是最小值，∴，
∵，，，
∴，∴的取值范围为。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）
某公司统计了年期间该公司年收入的增加值(万元)以及相应的年增长率，所得数据如表所示：
(1)通过表格数据可知，可用线性回归模型拟合年的年收入增加值与代码的关系，求增加值关于代码的线性回归方程；
(2)从哪年开始连续三年公司年收入増加值的方差最大？(不需要说明理由)
附：对于一组数据、、…、，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，。
【解析】(1)依题意，，， 2分
， 4分
， 6分
，故， 8分
故所求的同归方程为； 9分
(2)年。 12分
18．（12分）
已知在锐角中，三个内角、、所对的边分别为、、，满足。
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围。
【解析】(1)在中，，
由得：，又由正弦定理得：， 2分
即， 4分
即，解得，∴； 5分
(2)在锐角中，，，，
由正弦定理可得， 6分
∴
， 9分
∵，∴，而，， 10分
又正切函数在上单调递增，∴， 11分
从而，即的取值范围是。 12分
19．（12分）
如图所示，是圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在的平面，且。
(1)若为线段的中点，求证：平面；
(2)求三棱锥体积的最大值；
(3)若，点在线段上，求的最小值。
【解析】(1)证明：在中，∵，为的中点，∴， 1分
又垂直于圆所在的平面，∴，
∵，∴平面； 3分
(2)∵点是圆上，∴当时，到的距离最大，且最大值为半径，又，
∴的面积的最大值为， 5分
又∵三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为； 6分
(3)在中，，，∴，
同理，∴， 8分
在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图，
当、、共线时，取得最小值， 10分
又∵，，∴垂直平分，即为中点，
从而，即的最小值为。 12分
20．（12分）
已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点。
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程。
【解析】(1)设，，
以为切点的切线为，整理得：， 1分
同理：以为切点的切线为：， 2分
联立方程组：，解得， 3分
设直线的方程为：，
联立方程组得：， 5分
∴，，∴，∴点的轨迹方程为； 6分
(2)由(1)知：， 8分
又到直线的距离为：， 9分
∴， 11分
∴时，取得最小值，此时直线的方程为。 12分
21．（12分）
已知。
(1)求函数的极值；
(2)设，对于任意、，总有成立，求实数的取值范围。
【解析】(1)的定义域为，， 1分
令，解得或， 2分
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减， 4分
∴在处取极小值为，在处取极大值为， 5分
(2)由(1)可知当时，的最大值为，
对于任意、，总有成立，
等价于恒成立，， 7分
①当时，∵，∴，
即在上单调递增，恒成立，符合题意，可取， 8分
②当时，设，，
∴在上单调递增，且，
则存在使得，
∴在上单调递减，则上单调递增，
又，∴不恒成立，不符合题意，舍去， 11分
综上，实数的取值范围为。 12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为。
(1)化圆的极坐标方程为直角坐标标准方程；
(2)设点，圆心，若直线与圆交手、两点，求的最大值。
【解析】(1)圆的极坐标方程为，
∴， 2分
∵，，，∴，
∴圆的直角坐标标准方程为； 4分
(2)由(1)知圆的圆心的直角坐标为，则，∴，
∴直线的参数方程为(为参数，)， 6分
将直线的参数方程代入得：，
设点、对应的参数方程为、，则，， 8分
，
∴当时，取得最大值为。 10分
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数。
(1)当时，解不等式；
(2)若存在，使得不等式的解集非空，求的取值范围。
【解析】(1)当时，函数，解不等式转化为：
，即， 2分
∴，解得，
∴不等式的解为； 4分
(2)由得，
设，
则不等式的解集非空，等价于， 6分
由得，
由题意知存在，使得上式成立， 8分
而函数在上的最大值为，
∴，即的取值范围是。 10分评分类别
稳固性
创新性
外观造型
做工用料
成本
设计一得分
分
分
分
分
分
设计二得分
分
分
分
分
分
年份
代码
增加值
增长率