高中数学高考黄金卷03（理）（新课标Ⅱ卷）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷03（理）（新课标Ⅱ卷）（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】∵，∴，解得或，
故，则，故选A。
2．已知为虚数单位，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】，故选C。
3．下列说法错误的是( )。
A、“若，则”的逆否命题是“若，则”
B、“”是“”的充分不必要条件
C、“，”的否定是“，”
D、命题“在锐角中，＂为真命题
【答案】D
【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知，A正确，
由解得或，
“”是“”的充分不必要条件，B正确，
∵全称命题的否定是特称命题，C正确，
锐角中，，∴，D错误，
故选D。
4．小笼包在生活中非常常见，不同地方做出来的小笼包有不同的特色，无锡有一家商铺制作一种一笼有个且是种口味的小笼包，这种口味分别为蟹粉味、鹅肝味、墨鱼味、芝士味、麻辣味，蒜香味、人参味，酱香味，将这样的一笼小包取出，排成一排，则人参味小笼包既与蟹粉味小包相邻又与墨鱼味小笼包相邻的概率为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】将这种口味的小笼包排成一排有种排法，
人参味小笼包既与蟹粉味小包相邻又与墨鱼味小笼包相邻有种排法，
故所求概率为，故选B。
5．已知、满足约束条件，则目标函数的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】
作图，令，则，做虚线，上下移动，
则过截距最大即，过截距最小即，
则转换为()，求值域，
∴，最小为，最大值为，故选D。
6．古希腊数学家阿基米徳的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形是阿基米德最引以为豪的发现。现有一底面半径与高的比值为的圆柱，则该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】设内切球的半径为，则圆柱的面半径为，高为，
故圆柱的表面积，内切球的表面积，
∴该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为，故选B。
7．已知的展开式中的常数项为，则的系数为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】的展开式的通项公式为，
∵常数项，∴，∴常数项为，解得，
∵，∴，∴的系数为，故选A。
8．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】，，，否，
，，，否，
，，，否，
，，，是，退出循环，
则，，故选A。
9．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”。庙会大多在春节、元宵节等节日举行。庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”)。今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会。游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：
甲说：“我或乙能中奖”；
乙说：“丁能中奖”；
丙说：“我或乙能中奖”；
丁说：“甲不能中奖”；
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是( )。
A、甲 B、乙 C、丙 D、丁
【答案】A
【解析】由四人的预测可得下表：
(1)若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意，
(2)若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意，
(3)若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意，
(4)若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意，
故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确，故应选A。
10．已知、、、四点在同一个球面上，且、、两两垂直，当、与面积之和的最大值为时，该球的表面积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】设、、，则、与面积之和为，
故的最大值为，
又，
当且仅当时等号成立，即，即，
∵、、、四点所在的同一个球即以、、为邻边的长方体的外接球，
∴该球的直径，则该球的表面积，故选B。
11．已知在数列中，，，且当时，，若为数列的前项和，，则当为整数时，( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】当时，，得，又，
∴从第二项开始是首项为，公比为的等比数列，
∴()，∴，
当时，，，不符合题意，
当时，，
∴，
则，由为整数可知是的因数，
∴当且仅当时可取整数，，，故选D。
12．已知函数与函数()的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】设上的点，则该点关于对称的点为一定在上，
则，即在上有解，
设， 则，
设，且， ，当时，
∴当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
∴当时取极小值也是最小值，，
又，，且，
∴在上的值域为，故选D。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，且与平行，那么 。
【答案】
【解析】∵、，且与平行，
∴，解得。
14．在三棱锥中，，， ，，，，则异面直线与所成的角的余弦值为 。
【答案】
【解析】如图，由己知条件，将三棱锥补为长方体，连接、，
由于，则是异面直线和所成的角，
由已知得，又在中，，
∴，，在中，、，
由余弦定理可得。
15．已知为等差数列，，，的前项和为，则使得达到最大值时是 。
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
由、两式做差得，∴，
∴数列单调递减，又解得，
∴，由得，即，
∴、，∴当时取得最大值。
16．已知点为双曲线：(，)在第一象限上一点，点为双曲线的右焦点，为坐标原点，，则双曲线的离心率为 ；若、分别交双曲线于、两点，记直线与的斜率分别为、，则 。(本题第一空2分，第二空3分)
【答案】
【解析】设，则，则，，
即，将其代入双曲线方程得：，即，
又，∴，即，
两边同除以得，即，
解得或，又，∴；
设，又，则，
将点、的坐标分别代入双曲线方程得，
两式做差得：，故。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）
平面四边形中，，，。
(1)若的周长为，求。
(2)若，，求四边形的面积。
【解析】(1)在中，∵，，的周长为，∴， 1分
又由余弦定理得：， 3分
则将代入得； 5分
(2)在中，由余弦定理得：， 7分
∴，又，，∴，， 9分
∴四边形的面积
。 12分
18．（12分）
如图所示，在多面体中，四边形为正方形，四边形为矩形，平面平面，且。
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值。
【解析】∵平面平面，平面平面，
又∵四边形为正方形，四边形为矩形，
∴，∴平面，∴， 2分
∴以为原点，以、、为、、轴建系，
则，，，，，， 3分
(1)证明：，，，则，，
则，，又，
∴平面，∴平面； 5分
(2)解：设平面的法向量为，设平面的法向量为，
，， ，，

令，则， 令，，， 9分
则，，则，
设二面角的平面角为，经观察为锐角，则，
∴二面角的余弦值为。 12分
19．（12分）
某地区为了了解人民群众对新型冠状病毒肺炎认知情况，调查了年龄在的人群，通过调查数据表明，新型冠状病毒肺炎的感染是人民群众较为关心的问题，参与调查的人群中能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的约占。现从参与调查并关注新型冠状病毒肺炎问题的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到了如图所示的频率分布直方图。
(1)求这人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
(2)现在要从年龄较大的第、组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行访谈，求第组恰好抽到人的概率；
(3)若从众多参与调查的人中任意选出人，设能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的人数为随机变量，求的分布列与数学期望。
【解析】(1)由，得， 1分
∴平均数为(岁)， 2分
设中位数为岁，则，解得，
即中位数约为岁； 3分
(2)第、组抽取的人数分别为人、人， 4分
设第组恰好抽到人为事件，则； 5分
(3)从众多参与调查的人中任意选出人，能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的概率为，
可取、、、，服从， 7分
则，， 9分
，， 11分
则的分布列为：
∴。 12分
20．（12分）
已知函数，，。
(1)设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；
(2)对(1)中的和任意的、，证明：。
【解析】(1)，的定义域为，∴， 1分
①当时，令，解得，
∴当时，，在上递减，
当时，，在上递增，
∴是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点，
∴最小值， 4分
②当时，恒成立，在上递增，无最小值，
故的最小值的解析式为()； 6分
(2)由(1)知，对任意的、，
，①； 8分
，② 9分
，③ 10分
故由①②③得。 12分
21．（12分）
直角坐标系中，已知椭圆：的左，有焦点分别为、，为的中点，过作直线交椭圆于、两点，过作另直线交椭圆于、两点。
(1)判断以为直径的圆是否经过，若经过，请求出此时的斜率，若不经过请说明理由；
(2)若、、三点共线，设直线与直线的斜率存在且分别为、，试问是否为常数，若是，求出常数的值；若不是，请说明理由。
【解析】(1)由题意可知，∴右焦点，， 1分
①当斜率不存在时，方程为，，，
∴以为直径的圆不经过， 2分
②当斜率存在时，设点、，设直线方程为， 3分
联立得：，恒成立，
则，， 4分
假设以为直径的圆经过，则，
∴，
即，
整理得：，
即，
解得，，
综上，存在以为直径的圆经过，且此时的斜率为， 6分
(2)设、、、，则的方程为， 7分
联立得：，
∵，∴，可得， 9分
即，同理可得，
∵、、三点共线，∴，整理得， 10分
，
综上，为常数，常数为。 12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线 ：(为参数)，在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：。
(1)写出曲线和的普通方程；
(2)若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求使最小时点的坐标。
【解析】(1)由题意可知曲线为椭圆，的普通方程为：， 2分
曲线为直线，的普通方程为：； 4分
(2)结合图形可知：最小值即为点到直线的距离的最小值，
设，
则到直线的距离，其中， 6分
∴当时，最小，即的最小值为， 7分
此时，，
即，即最小时点的坐标为。 10分
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知、、为正数，且满足。证明：
(1)；
(2)。
【解析】证明：(1)∵、、为正数，，
∴ 2分
3分
， 4分
∴； 5分
(2)由、、
，
将上述三个不等式相加得：， 7分
又、、，
同理，将上述三个不等式相加得：， 9分
而，∴，当且仅当时，等号成立。 10分预测结果
甲
乙
丙
丁
中
奖
人
甲
√
×
×
×
乙
√
×
√
√
丙
×
×
√
√
丁
×
√
×
√