高中数学高考黄金卷04（文）（新课标Ⅰ卷）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷04（文）（新课标Ⅰ卷）（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，第三象限交双曲线于，解答题等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】，，，故选D。
2．设复数满足，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】，则，故选A。
3．下列说法错误的是( )。
A、“若，则”的逆否命题是“若，则”
B、“”是“”的充分不必要条件
C、“，”的否定是“，”
D、命题“在锐角中，＂为真命题
【答案】D
【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知，A正确，
由解得或，
“”是“”的充分不必要条件，B正确，
∵全称命题的否定是特称命题，C正确，
锐角中，，∴，D错误，
故选D。
4．已知、为双曲线：(，)的焦点，为与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】由题意知，在中，，
可设，则，由勾股定理得，，
又由得，∴，故选B。
5．如图的程序框图，若输入，，，则输出的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】此程序图的功能是输出的、、中的最小数，
又、、，
∴，输出的值为，故选C。
6．某商业区要进行“”信号测试，该商业区的形状近似为正六边形，某电讯公司在正六边形的对角顶点、处各安装一个基站，达到信号强度要求的区城刚好是分别以、为圆心，正六边形的边长为半径的两个扇形区域，未达到倍号强度要求的区域为“”信号盲区。若一游客在该商业区域内购物，则他刚好在“”信号盲区内的概率约为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】如图，阴影部分为达到信号强度要求的区域，
设正六边形的边长为，
则，
，
则该游客刚好在“” 信号盲区内的概率约为：
，故选D。
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】还原空间几何体如图，
可知该几何体为底面是正三角形的直三棱柱中的一个五面体，
其中为的中点，直三棱柱的高为，底面正三角形的边长为，高为，
故该几何体的体积为，故选C。
8．已知函数的图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为，关于的方程
在上有两个不同实根，则实数的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】∵的最大值为，最小值为，
其图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为，
∴，解得，∴，∴
∴，当时，方程有两个不同实根，
∴，∴，故选B。
9．已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数
()的所有零点之和为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵为定义在上的奇函数，先画当时的图像如图，
再围绕原点将的图像旋转得到时的图像，
的零点可以看做与()的图像的交点，
由图像可知交点一共有个，设交点的横坐标从左到右依次为、、、、，
则，，且满足，解得，
∴，故选D。
10．如图为一个正方体与一个半球构成的组合体，半球的底面圆与正方体的上底面的四边相切，球心与正方形的中心重合，将此组合体重新置于一个球中(球未画出)，使正方体的下底面的顶点均落在球的表面上，半球与球内切，设切点为，若四棱锥的表面积为，则球的表面积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】设球、半球的半径分别为、，
则由正方体与半球的位置关系易知正方体的棱长为，
设正方体的下底面的中心为，连接，则四棱锥的高，
易知该四棱锥为正四棱锥，则其斜高为，
由题意得，得，
根据几何体的对称性知球的球心在线段上，连接、，
在中，，，，
则，解得，
∴球的表面积，故选B。
11．已知双曲线：(，)的左、右顶点分别为、，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于、两点，连接交轴于点，连接交于点，且，则双曲线的离心率为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】由双曲线：(，)得：、、，
又过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于、两点，
∴、，如图所示，设，
∵，解得，即，
又直线的方程为，
令得，即，
又由、、三点共线，∴，即，
又∵，整理得，即，∴，故选B。
12．已知函数()有两个极值点、()，则的最大值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】的定义域为，，设，
由题意可知在内有两个不等的实数根、()，
∴，∴需满足，解得，
又∵、，∴，
，
当且仅当时，等号成立，
故的最大值为，故选D。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面向量、的夹角为，且、，则 。
【答案】
【解析】。
14．已知实数、满足约束条件，且目标函数的最大值为，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】作图，目标函数改写为，作直线，
目标直线斜率为负，且截距最大时也最大，
则时目标函数过点，目标直线为，
与交于点，则，、，
设，表示点到点的斜率，
其在为正数时范围为，在负值时范围为，又，，
则的取值范围为。
15．已知椭圆：上有一点，若直线：交椭圆于不同的两点、，且，则 。
【答案】
【解析】设、，联立得，
得：，，，
则，，
∵，∴
，
解得或，又，故。
16．已知数列满足，，，则 ，
。(本题第一空2分，第二空3分)
【答案】
【解析】∵，∴，∴，且，即，
∴的奇数项为首项为、公差为的等差数列，
设()，则，
∴的偶数项为首项为、公差为的等差数列，
设()，则，
∴；
∵
。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）
在中、、分别为角、、所对的边，已知。
(1)求角的大小；
(2)若、，求的面积。
【解析】(1)在中，，
∵，∴由正弦定理得：， 2分
∴，
即，
化简得， 4分
又，∴，∴； 6分
(2)在中，由余弦定理得：， 8分
即，∴，解得(可取)或(舍)， 10分
∴。 12分
18．（12分）
电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查，其中女性有名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有名女性。
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？
(2)将日均收看该体育节目不低于分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有名女性，若从“超级体育迷”中任意选取人，求至少有名女性观众的概率。
附：
【解析】(1)由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“体育迷”有人，从而完成列联表如下：
将列联表中的数据代入公式计算，
得， 4分
∴没有的把握认为“体育迷”与性别有关； 5分
(2)由频率分布直方图可知“超级体育迷”为人，从而一切可能结果所组成基本事件为：
、、、、、、
、、、，则由个基本事件组成，
而且这些基本事件的出现是等可能的， 8分
用表示“任选人中，至少有人是女性”这一事件，
则由、、、、、
、这个基本事件组成， 11分
因而。 12分
19．（12分）
如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面所截后得到的，其中，，。
(1)求证：平面；
(2)求此多面体的全面积。
【解析】(1)在中，，，
由余弦定理可得，
即， 2分
∴，∴， 3分
在直平行六面体中，平面，又平面，∴， 4分
又，∴平面； 5分
(2)由已知可得，，∴四边形是平行四边形，
∵，∴，∵，∴，
过作交于，得，∴， 7分
过作交于，得，
又，连接，则， 8分
∴，∴，
∴， 10分
该几何体的全面积为：
。 12分
20．（12分）
已知直线与抛物线：()交于、两点，且点、在轴两侧，其准线与轴的交点为点，当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，。
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若抛物线的焦点为，，且与的面积分别为、，求的最小值。
【解析】(1)当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，直线的方程为， 1分
联立得：，恒成立， 3分
设、，则，， 4分
∴，解得，
∴此抛物线的标准方程为； 6分
(2)由(1)知抛物线的方程为，设直线：，
∵直线与抛物线相交，∴， 7分
联立得，则，， 8分
则，解得或(舍)， 9分
∴直线：，恒过定点， 10分
设，从而、，
则， 11分
当且仅当时不等式取等号， 故的最小值为。 12分
21．（12分）
已知函数，，。
(1)设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；
(2)对(1)中的和任意的、，证明：。
【解析】(1)，的定义域为，∴， 1分
①当时，令，解得，
∴当时，，在上递减，
当时，，在上递增，
∴是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点，
∴最小值， 4分
②当时，恒成立，在上递增，无最小值，
故的最小值的解析式为()； 6分
(2)由(1)知，对任意的、，
，①； 8分
，② 9分
，③ 10分
故由①②③得。 12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。
(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)在平面直角坐标系中，直线与轴、轴的交点分别为、，点为曲线上任意一点，求
的取值范围。
【解析】(1)直线的普通方程为， 2分
由，得，
由、 、得：，
∴曲线的直角坐标方程为； 4分
(2)由题意，得点，点，
曲线的参数方程为(为参数)， 5分
设，
则， 6分
， 7分
， 8分
∴，
∵，∴，
故的取值范围是。 10分
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，。
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若存在()，使不等式成立，求实数的取值范围。
【解析】(1)当时，不等式即， 1分
可化为或或， 2分
解得或或，则不等式的解集为， 4分
由得，∴不等式的解集为； 5分
(2)当()时，，，∴， 6分
于是原问题可化为存在()，使，即成立，
设，，则， 7分
∵函数的图像为开口向上的抛物线，图像的对称轴为直线， 8分
∴在()上单调递减，， 9分
解得或，又，∴实数的取值范围是。 10分非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计