高中数学高考黄金卷04（文）（新课标Ⅲ卷）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷04（文）（新课标Ⅲ卷）（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
黄金卷04（新课标Ⅲ卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，若，则实数的值为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，又，∴，又，∴、是方程的两个根，∴，故选A。2．设复数满足，则复数(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】，∴，故选A。3．某装修公司为了解客户对照明系统的需求，对照明系统的两种设计方明系统评分面达图案在稳固性、创新性、外观造型、做工用料以及成本五个方面的满意度评分进行统计，根据统计结果绘制出如图所示的雷达图，则下列说法正确的是(  )。A、客户对两种设计方案在外观造型上没有分歧B、客户对设计一的满意度的总得分高于设计二的满意度的总得分C、客户对设计二在创新性方面的满意度高于设计一在创新性方面的满意度D、客户对两种设计方案在稳固性和做工用料方面的满意度相同【答案】B【解析】根据雷达图可列表如下：评分类别稳固性创新性外观造型做工用料成本设计一得分分分分分分设计二得分分分分分分根据表格分析可得A、C、D错误，选项B正确，故选B。4．函数的大致图像是(  )。A、B、CD、【答案】B【解析】由题意可知的定义域为，∵，∴为奇函数，其图像关于原点中心对称，∴C不对，∵，∴A不对，又，故选B。5．已知等差数列的通项公式为()，当且仅当时，数列的前项和最大，则当时，(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意可知，，解得，又，则，∴，∴，∴，即，或(舍)，故选A。6．宋元时期数学名若《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图，若输人的、分别为、，则输出的(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】模拟程序运行，可得：、，，，，不满足，执行循环，，，，不满足，执行循环，，，，不满足，执行循环，，，，满足，退出循环，输出的值为，故选C。7．若函数的值域为，则实数的取值范围为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】等价于的值域能取到内的任意实数，若，则，可取，若，则需，，解得，∴的范围为，故选C。8．古希腊数学家阿基米徳的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形是阿基米德最引以为豪的发现。现有一底面半径与高的比值为的圆柱，则该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】设内切球的半径为，则圆柱的面半径为，高为，故圆柱的表面积，内切球的表面积，∴该圆柱的表面积与其内切球的表面积之比为，故选B。9．已知双曲线：(，)的左焦点为，过原点的直线与双曲线左、右两支分别交于点、，且满足，虚轴的上端点在圆内，则该双曲线离心率的取值范围为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】设双曲线的右焦点为连接、，如图所示，由对称性可知，、关于原点对称，则，又，∴四边形为平行四边形，∴，则，∴，∵虚轴的上端点在圆内，∴，解得，则，即，得，∴，故选A。10．关于函数有下述四个结论：①是偶函数：②是周期为的函数；③在区间上单调递减；④的最大值为。其中正确结论的编号为(  )。A、①②③B、①②④C、①③④ D、②③④【答案】A【解析】函数的定义域为，由，∴是偶函数，①正确，，∴是周期为的函数，②正确，当时，，则在区间上单调递减，③正确，当时，，当时，，又由②知是周期为的函数，∴的值域为，④正确，故选A。11．函数恰有两个整数解，则实数的取值范围为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】的定义域为，恰有两个整数解等价于恰有两个整数解，令，定义域为，，令，易知为单调递减函数，，则当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，又，，，由题意可知：，∴，故选C。12．已知正四面体内接于球，点是底面三角形一边的中点，过点作球的截面，若存在半径为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围是(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】如图，在正四面体中，设顶点在底面的射影为，则球心在上，在上，连接、，设正四面体的棱长为，则正四面体的高，设外接球半径为，在中，，即，解得，∴在中，，过点作外换球的截面，只有当截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为，最大截面圆为过球心的大圆，半径为，由题设存在半径为的截面圆，∴，解得，故选C。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知与均为单位向量，且，则与的夹角是        。【答案】【解析】∵与是单位向量，∴，设向量、的夹角为，∵，∴，即，∴，又，∴。14．已知实数、满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则        。【答案】【解析】表示可行域中的点到原点距离的平方，由图可知点到原点的距离最大，，原点到直线的距离为可行域中点到原点距离的最小值，设距离为，则，，，故选B。15．已知数列的各项均为负数，其前项和为，且满足，则        。【答案】【解析】由，可得，两式相减得：，即，∴，由已知，∴，∴数列为等差数列，公差为，再由，令得，即，∴或(舍去)，∴，因此。16．抛物线()的焦点为，准线为，、是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是        。【答案】【解析】设、，如图所示，根据抛物线的定义，可知、，在梯形中，有，在中，，又∵，∴，∴，故的最大值是。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在中、、分别为角、、所对的边，已知。(1)求角的大小；(2)若、，求的面积。【解析】(1)在中，，∵，∴由正弦定理得：，                 2分∴，即，化简得，                                                 4分又，∴，∴；                                        6分(2)在中，由余弦定理得：，                          8分即，∴，解得(可取)或(舍)，               10分∴。                                               12分18．（12分）如图，在三棱柱中，平面，，是的中点，。(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离。    【解析】(1)由平面，平面，则，                          1分由，是的中点，则，                                 2分又，则平面，                                     3分又平面，∴平面平面；                            4分(2)如图，取的中点，连结，设点到平面的距离为，            5分由题意可知，，，              7分∴，，          8分又，                            10分∴点到平面的距离。                           12分19．（12分）年月日上午，辽宁省省委、省政府在沈阳召开辽宁省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程。某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品。如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，如表是设备改造后的样本的频数分布表。      设备改造后样本的频数分布表质量指标值频数(1)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关； 设备改造前设备改造后合计合格品   不合格品   合计   (2)根据上图和上表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；(3)根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利元，一件不合格品亏损元，用频率估计概率，则生产件产品企业大约能获利多少元？附：【解析】(1)根据上图和上表可得列联表： 设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计将列联表中的数据代入公式计算得：，  4分∵，∴有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；        6分(2)根据上图和上表可知，设备改造后产品为合格品的概率约为，           7分设备改造前产品为合格品的概率约为，                               8分即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好；                         9分(3)用频率估计概率，件产品中大约有件合格品，件不合格品，           10分则获利约为，                                    11分因此，该企业大约能获利元。                                         12分20．（12分）如图所示，已知椭圆：()的左、右焦点分别为、，过点且与轴垂直的直线与圆：交于点(点在轴上方)，与椭圆交于点(点在轴下方)，且满足。(1)若的面积为，求椭圆的标准方程；(2)过点作椭圆的切线，与直线交于点，其中，试判断以线段为直径的圆是否经过点，并说明理由。      【解析】(1)设，则直线的方程为，与联立得，       1分由得，∴，则，又，∴，                         2分故，，                                            3分由，解得，故，∴椭圆的标准方程为；                                          4分(2)由(1)知，椭圆的方程为，，                            5分设切线的方程为，                                         6分由得：，                8分∴，                                 9分解得或，其中时不满足，舍去，                          10分又，∴，即，故以线段为直径的圆经过点。                                         12分21．（12分）已知。(1)求函数的极值；(2)设，对于任意、，总有成立，求实数的取值范围。【解析】(1)的定义域为，，                1分令，解得或，                                             2分当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，                          4分∴在处取极小值为，在处取极大值为，        5分(2)由(1)可知当时，的最大值为，对于任意、，总有成立，等价于恒成立，，                                 7分①当时，∵，∴，  即在上单调递增，恒成立，符合题意，可取，        8分②当时，设，，  ∴在上单调递增，且，则存在使得，∴在上单调递减，则上单调递增，又，∴不恒成立，不符合题意，舍去，                11分综上，实数的取值范围为。                                         12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为。(1)写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；(2)若点，直线与曲线交于、两点，求的值。【解析】(1)由得，                                   1分∴直线的直角坐标方程为：，                                     2分由得曲线的普通方程为：；                          4分(2)点在直线上，且直线的斜率是，倾斜角是，                       5分∴以直线的数方程为(为参数)，                                 6分代入曲线中并整理得，，                    7分设、为此方程的两个实数根，则，，                8分又直线过点，，                                              9分∴。                         10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数。(1)当时，解不等式；(2)若存在，使得不等式的解集非空，求的取值范围。【解析】(1)当时，函数，解不等式转化为：，即，                                        2分∴，解得，∴不等式的解为；                                            4分(2)由得，设，则不等式的解集非空，等价于，                                     6分由得，由题意知存在，使得上式成立，                                     8分而函数在上的最大值为，∴，即的取值范围是。                                      10分