高中数学高考黄金卷05（理）（新课标Ⅲ卷）（原卷版）

黄金卷05（新课标Ⅲ卷）

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数满足，则(  )。

A、

B、

C、

D、

2．已知集合，，则集合的真子集的个数为(  )。

A、

B、

C、

D、

3．已知实数、满足约束条件，则的最小值为(  )。

A、

B、

C、

D、

4．如图虚线网格的最小正方形边长为，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为       。

A、

B、

C、

D、

5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵。”则问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、土兵共有(  )。

A、人

B、人

C、人

D、人

6．宋元时期数学名若《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图，若输人的、分别为、，则输出的(  )。

A、

B、

C、

D、

7．若函数的值域为，则实数的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

8．如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分。若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为(  )。

A、

B、

C、

D、

9．已知函数的图像上相邻的最高点和最低点之间的距离为，关于的方程

在上有两个不同实根，则实数的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

10．南宋著名数学家杨辉在年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就。在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前项和为，，将数列中的整数项组成新的数列，则的值为(  )。

A、

B、

C、

D、

11．函数恰有两个整数解，则实数的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

12．已知正四面体内接于球，点是底面三角形一边的中点，过点作球的截面，若存在半径为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围是(  )。

A、

B、

C、

D、

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面单位向量、互相垂直，且平面向量，，，若，则实数         。

14．的展开式中的系数为        (用数字作答)。

15．随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”。现某机构对国内排名前五的家快递公司的某项指标进行了轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这轮测试中恰好有轮测试结果都出现家公司排名不变的概率为         。

16．已知椭圆：()的两条准线方程为，半焦距，右准线的方程为。、为椭圆上的两个动点，满足。过、的中点作右准线的垂线，垂足为。则的最小值为       。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

如图，在多面体中，四边形为正方形，四边形为矩形，平面平面，且。

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值。

18．（12分）

已知在锐角中，三个内角、、所对的边分别为、、，满足。

(1)求的值；

(2)若，求的取值范围。

19．（12分）

某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出着十根对其直径(单位：)进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布。

(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；

(2)如果钢管的直径满足为合格品(合格品的概率精确到)，现要从根该种钢管中任意挑选根，求次品数的分布列和数学期望。

(参考数据：若，则，，)。

20．（12分）

已知函数(且)。

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个零点、()，且，证明：。

21．（12分）

直角坐标系中，已知椭圆：的左，有焦点分别为、，为的中点，过作直线交椭圆于、两点，过作另直线交椭圆于、两点。

(1)判断以为直径的圆是否经过，若经过，请求出此时的斜率，若不经过请说明理由；

(2)若、、三点共线，设直线与直线的斜率存在且分别为、，试问是否为常数，若是，求出常数的值；若不是，请说明理由。

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线过点，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系，曲线的极坐标方程为。

(1)求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；

(2)直线和曲线交于、两点，求的值。

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数。

(1)当时，解不等式；

(2)若存在，使得不等式的解集非空，求的取值范围。