高中数学高考黄金卷05（文）（新课标Ⅱ卷）（解析版）

黄金卷05（新课标Ⅱ卷）

文科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】，，，故选D。

2．已知是复数，为的共轭复数。若命题：，命题：，则是成立的(  )。

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由可得，∴，

由，设()，得，∴或，即或，

∴是成立的充分不必要条件，故选A。

3．函数的大致图像是(  )。

A、B、C、D、

【答案】B

【解析】由题意可知的定义域为，∵，

∴为奇函数，其图像关于原点中心对称，∴C不对，

∵，∴A不对，又，故选B。

4．音乐是由不同频率的声音组成的。若音()的频率为，则简谱中七个音()、()、()、()、()、()、()组成的音阶频率分别是、、、、、、，其中相邻两个音的频率比是一个音到另一个音的台阶。上述“七声音阶”的台阶只有两个不同的值，记为、() ，称为全音，称为半音，则下列关系式成立的是(  )。

(参考数据：、)

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】由题意知，，显然A、B错误，

由，∴C错误，

而，∴D正确，故选D。

5．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】，，，否，

，，，否，

，，，否，

，，，是，退出循环，

则，，故选A。

6．过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】由题意得，则圆心到直线的距离为，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

此时直线与圆相切，不合题意，舍去，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

则，解得，

故选A。

7．设实数、满足约束条件，则上的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】D

【解析】画可行域如图，表示点与点的连线的斜率，

又、、，

则，，故选D。

8．已知数列、为等差数列，其前项和分别为、，，(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】设，则、，

∴，

，

∴，故选C。

9．在中，，，且点为的中点，，则(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】A

【解析】∵点为的中点，且，∴，

在中，，，∴，

在中，，，，

由余弦定理得：，

∴，故选A。

10．在双曲线：(，)的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点、形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】如图，由平行于轴可得，则，

∴，

又，则，，

由焦半径公式得，

因此代入双曲线方程得可得，

∴，即，故选C。

11．函数恰有两个整数解，则实数的取值范围为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】的定义域为，

恰有两个整数解等价于恰有两个整数解，

令，定义域为，，

令，易知为单调递减函数，，

则当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

又，，，

由题意可知：，∴，故选C。

12．已知四棱锥中，是边长为的正三角形，，，二面角的余弦值为，当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的外接球的体积为(  )。

A、

B、

C、

D、

【答案】C

【解析】∵四棱锥的底面面积为定值，故当四棱锥的高最大时，其体积最大，

∵二面角的余弦值为，

故当中边上的高最大时，当四棱锥的高最大，

又，∴当时，边上的高最大，

此时四棱锥的图像如图所示，

连接交于点，连接，设的外心为，连接，

在上取一点使其满足，∴，，

∴，，，，，，

∵、，∴为二面角的一个平面角，

∴，故，

∴，

∴，∴，

∵、，，∴平面，

∴，又，∴平面，

∴为四棱锥的外接球的球心，

由，解得，

故该四棱锥的外接球的体积为，故选C。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，，且与平行，那么       。

【答案】

【解析】∵、，且与平行，

∴，解得。

14．某学校进行足球选拔赛，有甲、乙、丙、丁四个球队，每两队要进行一场比赛。记分规则为胜一场得分，平一场得分，负一场得分。若甲胜乙、丙、丁的概率分别是、、，甲负乙、丙、丁的概率分别是、、，最后得分大于等于为胜出，则甲胜出的概率为         。

【答案】

【解析】两队进行一场比赛，一队胜、平、负是互斥事件，

∴由题意可知：甲平乙、丙，丁的概率分别是、、，

∴甲胜的概率为。

15．定义在上的奇函数，当时，，则函数()的所有零点之和为        。

【答案】

【解析】∵当时，，

当时，，，

当时，，，

当时，，，

画出时的图像，再利用奇函数的对称性，画出时的图像，如图，

则直线与的图像有个交点，

设交点的横坐标从左到右依次为、、、、，

则，，

∵时，，∴，又，

则当时，，

则满足，解得，

∴。

16．在中，角、、所对的边分别为、、，点是的中点，若，

，则面积的最大值是        。

【答案】

【解析】如图，设，则，

在和中，分别由余定理可得：

，，

两式相加整理得，

∴①，

由及正弦定理得，

整理得②，由余弦定理的推论可得：，

∴，把①代入②整理得：，又，

当且仅当时等号成立，∴，即，

∴，即面积的最大值是。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）

已知数列的前项和为，且满足，。

(1)求数列的通项公式；

(2)令，记数列的前项和为，证明。

【解析】(1)当时，有，解得，                                     1分

当时，有，则：，      3分

整理得：，∴数列是首项为、公比为的等比数列，∴；     5分

(2)由(1)有，                                            6分

设，                     8分

则数列的前项和：

，  10分

又，则恒成立，故。                            12分

18．（12分）

如图所示，四棱柱中，底面为菱形，底面，为的中点。

(1)证明：平面平面；

(2)若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积。

【解析】(1)证明：连接，设与的交点为，连接，                           1分

∵为的中点，为的中点，                                  2分

∴，则平面，                                     3分

又∵平面，∴平面平面；                       4分

(2)解：连接、、，设交于点，                             5分

由题意可知四边形为正方形，且，则，         7分

∴平面，∴，                                      8分

又∵，∴平面，

∴，∴菱形为正方形，                                  10分

∴点到平面的距离为，∴。 12分

19．（12分）

甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工。其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天元；方式二：雨天每天元，晴天出工每天元。三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月(天)内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数(天)为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近年此月的下雨天数()的频数分布表(见下表)后，乙以频率最大的值为依据作出选择，丙以的平均值为依据作出选择。

(1)试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；

(2)根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？

(3)以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过天的概率。

【解析】(1)按计薪方式一、二的收入分布为、，

则，，

∴甲选择计方式二；                                                         2分

由频数分布表知频率最大的，

则，，

∴乙选择计方式一；                                                         4分

的平均值为，

∴丙与甲情况一样，选择计酬方式二；                                         6分

(2)甲统计了个月的情况，乙和丙统计了个月的情况，

但乙只利用了部分数据，丙利用了所有数据，所以丙的统计范围最大，

三人中丙的依据更有指导意义，                                               9分

(3)任选一年，此月下雨不超过天的频率为，                              10分

以频率作为概率，则未来三年中恰有两年，此月下雨不超过天的概率为：

。                                        12分

20．（12分）

已知圆： ，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为。

(1)求曲线的方程；

(2)若、为曲线上的两点，记、，且，试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。

【解析】(1)取，连接，设动圆的圆心为，∵两圆相内切，

∴，又， ∴，     2分

∴点的轨是以、为焦点的椭圆，其中，，

∴、、，∴的轨迹方程为；             4分

(2)当轴时，有、，由得，

又，∴、，

∴，                                  6分

当与轴不垂直时，设直线的方程为，

联立得：，                          8分

则，由得，即，

∴，

整理得：，∴，                 10分

∴，

综上所述，的面积为定值。                                          12分

21．（12分）

已知函数()。

(1)讨论函数的单调性

(2)若函数的图像经过点，求证：()。

【解析】(1)由题意知，函数的定义城为，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，令，得，   2分

①当时，在区间上，单调递增，

在区间上，单调递减，                    3分

②当时，在区间上，单调递减，

在区间上，单调递增，                    4分

(2)若函数的图像经过点，则，得，则，

则，                        5分

设()，则，  6分

设，则，

显然当时，，故在上单调递增，                      7分

又，，∴当时在上有唯一的零点，

不妨设，则，∴，                             9分

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，                                10分

故，       11分

∴恒成立，即()恒成立。                        12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，曲线的极坐标方程为。

(1)以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；

(2)设、为曲线上不同两点(均不与重合)，且满足，求面积的最大值。

【解析】(1)曲线方程两边同乘得，

由、得，

化标准方程为；                                             4分

(2)设、，∵、都在圆上，

∴有、，                                         6分

     ，                         8分

当时，面积取得最大值，最大值为。             10分

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知、、为正数，且满足。证明：

(1)；

(2)。

【解析】证明：(1)∵、、为正数，，

∴               2分

                     3分

，          4分

∴；                                            5分

(2)由、、

，

将上述三个不等式相加得：，                 7分

又、、，

同理，将上述三个不等式相加得：，                9分

而，∴，当且仅当时，等号成立。 10分