高中数学高考黄金卷06（理）（新课标Ⅰ卷）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷06（理）（新课标Ⅰ卷）（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
黄金卷06（新课标Ⅰ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，，则(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴，∵，故选B。2．已知复数满足，则(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，则，故选B。3．霍兰徳职业能力测试问卷可以为大学生在择业方面提供参考，对人的能力兴趣等方面进行评估。某大学随机抽取名学生进行霍兰徳职业能力测试问卷测试，测试结果发现这名学生的得分都在内，按得分分成组：、、 、、，得到如图所示的频率分布直方图，则这名同学得分的中位数为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】设中位数为，根据频率分布直方图可得测试结果位于的频率为：，位于的頻率为，则这名学生得分的中位数位于之同，故有，解得，故选A。4．若，则(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，∴，则，∴，故选C。5．过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为(  )。 A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意得，则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相切，不合题意，舍去，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得，故选A。6．宋元时期数学名若《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图，若输人的、分别为、，则输出的(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】模拟程序运行，可得：、，，，，不满足，执行循环，，，，不满足，执行循环，，，，不满足，执行循环，，，，满足，退出循环，输出的值为，故选C。7．设实数、满足约束条件，则上的取值范围为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】画可行域如图，表示点与点的连线的斜率，又、、，则，，故选D。8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】还原空间几何体如图，可知该几何体为底面是正三角形的直三棱柱中的一个五面体，其中为的中点，直三棱柱的高为，底面正三角形的边长为，高为，故该几何体的体积为，故选C。9．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想。世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对。其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”。在不超过的素数中，任选两个不同的素数、()，令事件，，，记事件、、发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】不超过的素数有、、、、、、、、、，共10个，随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，事件发生的样本点为、、、共4个，事件发生的样本点为、、、共4个，事件发生的样本点为、、、、、、、、、，共个，∴，，故，故选D。10．关于函数有下述四个结论：①是偶函数：②是周期为的函数；③在区间上单调递减；④的最大值为。其中正确结论的编号为(  )。A、①②③B、①②④C、①③④ D、②③④【答案】A【解析】函数的定义域为，由，∴是偶函数，①正确，，∴是周期为的函数，②正确，当时，，则在区间上单调递减，③正确，当时，，当时，，又由②知是周期为的函数，∴的值域为，④正确，故选A。11．如图，三棱锥中，，，且，，，是中点，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】取的中点，的中点，连接、、，∵，∴是的中点、是的中点，∴，∴为异面直线与所成的角或其补角，又∵，，且平面，∴在中，，在中，，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为，故选B。12．已知函数()有两个极值点、()，则的最大值为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】的定义域为，，设，由题意可知在内有两个不等的实数根、()，∴，∴需满足，解得，又∵、，∴，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故选D。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知与均为单位向量，且，则与的夹角是        。【答案】【解析】∵与是单位向量，∴，设向量、的夹角为，∵，∴，即，∴，又，∴。14．的展开式中的系数为，则         。【答案】【解析】其通项公式为，令，则，则，解得。15．某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情。某医院呼吸科共有名医生，名护士，其中名医生为科室主任，名护士为护士长。根据组织安排，从中选派人去支援抗疫一线，要求医生和护士均有，且科室主任和护士长至少有人参加，则不同的选派方案共有      种（用数字作答）。【答案】【解析】选派人去支援抗疾一线，方案有下列三种情况：(1)科室主任和护士长都参加，有(种)选派方案，(2)科室主任参加，护士长不参加，有(种)选派方案，(3)科室主任不参加，护士长参加，有(种)选派方案，故符合条件的选派方案有(种)。16．抛物线()的焦点为，准线为，、是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是        。【答案】【解析】设、，如图所示，根据抛物线的定义，可知、，在梯形中，有，在中，，又∵，∴，∴，故的最大值是。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等比数列的前项和为，且()。(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和。【解析】(1)当时，，                                                     1分当时，，即，                        2分∴等比数列的公比是，∴，即，故，             3分故数列是首项为，公比为的等比数列，；                        4分(2)由(1)知，，又，∴，故，∴，        6分则，                                  7分    ，                                8分两式相减得：，        11分∴。                                                       12分18．（12分）某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了位顾客购物的相关数据如下表：一次购物款(单位：元)顾客人数统计结果显示位顾客中一次购物款不低于元的顾客占，该商场每日大约有名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于元的顾客发放纪念品。(1)试确定、的值，并估计每日应准备纪念品的数量；(2)现有人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望。【解析】(1)由已知，位顾客中购物款不低于元的顾有：，解得，则，        2分该商场每日应准备纪念品的数量约为；                        4分(2)由(1)可知人购物获得纪念品的频率即为概率，                       5分故人购物获得纪念品的数量服从二项分配，                       6分则，，，，，                                          10分则的分布列为：的数学期望为。                                           12分19．（12分）如图所示，已知在三棱锥中，，，，、分别是、的中点，是边上一点，且()，平面与平面所成的二面角为。(1)证明：平面平面；(2)是否存在，使？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。        【解析】(1)证明：如图，选接，∵，点为的中点，∴，          1分又，∴，而，∴≌，∴，                                      2分又，∴平面，                                  3分∵平面，∴平面平面；                          4分(2)如图建立空间直角坐标系，则，∴、、、、、，                                        5分设平面的法向量，∵、，又，∴，设，则，，∴，                             7分设平面法向量，∵、，又，∴，设，则，，∴，                         9分∵，∴为锐角，，∴，                            10分化简得，∴或(舍去)，                          11分∴存在使。                                                  12分20．（12分）已知函数，，。(1)设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；(2)对(1)中的和任意的、，证明：。【解析】(1)，的定义域为，∴，      1分①当时，令，解得，∴当时，，在上递减，当时，，在上递增，∴是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点，∴最小值，                         4分②当时，恒成立，在上递增，无最小值，故的最小值的解析式为()；                  6分(2)由(1)知，对任意的、，，①；                                8分，②                           9分，③               10分故由①②③得。                             12分21．（12分）已知椭圆：()的右焦点与抛物线的焦点重合，以椭圆的短轴为直径的圆过椭圆的焦点。(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于、两点，直线：与椭圆在第一象限的交点为点，，求直线的方程。【解析】(1)∵抛物线的焦点为，∴，                               1分由椭圆的短轴为直径的圆过圆的焦点，则，                         2分又，得，，                                          3分∴椭圆的标准方程为；                                          4分(2)由(、)，得，                                     5分由得，即，可得，                               6分①当垂直轴时，，此时满足题意，∴此时直线的方程为：，                                            7分②当不垂直轴时，设、，直线的方程为，联立消去得：，则，，                                       9分代入可得：，代入和得：，化简得，解得，经检验满足题意，则直线的方程为，                          11分综上所述，直线的方程为或。                           12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为。(1)化圆的极坐标方程为直角坐标标准方程；(2)设点，圆心，若直线与圆交手、两点，求的最大值。【解析】(1)圆的极坐标方程为，∴，                                                 2分∵，，，∴，∴圆的直角坐标标准方程为；                        4分(2)由(1)知圆的圆心的直角坐标为，则，∴，∴直线的参数方程为(为参数，)，                  6分将直线的参数方程代入得：，设点、对应的参数方程为、，则，， 8分，∴当时，取得最大值为。                              10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数。(1)求的解集；(2)若恒成立，求实数的最大值。【解析】(1)由得，解得，                         3分∴的解集为；                                                4分(2)恒成立，即恒成立，                                    5分当时，，                                                         6分当时，原不等式可化为，设，即，                                         8分又(当且仅当即时等号成立)， ∴，即实数的最大值为。                                      10分