高中数学高考黄金卷06（文）（新课标Ⅰ卷）（解析版）
展开黄金卷06（新课标Ⅰ卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于( )。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】C【解析】由已知得：，则，∴复数对于的点为，位于第三象限，故选C。2．已知集合，，则集合的真子集的个数为( )。A、B、C、D、【答案】C【解析】联立解得或或，故，有个元素，则真子集的个数为，故选C。3．若、、，且，则下列不等式中一定成立的是( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，∴，对于A，若，则不等式不成立，对于B，若，则不等式不成立，对于A，若、，则不等式不成立，对于D，若，∴，故选D。4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵。”则问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、土兵共有( )。A、人B、人C、人D、人【答案】D【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、土兵依次成等比数列，且首项为，公比也是，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：，故选D。5．已知实数、满足约束条件，则的最小值为( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】画可行域可知如图，令，则，作出直线并平移，分析可知当平移后的直线经过点时取得最小值，联立解得，则，∴的最小值为，故选A。6．已知，则( )。A、 B、C、D、【答案】D【解析】由可得，∴，∴，∴，故选D。7．某校举办“中华魂”《爱我中华》主题演讲比赛，聘请名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分。现评委为选手李红的评分从低到高依次为、、…、，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的分别为( )。A、；B、；C、；D、；【答案】D【解析】根据题意，程序框图求的是，∴图中判断框空白处应填“”，由茎叶图知、、、，∴，故选 D。8．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为( )。A、B、C、D、【答案】D【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，还原几何体如图所示，故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以为高的直三棱柱的外接球相同，∵底面底边为，高为，故底面是等腰直角三角形，可得底面三角形外接圆的半径为，由棱柱高为可得，外接球半径为，外接球的体积为，故选D。9．已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为( )。A、B、C、D、【答案】B【解析】如图建系，则、、，则，，设()，则()，则，，∴，，∴，当时取最大值，故选B。10．互相垂直的直线、(不与坐标轴垂直)过抛物线：的焦点，且分别与抛物线交于点、、、，记、的中点分别为、，则线段的中点的轨迹方程为( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意，抛物线：的焦点，设直线、的方程分别为和，、、、，联立得，∴、，联立得，∴、，∴、，∴，∴的轨迹方程为，故选A。11．如图，点和点分别是函数(，，)图像上的最低点和最高点，若、两点间的距离为，则关于函数的说法正确的是( )。A、在区间上单调递增B、在区间上单调递减C、在区间上单调递减D、在区间上单调递增【答案】C【解析】如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，设两垂线的交点为，连接，可知为直角三角形，，，则，易知，解得，，∴，，得，，∴，故，由函数的图像经过点可得，则，，又，则，∴，∴的单调递增区间为，得()，的单调递减区间为，得()，∴当时在区间上单调递减，选C。12．在正三棱锥中，，为底面的中心，以为直径的球分别与侧棱、、交于、、，若球的表面积为，则的面积等于( )。A、B、C、D、【答案】A【解析】为正三角形，则，，球的表面积为，则球的半径，则，则在中，=，则角，在中，，，在中，，，则，又，则，故选A。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，若向量与向量共线，则 。【答案】【解析】∵，∴，∴，解得。14．已知函数是奇函数，当时，函数的图象与函数的图象关于对称，则 。【答案】【解析】∵时，的图像与函数的图像关于对称，∴时，，∴时，，又是奇函数，∴。15．在中，点是的中点，，且，，则 ， 。(本题第一空2分，第二空3分)【答案】【解析】∵，∴，在和中，分别由正弦定理得，，又，∴两式相比得，即，即，即，则或，又，∴，故。16．已知函数在区间上只有一个零点，则实数的取值范围是 。【答案】【解析】由题意可知，在区间上只有一个根，等同于在区间上只有一个根，等同于与的图像有唯一一个公共点，由得，则得，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递减，∴在区间内，当时取极小值也是最小值，∴当，又，，且，∴作的图像如图，则满足条件的的取值范围是。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列的前项和为，且满足，。(1)求数列的通项公式；(2)令，记数列的前项和为，证明。【解析】(1)当时，有，解得， 1分当时，有，则：， 3分整理得：，∴数列是首项为、公比为的等比数列，∴； 5分(2)由(1)有， 6分设， 8分则数列的前项和：， 10分又，则恒成立，故。 12分18．（12分）近几年，“互联网+”已经影响了多个行业，在线教育作为现代信息技术同教育相结合的产物，也引发了教育领域的变革。目前在线教育主要包括在线测评、在线课堂、自主学习、线下延伸四种模式。为了解学生参与在线教育情况，某区从名高一学生中随机抽取了名学生，对他们参与的在线教育模式进行调查，其调查结果整理如下：(其中标记“√”表示参与了该项在线教育模式)。教育模式人数(人)在线测评在线课堂自主学习线下延伸√√ √ √ √√ √ √√ √ √√ √ (1)试估计该区高一学生中参与在线课堂教育模式的人数；(2)在样本中用分层抽样的方法从参与自主学习的学生中抽取人，现从这人中随机抽取人，求这人都参与线下延伸教育模式的概率。【答案】(1)∵在样本人中参与在线测试的共人，∴全区名高一学生中参与在线课堂的人数为人， 3分(2)记“抽取参加测试的人都参加了线下延伸”为事件，用分层抽样抽取的人中，有人参加了自主学习和线下延伸，记为、、，有人参加了自主学习和在线测评，记为、， 6分人中抽取人，共有、、、、、、、、、共种取法分，其中事件包含个， 10分∴这人都参与线下延伸教育模式的概率。 12分19．（12分）如图所示，已知正方体的棱长为，、、分别是、、的中点。(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由。 【解析】(1)连接，则为的中位线，∴， 1分∵在正方体中，，∴，同理可证， 2分又，，平面，平面，∴平面平面； 4分(2)取的中点，则满足平面，且，证明如下： 5分取的中点，连接、、、、、，则，，，， 6分∴在中，由、得， 7分∴在中，由、得， 8分∴在中，由、得， 9分∴在中，，， 10分又∵，，平面， 11分∴平面，且。 12分20．（12分）已知椭圆：()的左、右焦点分別为、，若椭圆经过点，且的面积为。(1)求椭圆的标准方程；(2)设斜率为的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于、两点，与椭圆交于、两点，且()，当取得最小值时，求直线的方程。【解析】(1)由得，∴①， 1分又椭圆经过点，∴②， 2分由①②解得，， 3分故椭圆的标准方程为； 4分(2)设直线的方程为，则原点到直线的距离， 5分由弦长公式得， 6分将代入得， 7分由判别式解得， 8分由直线和圆相交的条件可得，即，也即，综上可得的取值范围是， 9分设、，则，， 10分由弦长公式得，由得， 11分又∵，∴，则当时，取得最小值，此时直线的方程为，即。 12分21．（12分）已知函数。(1)当时，求证：；(2)求证：当时，方程有且仅有个实数根。【解析】(1)令，的定义域为，， 1分当时，恒成立，∴在上单调递减，∴当时，恒成立， 3分故当时，； 4分(2)设，的定义域为，，5分设，的定义域为，， 6分当时，恒成立，∴在上单调递减，又，，∴存在唯一的使据， 7分当时，则，∴在上单调递增，当时，则，∴在上单调递减， 8分∴在处取得极大值也是最大值，又，，， 10分∴在与上各有一个零点，即当时，方程有且仅有个实数根。 12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点的轨迹为曲线。(1)求曲线和的极坐标方程；(2)设直线：，射线：，，若与曲线，直线分别交于、两点，求的最大值。【解析】(1)将、代人得曲线的极坐标方程，即，即， 2分设，则，代入曲线的极坐标方程得曲线的极坐标方程，即； 5分(2)直线的极坐标方程为，设、，则、， 6分∴ ， 9分∴的最大值为。 10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()。(1)当时，求不等式的解集；(2)若，不等式恒成立，求的取值范围。 【解析】(1)当时，， 1分①当时，不等式可化为，解得，∴，2分②当时，不等式可化为，解得，∴，3分③当时，不等式可化为，解得，∴， 4分综上可知，原不等式的解集为； 5分(2)当时，不等式，即，整理得，则，即， 6分又，故分离参数可得， 7分令函数()，显然在上单调递减，∴，当时，(当且仅当时等号成立)， 9分∴实数的取值范围为。 10分
