高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：1 2 命题及其关系、充分条件与必要条件 Word版含答案

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(1)理解命题的概念．
(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否
命题，会分析四种命题的相互关系．
2．充分条件与必要条件
理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
知识点一 命题、四种命题及相互关系
1．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及相互关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
易误提醒 易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
必备方法 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．
[自测练习]
1．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝－4”的逆否命题及其真假性为( )
A．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠－4，则x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝－4，则x2＋3x－4＝0”为假命题
解析：根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故选C.
答案：C
知识点二 充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
易误提醒 注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且Beq \a\vs4\al(⇒/ ) A)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A且Aeq \a\vs4\al(⇒/ ) B)两者的不同．
必备方法 充分条件与必要条件判定的三种方法
1．定义法：
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；
(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
(4)若p⇒q且q ⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；
(5)若p ⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
(6)若p ⇒/ q且q ⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．利用集合间的包含关系判断：
记条件p，q对应的集合分别是A，B，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，或q是p的必要不充分条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若A⃘B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．等价法：
利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系．
[自测练习]
2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由(2x－1)x＝0可得x＝eq \f(1,2)或0，所以“x＝eq \f(1,2)或0”是“x＝0”的必要不充分条件．
答案：B
3．已知条件p：x≤1，条件q：eq \f(1,x)<1，则綈p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由x>1得eq \f(1,x)<1；反过来，由eq \f(1,x)<1不能得知x>1，即綈p是q的充分不必要条件，选A.
答案：A
4．(2015·高考湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则( )
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.
答案：A
考点一 命题及其相互关系|
1．(2015·高考山东卷)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．
答案：D
2．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
解析：A中逆命题为“若x>|y|，则x>y”是真命题；
B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；
C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；
D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．
答案：A
3．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．
①“若lg2a>0，则函数f(x)＝lgax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．
解析：对于①，若lg2a>0＝lg21，则a>1，所以函数f(x)＝lgax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.
答案：②④
命题真假的两种判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．
(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．

考点二 充分条件和必要条件的判定|
(1)(2015·高考四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“lg2a>lg2b>0”的( )

A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，所以a>0，lg2a>lg2b>lg21＝0，所以“a>b>1”是“lg2a>lg2b>0”的充要条件．
[答案] A
(2)(2015·高考北京卷)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若a·b＝|a||b|，则a与b的方向相同，所以a∥b.若a∥b，则a·b＝|a||b|，或a·b＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件，选A.
[答案] A
判断充分条件与必要条件的两个注意点：
(1)要注意弄清条件p和结构q分别是什么，然后尝试p⇒q，q⇒p.
(2)要注意对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．


1．(2015·高考湖南卷)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：结合韦恩图(图略)可知，A∩B＝A，得A⊆B，反之，若A⊆B，即集合A为集合B的子集，故A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件，选C.
答案：C
考点三 充要条件的应用|
已知p：x2－2mx－15m2≤0(m>0)；q：x2－3x－10≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
[解析] 本题考查充分必要条件、一元二次不等式等基础知识．
若p真，则－3m≤x≤5m；
若q真，则－2≤x≤5；
因为綈p是綈q的必要不充分条件，
所以p是q的充分不必要条件，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,－3m≥－2，,5m≤5，))
∴0所以实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))).
[答案] eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))
利用充要条件求参数的值或范围的一个关键点、一个注意点：
(1)关键点：是合理转化条件，准确将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算．
(2)注意点：注意区间端正值的检验，易忽视．

2．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，
∵β：|x－1|<1，∴0∴β可看作集合B＝{x|0又∵α是β的必要不充分条件，
∴BA，∴a≤0.
答案：(－∞，0]
1.等价转化思想在充要条件中的应用
【典例】 已知条件p：eq \f(4,x－1)≤－1，条件q：x2－x[思路点析] “綈q的一个充分不必要条件是綈p”等价于“p是q的一个必要不充分条件”．
[解析] 由eq \f(4,x－1)≤－1，得－3≤x<1.
由x2－x当a>1－a，即a>eq \f(1,2)时，不等式的解为1－a当a＝1－a，即a＝eq \f(1,2)时，不等式的解为∅；
当a<1－a，即a由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，即p为q的一个必要不充分条件，即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集．
当a>eq \f(1,2)时，由{x|1－a当a＝eq \f(1,2)时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；
当a综上，a的取值范围是[0,1]．
[答案] [0,1]
[思路点评] (1)本题用到的等价转化
①将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系．
②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．
(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题在解题中经常用到．
[跟踪练习] 若“x2>1”是“x解析：由x2>1，得x<－1，或x>1，
又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.
答案：－1
A组 考点能力演练
1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )
A．若a2＋b2≠0，虽a≠0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
解析：先确定逆命题为“若a＝0且b＝0，则a2＋b2＝0”，再将逆命题否定为“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.
答案：D
2．“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：x1>3，x2>3⇒x1＋x2>6，x1x2>9；反之不成立，例如x1＝eq \f(1,2)，x2＝20.故选A.
答案：A
3．(2016·沈阳一模)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：设命题p：x<0，命题q：ln(x＋1)<0，由对数函数的定义域和对数函数的单调性可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x＋1<1，))所以－1答案：B
4．设a，b为两个非零向量，则“a·b＝|a·b|”是“a与b共线”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：设a，b的夹角为θ.由a·b＝|a·b|得：|a||b|·cs θ＝|a||b|·|cs θ|，|a||b|(cs θ－|cs θ|)＝0，即|a||b|＝0(舍)因为a，b非零，或cs θ≥0，所以由a·b＝|a·b|eq \a\vs4\al(⇒/ ) a与b共线，反过来，当a＝－b时，虽然“a与b共线”，但是“a·b＝|a·b|”不成立，所以“a·b＝|a·b|”是“a与b共线”的既不充分也不必要条件．故选D.
答案：D
5．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]
解析：法一：设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1，故选A.
法二：令a＝－3，则q：x>－3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B，C，D，选A.
答案：A
6．(2016·成都一诊)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________．
解析：找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．
答案：若|a|＝|b|，则a＝－b
7．(2015·盐城一模)给出以下四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④若ab是正整数，则a，b都是正整数．
其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．
答案：①③
8．设条件p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；条件q：实数x满足x2＋2x－8>0，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法．由x2－4ax＋3a2<0得3a0得x<－4或x>2，因为q是p的必要不充分条件，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,a≤－4，))所以a≤－4.
答案：(－∞，－4]
9．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．
(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．
10．已知(x＋1)(2－x)≥0的解为条件p，关于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1<0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m>－\f(2,3)))的解为条件q.
(1)若p是q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围．
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围．
解：(1)设条件p的解集为集合A，则A＝{x|－1≤x≤2}，
设条件q的解集为集合B，则B＝{x|－2m－1若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>2，,－2m－1<－1,m>－\f(2,3).))，解得m>1，
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，则B是A的真子集eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≤2，,－2m－1≥－1,m>－\f(2,3).))解得－eq \f(2,3)B组 高考题型专练
1．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f ′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
解析：由于q⇒p，则p是q的必要条件；而peq \a\vs4\al(⇒/ ) q，如f(x)＝x3在x＝0处f ′(0)＝0，而x＝0不是极值点，故选C.
答案：C
2．(2015·高考重庆卷)“x>1”是“lgeq \f(1,2)(x＋2)<0”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由lgeq \f(1,2)(x＋2)<0，得x＋2>1，解得x>－1，所以“x>1”是“lgeq \f(1,2)(x＋2)<0”的充分而不必要条件，故选B.
答案：B
3．(2015·高考安徽卷)设p：11，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：q：2x>1⇔x>0，且(1,2)⊆(0，＋∞)，所以p是q的充分不必要条件．
答案：A
4．(2015·高考福建卷)“对任意x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，ksin xcs xA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以sin 2x>0.任意x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，ksin xcs x0，所以f(t)＝t－sin t在(0，π)上单调递增，所以f(t)>0，所以t>sin t>0，即eq \f(t,sin t)>1，所以k≤1.所以任意x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，k答案：B
5．(2015·高考北京卷)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若m⊂α且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
答案：B