高中数学高考高三数学人教版A版数学（理）高考一轮复习教案：3 5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 Word版含答案

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三角函数的求值与化简
(1)和与差的三角函数公式
①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
(2)二倍角的三角函数公式
①能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式．
②利用两角和的公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin_αcs_β±cs_αsin_β.
(2)cs(α±β)＝cs_αcs_β∓sin_αsin_β.
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2．公式的变形
公式T(α±β)的变形：
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)．
(2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
易误提醒
1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．
2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝eq \f(\r(2),2)所对应的角α＋β不是唯一的．
[自测练习]
1．化简cs 15°cs 45°－cs 75°sin 45°的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(3),2)
解析：cs 15°cs 45°－cs 75°sin 45°＝cs 15°cs 45°－sin 15°sin 45°＝cs(15°＋45°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).
答案：A
2．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)，则cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的值是( )
A．－eq \f(2\r(3),3) B．±eq \f(2\r(3),3)
C．－1 D．±1
解析：cs x＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cs x＋eq \f(1,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x＝eq \f(3,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs x＋\f(1,2)sin x))＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝－1.
答案：C
3．(2015·浙江金华十校联考)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,7)，则tan α＝________.
解析：tan α＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－1,1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝－eq \f(3,4).
答案：－eq \f(3,4)
知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin_αcs_α.
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
2．公式C2α的变形
(1)sin2α＝eq \f(1,2)(1－cs 2α)．
(2)cs2α＝eq \f(1,2)(1＋cs 2α)．
3.公式的逆用
(1)1±sin 2α＝(sin α±cs α)2.
(2)sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
必备方法 二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cs 2α＝cs2 α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．
[自测练习]
4．已知sin 2α＝eq \f(1,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B．－eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
解析：∵cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,2))),2)
＝eq \f(1＋sin 2α,2)，∴cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(2,3).
答案：D
5．已知α为第二象限角，cs α＝－eq \f(3,5)，则tan 2α的值为( )
A.eq \f(24,25) B.eq \f(24,7) C．－eq \f(24,7) D．－eq \f(24,25)
解析：因为α为第二象限角，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))2)＝eq \f(4,5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3)，
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))2)＝eq \f(24,7).
答案：B
考点一 给角求值|
1．(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
解析：原式＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝eq \f(1,2).
答案：D
2.eq \f(2cs 10°,sin 70°)－tan 20°＝( )
A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3)－1,2) C．1 D.eq \f(\r(3),2)
解析：利用三角函数公式求解.eq \f(2cs 10°,sin 70°)－tan 20°＝eq \f(2cs 10°,cs 20°)－eq \f(sin 20°,cs 20°)＝eq \f(2cs30°－20°－sin 20°,cs 20°)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 20°＋\f(1,2)sin 20°))－sin 20°,cs 20°)＝eq \r(3)，故选A.
答案：A
求解给角求值问题的三个注意点
(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分．
(2)观察名，尽可能使函数统一名称．
(3)观察结构，利用公式，整体化简．

考点二 给值求值问题|

(1)(2015·高考重庆卷)若tan α＝eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(1,6) C.eq \f(5,7) D.eq \f(5,6)
[解析] tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,3)＋tan β,1－\f(1,3)tan β)＝eq \f(1,2)，解得tan β＝eq \f(1,7).
[答案] A
(2)(2016·贵阳一模)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))))的值是( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,3) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(7,9)
[解析] 法一：∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(7,9)，
∴cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2α))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝－eq \f(7,9).
法二：∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(1,3)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(1,3)，
∴cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))－1＝eq \f(2,9)－1＝－eq \f(7,9).
[答案] D
三角函数的给值求值，问题中把待求角用已知角表示的三个策略：
(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．
(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系．
(3)在求值的过程中“拼凑角”对求值往往起到“峰回路转”的效果．通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有eq \f(α＋β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))，α＝(α－β)＋β，eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，15°＝45°－30°等．


1．若锐角α满足2sin α＋2eq \r(3)cs α＝3，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(2π,3)))的值是( )
A．－3eq \r(7) B．－eq \f(3\r(7),7)
C．3eq \r(7) D.eq \f(3\r(7),7)
解析：本题考查三角恒等变换．由2sin α＋2eq \r(3)cs α＝3化简得4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin α＋\f(\r(3),2)cs α))＝3，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(3,4).
由eq \f(\r(2),2)所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2)＝－eq \f(\r(7),4)，
从而taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(3,\r(7))，
由二倍角公式得tan 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,\r(7)))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,\r(7))))2)＝3eq \r(7)，故选C.
答案：C
考点三 给值求角|
(2015·成都一诊)若sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β的值是( )
A.eq \f(7π,4) B.eq \f(9π,4)
C.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(9π,4)
[解析] 因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，所以2α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π))，又sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，所以2α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，故cs 2α＝－eq \f(2\r(5),5).又β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，所以β－α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，故cs(β－α)＝－eq \f(3\r(10),10).
所以cs(α＋β)＝cs[2α＋(β－α)]＝cs 2α·cs(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，且α＋β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，2π))，故α＋β＝eq \f(7π,4).
[答案] A
“给值求角”求解的三个步骤
(1)求角的某一三角函数值．
(2)讨论角的范围．
(3)根据角的范围写出要求的角．


2．(2015·兰州检测)在斜三角形ABC中，sin A＝－eq \r(2)cs B·cs C，又tan B·tan C＝1－eq \r(2)，则角A的值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,2) D.eq \f(3π,4)
解析：由题意知，sin A＝－eq \r(2)cs B·cs C＝sin(B＋C)＝sin B·cs C＋cs B·sin C，在等式－eq \r(2)cs B·cs C＝sin B·cs C＋cs B·sin C两边同除以cs B·cs C得tan B＋tan C＝－eq \r(2)，又tan(B＋C)＝eq \f(tan B＋tan C,1－tan Btan C)＝－1＝－tan A，即tan A＝1，所以A＝eq \f(π,4).
答案：A
6.忽视角的范围导致三角函数求值失误
【典例】 已知0<β[解析] ∵0<β∴－eq \f(π,4)∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β)))＝eq \f(\r(5),3)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2))))＝eq \f(4\r(5),9)，
∴cseq \f(α＋β,2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,9)))×eq \f(\r(5),3)＋eq \f(4\r(5),9)×eq \f(2,3)＝eq \f(7\r(5),27)，
∴cs(α＋β)＝2cs2eq \f(α＋β,2)－1＝2×eq \f(49×5,729)－1＝－eq \f(239,729).
[答案] －eq \f(239,729)
[易误点评] (1)由0<β(2)不会将eq \f(α＋β,2)表示为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))导致不会．
[防范措施] (1)对于给值求值问题变角后一定要注意结合已知角的范围压缩为新求问题中角的范围，否则会多解．(2)牢记变角求值在给值求值中的应用这一方法．
[跟踪练习] 已知cs α＝eq \f(1,7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，且0<β<α解：由cs α＝eq \f(1,7)，0<α得sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))2)＝eq \f(4\r(3),7).
由0<β<α又∵cs(α－β)＝eq \f(13,14)，
∴sin(α－β)＝eq \r(1－cs2α－β)＝eq \f(3\r(3),14)，
由β＝α－(α－β)，得
cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋
sin αsin(α－β)＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2).
又0<βA组 考点能力演练
1．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝－eq \f(5,13)，则sin 2x的值为( )
A.eq \f(50,169) B.eq \f(119,169)
C．－eq \f(50,169) D．－eq \f(119,169)
解析：法一：由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＝－eq \f(5,13)，可得sin x＋cs x＝－eq \f(5\r(2),13)，所以(sin x＋cs x)2＝1＋sin 2x＝eq \f(50,169)，所以sin 2x＝－eq \f(119,169).
法二：sin 2x＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－1＝－eq \f(119,169)，故选D.
答案：D
2．若点P(cs θ，sin θ)在直线x＋2y＝0上，则cs 2θ＋sin 2θ＝( )
A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,2)
解析：由已知条件可得cs θ＋2sin θ＝0，解得tan θ＝－eq \f(1,2)，∴cs 2θ＋sin 2θ＝eq \f(cs2θ－sin2θ＋2sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)
＝eq \f(1－tan2θ＋2tan θ,tan2θ＋1)＝－eq \f(1,5)，故选A.
答案：A
3．(2015·云南一检)cseq \f(π,9)·cseq \f(2π,9)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,9)))＝( )
A．－eq \f(1,8) B．－eq \f(1,16)
C.eq \f(1,16) D.eq \f(1,8)
解析：cseq \f(π,9)·cseq \f(2π,9)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,9)))＝cs 20°·cs 40°·cs 100°＝－cs 20°·cs 40°·cs 80°
＝－eq \f(sin 20°·cs 20°·cs 40°·cs 80°,sin 20°)
＝－eq \f(\f(1,2)sin 40°·cs 40°·cs 80°,sin 20°)
＝－eq \f(\f(1,4)sin 80°·cs 80°,sin 20°)＝－eq \f(\f(1,8)sin 160°,sin 20°)
＝－eq \f(\f(1,8)sin 20°,sin 20°)＝－eq \f(1,8).
答案：A
4．(2015·青岛一模)设a＝cs 50°cs 127°＋cs 40° cs 37°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin 56°－cs 56°)，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)，d＝eq \f(1,2)(cs 80°－2cs250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系是( )
A．a>b>d>c B．b>a>d>c
C．a>c>b>d D．c>a>b>d
解析：a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°＝sin 40°×cs 127°＋cs 40°sin 127°＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin 56°－cs 56°)＝eq \f(\r(2),2)sin 56°－eq \f(\r(2),2)cs 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)＝eq \f(\f(cs239°－sin239°,cs239°),\f(cs239°＋sin239°,cs239°))＝cs239°－sin239°＝cs 78°＝sin 12°，d＝eq \f(1,2)(cs 80°－2cs250°＋1)＝eq \f(1,2)cs 80°－eq \f(1,2)cs 100°＝cs 80°＝sin 10°，故a>c>b>d，选C.
答案：C
5．已知锐角α，β满足sin α－cs α＝eq \f(1,6)，tan α＋tan β＋eq \r(3)tan αtan β＝eq \r(3)，则α，β的大小关系是( )
A．αC.eq \f(π,4)<α<β D.eq \f(π,4)<β<α
解析：∵α为锐角，sin α－cs α＝eq \f(1,6)，∴α>eq \f(π,4).
又tan α＋tan β＋eq \r(3)tan αtan β＝eq \r(3)，∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \r(3)，∴α＋β＝eq \f(π,3)，又α>eq \f(π,4)，∴β答案：B
6．若cs(α＋β)＝eq \f(1,5)，cs(α－β)＝eq \f(3,5)，则tan αtan β＝________.
解析：∵cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(1,5)，cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(3,5)，∴cs αcs β＝eq \f(csα－β＋csα＋β,2)＝eq \f(2,5)，sin αsin β＝eq \f(csα－β－csα＋β,2)＝eq \f(1,5)，∴tan αtan β＝eq \f(sin αsin β,cs αcs β)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
7．已知sin α＋cs α＝eq \f(1,2)，则cs 4α＝________.
解析：由sin α＋cs α＝eq \f(1,2)，得(sin α＋cs α)2＝1＋2sin αcs α＝eq \f(1,4)，∴sin 2α＝－eq \f(3,4)，∴cs 4α＝1－2sin22α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))2＝－eq \f(1,8).
答案：－eq \f(1,8)
8．(2015·珠海一模)已知tan(α＋β)＝eq \f(2,5)，tan β＝eq \f(1,3)，则tan(α－β)的值为________．
解析：∵tan(α＋β)＝eq \f(2,5)，tan β＝eq \f(1,3)，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝eq \f(tanα＋β－tan β,1＋tanα＋β·tan β)＝eq \f(\f(2,5)－\f(1,3),1＋\f(2,5)×\f(1,3))＝eq \f(1,17)，tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝eq \f(\f(1,17)－\f(1,3),1＋\f(1,17)×\f(1,3))＝－eq \f(7,26).
答案：－eq \f(7,26)
9．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan α＝eq \f(1,2)，求tan 2α和sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))的值．
解：∵tan α＝eq \f(1,2)，∴tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(1,2),1－\f(1,4))＝eq \f(4,3)，
且eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1,2)，即cs α＝2sin α，
又sin2α＋cs2α＝1，∴5sin2α＝1，而α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs α＝eq \f(2\r(5),5).
∴sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(4,5)，
cs 2α＝cs2α－sin2α＝eq \f(4,5)－eq \f(1,5)＝eq \f(3,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝sin 2αcseq \f(π,3)＋cs 2αsineq \f(π,3)＝eq \f(4,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4＋3\r(3),10).
10．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs 2β＝－eq \f(7,9)，sin(α＋β)＝eq \f(7,9).
(1)求cs β的值；
(2)求sin α的值．
解：(1)cs2β＝eq \f(1＋cs 2β,2)＝eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,9))),2)＝eq \f(1,9)，
又∵β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴cs β＝－eq \f(1,3).
(2)由(1)知sin β＝eq \r(1－cs2β)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3).
由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，得(α＋β)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2))).
cs(α＋β)＝－eq \r(1－sin2α＋β)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9)))2)＝－eq \f(4\r(2),9).
sin α＝sin(α＋β－β)＝sin(α＋β)cs β－cs(α＋β)sin β
＝eq \f(7,9)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4\r(2),9)))×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(1,3).
B组 高考题型专练
1．(2015·高考重庆卷)若tan α＝2taneq \f(π,5)，则eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,10)＋\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,5))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,5))))＝eq \f(sin αcs\f(π,5)＋cs αsin\f(π,5),sin αcs\f(π,5)－cs αsin\f(π,5))＝eq \f(\f(sin α,cs α)cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),\f(sin α,cs α)cs\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq \f(2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)＋sin\f(π,5),2·\f(sin\f(π,5),cs\f(π,5))cs\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq \f(3sin\f(π,5),sin\f(π,5))＝3，故选C.
答案：C
2．(2015·高考四川卷)sin 15°＋sin 75°的值是________．
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin 45°cs 30°＝eq \f(\r(6),2).
答案：eq \f(\r(6),2)
3．(2015·高考江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝eq \f(1,7)，则tan β的值为________．
解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)＝eq \f(\f(1,7)＋2,1－\f(2,7))＝3.
答案：3
4．(2014·高考江苏卷)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(\r(5),5).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))的值．
解：(1)由题意cs α＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2)＝－eq \f(2\r(5),5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝sineq \f(π,4)cs α＋cseq \f(π,4)sin α＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)得sin 2α＝2sin αcs α＝－eq \f(4,5)，cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(3,5)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))＝cseq \f(5π,6)cs 2α＋sineq \f(5π,6)sin 2α＝－eq \f(\r(3),2)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＝－eq \f(3\r(3)＋4,10).
5．(2014·高考广东卷)已知函数f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，x∈R，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝eq \f(3\r(2),2).
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝eq \r(3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ)).
解：(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)＋\f(π,3)))＝Asineq \f(3π,4)＝eq \f(3\r(2),2)，
∴A＝eq \f(3\r(2),2)·eq \r(2)＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－θ＋\f(π,3)))
＝3eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θcs\f(π,3)＋cs θsin\f(π,3)))－\b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(－sin θcs\f(π,3)＋))))
eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θsin\f(π,3)))))＝6sin θcseq \f(π,3)＝3sin θ＝eq \r(3)，
所以sin θ＝eq \f(\r(3),3).又因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs θ＝eq \r(1－sin2θ)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2)＝eq \f(\r(6),3)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ＋\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))
＝3cs θ＝eq \r(6).