高中数学高考第一节 导数的概念及运算 教案

这是一份高中数学高考第一节 导数的概念及运算 教案，共17页。
第三章 导数及其应用
第一节　导数的概念及运算
核心素养立意下的命题导向
1.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算，凸显数学运算的核心素养．
2．与曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．


[理清主干知识]
1．导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率li ＝li 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li ＝li .称函数f′(x)＝li 为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数

基本初等函数
导函数
f(x)＝c
(c为常数)
f′(x)＝

f(x)＝xα
(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ex
f′(x)＝
f(x)＝ax
(a>0，a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝logax
(a>0，a≠1)
f′(x)＝

3．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f′(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(商的导数)若函数f(x)＝(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．1＋x D．1－x
答案：B
2．(导数的运算)已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________.
解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x0)＝－8＋4x0＝4，解得x0＝3.
答案：3
3．(求切线方程)曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．
解析：∵y′＝，∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y＝(x－1)，∴所求三角形的面积S＝×1×＝＝log2e.
答案：log2e
4．(已知切线求参数)已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.
解析：由题意，得f′(x)＝aln x＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.
答案：4
二、易错点练清
1．(多选·混淆求导公式)下列导数的运算中正确的是(　　)
A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.′＝ D．(sin xcos x)′＝cos 2x
解析：选ABD　因为′＝，所以C项错误，其余都正确．
2．(混淆点P处的切线和过P点的切线)函数f(x)＝x2＋的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．3x－y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．3x－y＋1＝0
解析：选A　函数f(x)＝x2＋的导数为f′(x)＝2x－，
可得图象在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝2－1＝1，
切点为(1,2)，
可得图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.故选A.

考点一　导数的运算
[典题例析]　
(1)设f(x)＝x(2 020＋ln x)，若f′(x0)＝2 021，则x0等于(　　)
A．e2　　　　　　　　　 B．1
C．ln 2 D．e
(2)(2021·日照质检)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　)
A．－e B．1
C．－1 D．e
(3)函数f(x)＝xsincos，则其导函数f′(x)＝________________.
[解析]　(1)f′(x)＝2 020＋ln x＋1＝2 021＋ln x，由f′(x0)＝2 021，得2 021＋ln x0＝ 2 021，则ln x0＝0，解得x0＝1.
(2)由题可得f′(x)＝2f′(1)＋，则f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1，故选C.
(3)∵f(x)＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴f′(x)＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
[答案]　(1)B　(2)C　(3)－sin 4x－2xcos 4x
[方法技巧]
1．导数运算的常见形式及其求解方法
连乘积形式
先展开化为多项式的形式，再求导
分式形式
观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
对数形式
先化为和、差的形式，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
复合函数
确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元

2．解决解析式中含有导数值问题的策略
解决解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数问题的关键是恰当赋值，然后活用方程思想求解，即先求导数f′(x)，然后令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，最后求得所求导数值．
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数为f′(x)，若f′(2)＝2，则实数a的值为(　　)
A. B．
C. D．1
解析：选B　因为f′(x)＝，所以f′(2)＝＝2，解得a＝.故选B.
2．(2021·长沙一模)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　)
A．26 B．29
C．212 D．215
解析：选C　f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2a3…a8＝(a1a8)4＝(2×4)4＝212.故选C.
3．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.
解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.
答案：－4
考点二　导数的几何意义
考法(一)　求切线方程
[例1]　已知函数f(x)＝x2.
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求经过点P(－1,0)的曲线f(x)的切线方程．
[解]　(1)∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴f′(1)＝2，又f(1)＝1，
∴曲线在点(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)设切点坐标为(x0，x)．
∵f′(x0)＝2x0，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，
又∵切点(x0，x)在切线上，
∴代入切线方程得x＝2x0(x0＋1)，
即x＋2x0＝0，解得x0＝0或x0＝－2.
∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，
即y＝0或4x＋y＋4＝0.
[方法技巧]
求切线方程问题的2种类型及方法
(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：
点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：
切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”求解，即：
①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；
②根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组求出切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．　
考法(二)　求参数值或范围
[例2]　已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　　　 B．(3，＋∞)
C. D．(0,3)
[解析]　由题得f′(x)＝2e2x－2ex＋a，
则方程2e2x－2ex＋a＝3有两个不同的正解，
令t＝ex(t>0)，且g(t)＝2t2－2t＋a－3，
则由图象可知，有g(0)>0且Δ>0，
即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得30)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D.
11．(多选)已知点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是(　　)
A．6x－y－4＝0 B．x－4y＋7＝0
C．3x－2y＋1＝0 D．4x－y＋3＝0
解析：选AC　由点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，得a＝2，则f(x)＝2x3，f′(x)＝6x2.设切点为(m,2m3)，则切线的斜率k＝6m2，由点斜式得切线方程为y－2m3＝6m2(x－m)，代入点A(1,2)的坐标得2－2m3＝6m2(1－m)，即有2m3－3m2＋1＝0，即(m－1)2(2m＋1)＝0，解得m＝1或m＝－，即斜率为6或，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是y－2＝6(x－1)或y－2＝(x－1)，即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.故选A、C.
12．(2020·江南十校联考)函数f(x)＝(2x－1)ex的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为________．
解析：由f(x)＝(2x－1)ex，得f′(x)＝(2x＋1)ex，
∴f′(0)＝1，则切线的斜率k＝1，
又切线的倾斜角θ∈[0，π)，
因此切线的倾斜角θ＝.
答案：
13．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为________．
解析：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2x－y＋3＝0，即斜率是2，则 y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1，所以y0＝0，即点P(1,0)．又点P到直线2x－y＋3＝0的距离为＝，所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
答案：
14．已知函数f(x)＝，g(x)＝x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)都相切，则直线l的斜率为________．
解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，设曲线f(x)与l切于点，则切线斜率k＝－，故切线方程为y－＝－(x－x1)，即y＝－x＋.与g(x)＝x2联立，得x2＋x－＝0.因为直线l与曲线g(x)相切，所以2－4＝0，解得x1＝－，故斜率k＝－ ＝－4.
答案：－4
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.
又因为f′(x)＝a＋，
所以解得所以f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，所以切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
16．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
依题意⇒
又f′(0)＝－3，所以c＝－3，所以a＝1，
所以f(x)＝x3－3x.
(2)设切点为(x0，x－3x0)，
因为f′(x)＝3x2－3，所以f′(x0)＝3x－3，
所以切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，
又切线过点A(2，m)，
所以m－(x－3x0)＝(3x－3)(2－x0)，
所以m＝－2x＋6x－6.
令g(x)＝－2x3＋6x2－6，
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)，

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2，g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2，
画出g(x)的草图知，当－60)为它们的公切线，联立可得x2－kx－b＝0，由Δ＝0，得k2＋4b＝0　①.对y＝ex＋a求导可得y′＝ex＋a，令ex＋a＝k，可得x＝ln k－a，∴切点坐标为(ln k－a，kln k－ak＋b)，代入y＝ex＋a可得k＝kln k－ak＋b　②.联立①②可得k2＋4k＋4ak－4kln k＝0，化简得4＋4a＝4ln k－k.令g(k)＝4ln k－k，则g′(k)＝－1，令g′(k)＝0，得k＝4，令g′(k)>0，得0