中考数学二轮培优专题精讲 第13讲 反比例函数与面积 (含详解)

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第13讲 反比例与面积
模型讲解






【例题讲解】
例题1、如图，直线x=k（k>0）与反比例函数y=和y=-一的图像分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，连接PA、PB，则△PAB的面积是 .

答案：

例题2、如图，经过原点的两条直线l1、l2，分别与双曲线y=（k≠0）相交于A、B、P、Q四点，其中A、P两点在第一象限，设A点坐标为（3，1）.
（1）求k值及B点坐标；
（2）若P点坐标为（a，3），求a值及四边形APBQ的面积.

答案：(1)把A(3,1)代入y=得k=3×1=3，∵经过原点的直线l1与双曲线y=(k≠0)相交于A、B.∴点A与点B关于原点对称，∴B点坐标为(−3,−1)；
(2)把P(a,3)代入y=得3a=3，解得a=1，∵P点坐标为(1,3)，∵经过原点的直线l2与双曲线y= (k≠0)相交于P、Q点，∴点P与点Q关于原点对称，∴点Q的坐标为(−1,−3)，∵OA=OB，OP=OQ，∴四边形APBQ为平行四边形，∵AB2=(3+3)2+(1+1)2=40,PQ2=(1+1)2+(3+3)2=40，∴AB=PQ，∴四边形APBQ为矩形，∵PB2=(1+3)2+(3+1)2=32,PQ2=(3−1)2+(1−3)2=8，∴PB=,PQ=，∴四边形APBQ的面积=PA⋅PB=×=16.
例题3、如图，在△OAB中，C是AB的中点，反比例函数y=（k>0）在第一象限的图象经过A、C两点，若△OAB的面积为6，求k的值.（代数法与几何法均尝试用一下）

答案：分别过点A、点C作OB的垂线，垂足分别为点M、点N，如图，∵点C为AB的中点，∴CN为△AMB的中位线，∴MN=NB=a，CN=b，AM=2b，∵OM⋅AM=ON⋅CN，∴OM⋅2b=(OM+a)⋅b∴OM=a，∴S△AOB=3a⋅2b÷2=3ab=6，∴ab=2，∴k=a⋅2b=2ab=4，故答案为：4.

例题4、如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x>0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k= 。

答案:


例题5、如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB//CD，△ABD与△ACD的面积分别为20和30，若双曲线y=恰好经过BC的中点E，则k的值为 。

答案:6
例题6、如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A、B两点，与反比例函数y=的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE.有下列四个结论：①S△CEF=S△DEF；②△AOB相似于△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD.其中正确的结论是 .（把你认为正确结论的序号都填上）

答案：①②④
【巩固练习】
1、已知A是反比例函数y=的图象上的一点，AB⊥x轴于点B，且△ABC的面积是3，则k的值是 .


2、如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2= .


3、如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y=（k<0）的图象经过点C，则k的值为 。


4、正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，如图所示，则四边形ABCD的面积为 。




5、如图，己知函数y1=（x>0），y2=（x>0），点P为函数，y2=的图像上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别交函数y1=的图像于D、C两点，则△PCD的面积为 。


6、如图，反比例函数y=（x>0）的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为 。


7、如图，已知△ABO的顶点A和AB边的中点C都在双曲线y=（x>0）的一个分支上，点B在x轴上，CD⊥OB于D，若△AOC的面积为3，则k的值为 。


8、如图，A是反比例函数y=图像上一点，C是线段OA上一点，且OC：OA=1：3，作CD⊥x轴，垂足为点D，延长DC交反比例函数图像于点B，S△ABC=8，则k的值为 。


9、如图，点A、B在反比例函数y=的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，且△AOC的面积为9，则k的值为 。


10、如图，已知四边形ABCO的底边AO在x轴上，BC//AO，AB⊥AO，过点C的双曲线y=交OB于D，且OD:DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值 .


11、如图，两个反比例函数y=和y=-的图象分别是l1和l2，设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为 .

12、如图，已知反比例函数y1=与y2=（k1<0，k2>0），过y2图象上任意一点B分别作x轴、y轴的平行线交坐标轴于D、P两点，交y1的图象于A、C，直线AC交坐标轴于点M、N，则S△OMN= .（用含k1、k2的代数式表示）

13、如图，在x轴正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=...=An-1An（n为正整数），过点A1、A2、A3、…、An分别作x轴的垂线，与反比例函数y=（x>0）交于点P1、P2、P3、…、Pn，连接P1P2、P2P3、…、Pn-1Pn，过点P2、P3、…、Pn分别向P1A1、P2A2、…、Pn-1An-1作垂线段，构成的一系列直角三角形（见图中阴影部分）的面积和是 （用含n的代数式表示）

14、如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AD∥BC，△ACD与△BCD的面积分别为10和20，若双曲线y=恰好经过边AB的四等分点E（BE
15、如图，平行四边形ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-2，0），B（0，-4），顶点C，D在双曲线y=上，边AD交y轴于E点，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k= 。

16、如图，反比例函数y=（k>0）的图像与一次函数y=x的图像交于A、B两点（点A在第一象限）.
（1）当点A的横坐标为4时。
①求k的值；
②根据反比例函数的图像，直接写出当一4 （2）点C为y轴正半轴上一点，∠ACB=90°，且△ACB的面积为10，求k的值.






17、已知点P（a，b）是反比例函数y=（x<0）图象上的动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y=-（x<0）的图象于点A、B，交坐标轴于C、D。
（1）记△POD的面积为S1，△BOD的面积为S2，直接写出S1：S2= ；(求比值）
（2）请用含a的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；
（3）在点P运动过程中，连接AB，设△PAB的面积为S，则S是否变化？若不变，请求出S的值；若改变，请写出S关于a的函数关系式；










18、如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，d）、C（-3，2）。
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移a个单位，在第一象限内B、C两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图象上.请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G，作CM⊥x轴于M，P是线段B'C'上的一点，若△PMC'和△PBB'面积相等，求点P坐标.








19．已知，如图，双曲线y＝（x＞0）与直线EF交于点A，点B，且AE＝AB＝BF，连结AO，BO，它们分别与双曲线y＝（x＞0）交于点C，点D，则：
（1）AB与CD的位置关系是　　 ；
（2）四边形ABDC的面积为　　 ．








20.如图，己知直线y＝－x＋6交x轴于点A，交y轴于点B，交双曲线y＝于C、D两点.
（1）求证：AC＝BD；
（2）若△AOC、△COD、△BOD的面积为、、，满足＝·，求k的值.




21、已知，如图1，直线l与反比例函数y＝（k＞0）位于第一象限的图像相交于A、B两点，并与y轴、x轴分别交于E、F.
（1）试判断AE与BF的数量关系并说明理由.
（2）如图2，若将直线l绕点A顺时针旋转，使其与反比例函数y＝的另一支图像相交，设交点为B.试判断AE与BF的数量关系是否依然成立？请说明理由.
（图1） （ 图2）









22．已知：如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y＝相交于C、D两点，且点D的坐标为（1,6）．
（1）当点C的横坐标为2时，试求直线AB的解析式，并直接写出的值为　 　．
（2）如图2，当点A落在x 轴的负半轴时，过点C作x轴的垂线，垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．
①判断△EFC的面积和△EFD的面积是否相等，并说明理由；
②当＝2时，求tan∠OAB的值．
图1 图2




















参考答案
1. 答案：4
2. 答案：-6
3. 答案：2
4. 答案：
5. 答案：3
6. 答案：4
7. 答案：9
8. 答案：6
9. 答案：
10. 答案：
11. 答案：
12. 答案：
13. 答案：2.5
14. 答案：48

15. 答案：(1)①将x=4代入y=x得，y=3，∴点A(4,3)，∵反比例函数y=(k>0)的图象与一次函数y=x的图象交于A点，∴3=，∴k=12；
②∵x=−4时,y=−3,x=1时,y=12，∴由反比例函数的性质可知,当−412；
(2)设点A为(a, a)，则OA=，∵点C为y轴正半轴上一点,∠ACB=90°，且△ACB的面积为10，∴OA=OB=OC=，∴S△ACB=12××2a=10，解得,a=，∴点A为(,)，∴=，解得，k=6，即k的值是6.

16. 答案：(1)∵P(a,b)是反比例函数y= (x<0)图象上的动点，∵P(a, )，∴S1=⋅(−a)⋅( )=3，∵B(a, )，∴S2=⋅(−a)⋅( )=1，∴S1:S2=3:1=3.故答案为：3.
(2)∵P(a,b)是反比例函数y= (x<0)图象上的动点，∵P(a, )，∵点B在反比例函数y= (x<0)上且横坐标为a，∴B(a, )，∵点A在反比例函数y= (x<0)上且纵坐标为，∴A(,)，
(3)不变化。∵P(a, ),B(a, ),A(, ),PA∥x轴,PB∥y轴，∴S=|AP|⋅|BP|=×(−a)[( )−()]=.


17. 答案： (1)作CN⊥x轴于点N.在Rt△CNA和Rt△AOB中，NC=OA，AC=AB，∴Rt△CNA≌Rt△AOB(HL)，则BO=AN=3−2=1，∴d=1；
(2)设反比例函数为y=,点C′和B′在该比例函数图象上， 设C′(a,2),则B′(a+3,1) 把点C′和B′的坐标分别代入y=，得k=2a；k=a+3，∴2a=a+3，a=3，则k=6,反比例函数解析式为y=. 得点C′(3,2);B′(6,1)；
设直线C′B′的解析式为y=ax+b,把C′、B′两点坐标代入得3a+b=2，6a+b=1，解得：a=，b=3；∴直线C′B′的解析式为：y=x+3；
(3)连结BB′∵B(0,1),B′(6,1)，∴BB′∥x轴，设P(m, m+3),作PQ⊥C′M,PH⊥BB′，∴S△PC′M=×PQ×C′M=×(m−3)×2=m−3，S△PBB’=×PH×BB′=×(m+3−1)×6=−m+6，∴m−3=−m+6，∴m=∴P(,).



18. 【解析】（1）AB∥CD；（2）.
（1）如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，过点B作BN⊥x轴于点N，
∴AM∥DH∥BN∥y轴，
设点A的坐标为：（m，），
∵AE＝AB＝BF，
∴OM＝MN＝NF，
∴点B的坐标为：（2m，），
∴＝＋－＝2＋×（＋）×（2m－m）－2＝3，
∵DH∥BN，
∴△ODH∽△OBN，
∴＝＝，
∵DH·OH＝2，BN·ON＝4，，
∴（）2＝＝，
同理：（）2＝，
∴＝，
∴AB∥CD
故答案为：AB∥CD ；
（2）∵＝，∠COD＝∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．


19. 【解析】（1）过点D作DM⊥OB于点M，过点C作CN⊥OA于点N ,连接OD，OC，DN，CM.
∵k＞0，
∴＝＝，＝＝，
∴＝
∴点D到MN的距离等于点C到MN的距离，MN在CD的同侧.
∴MN∥CD.
∴四边形DMNA是平行四边形，四边形BMNC是平行四边形，
∴DM＝AN，BM＝CN，
∴BD＝AC.

（2）过点O作OE⊥AB交AB于点E，过点C作CF⊥OA交OA于点F.
∵＝·，
∴（CD·OE）2＝BD·OE·AC·OE，
∴CD2＝BD·AC.
∵BD＝AC
∴CD2＝AC2＝BD2
∴CD＝AC＝BD
∴C为AC的三等分点，
∵CF∥OB
∴＝
∵y＝－x＋6
∴A（4，0），（0，6）
∴＝
∴CF＝2
∵＝
∴＝
∴OF＝
∴C（，2）
∵y＝（k≠0）
∴2＝
∴k＝.


20. 【解析】（1）AE＝BF，
理由如下：作AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，连接MN、OA、OB、BM、AN，
∵AM∥x轴，
∴＝＝，
同理，＝＝，
∴＝，
即A、B两点到MN的距离相等，且A、B位于MN同侧，故AB∥MN，
∴四边形AMNF与BNME均为平行四边形，
∴AM＝FN，EM＝BN．
又∵∠AME＝∠BNF＝90°，
在△EMA与△BNF中，
，
∴△EMA≌△BNF，
∴AE＝BF；
（2）结论依然成立，AE＝BF，
理由：作AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，连接MN、OA、OB、BM、AN，
∵AM∥x轴，
∴＝＝，
同理，＝＝，
∴＝，
即A、B两点到MN的距离相等，且A、B位于MN同侧，故AB∥MN，
∴四边形AMNF与BNME均为平行四边形，
∴AM＝FN，EM＝BN．
又∵∠AME＝∠BNF＝90°，
在△EMA与△BNF中，
，
∴△EMA≌△BNF，
∴AE＝BF．



21. 【解析】（1）∵（1,6）在y＝上，
∴m＝6，即双曲线解析式是y＝，
当C点横坐标为2时，纵坐标为3，
∴C（2,3）．
直线AB过点C（2,3），D（1,6），得，k＝－3，b＝9，
故直线AB的解析式为y＝－3x＋9；的值为；

（2）①设C（a，b），则ab＝6，
∵ ＝（－a）（－b）＝ab＝3，而＝×1×6＝3，
∴＝；
②∵＝，且两三角形同底，
∴两三角形的高相同，
∴EF∥CD，
∵DF∥AE，BF∥CE，
∴四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形，
∴CE＝BF，∠FDB＝∠EAC，
在△DFB与△AEC中，
∵
∴△DFB≌△AEC（ASA），
∴AC＝BD，
∵＝2，设CD＝2k，AB＝k，DB＝，
∴＝，
∵∠DFB＝∠AOB，∠DBF＝∠ABO，
∴△DFB∽△AOB，
∴OA＝2，且＝，
∴OB＝4，
∴tan∠OAB＝＝2．