中考数学二轮培优专题精讲 第18讲 圆与相似 (含详解)

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第18讲 圆与相似模型讲解【例题讲解】例题1 如图，为⊙O的直径， C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长.【解析】如图，连接BD、CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴BD＝＝＝，∵弦AD平分∠BAC，∴CD＝BD＝，∴∠CBD＝∠DAB，在△ABD和△BED中，∴△ABD∽△BED，∴＝，即＝解得DE＝．∴AE＝AD－DE＝5－＝.例题2 如图，在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，过点B作BG⊥AC交⊙O于点E、H，连AD、ED、EC．若BD＝8，DC＝6，求CE的长．【解析】∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵BG⊥AC，∴∠BGC＝∠ADC＝90°，∵∠BCD＝∠ACD,∴△ADC∽△BGC，∴＝，∴CG·AC＝DC·BC＝6×14＝84，连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠EGC＝90°，∵∠ACE＝∠ECG，∴△CEG∽△CAE，∴＝，∴CE²＝CG·AC＝84，∴CE＝． 【巩固练习】1.如图，已知D为等腰三角形ABC的底边BC上的任意一点，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E，连接BE、CE，则图中相似三角形共有    A．8对   B．6对   C．4对   D．2对2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D，E是OB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G．若AC＝，则AG·AF＝               . 3、如图，已知半圆的直径AB＝10，点C在半圆上，CB＝6，O为AB的中点，OD⊥AB交AC于点D，则OD＝            .4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E，若BC＝，CD＝，则＝     ．5、如图，已知△ABC内接于⊙0，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点，如果BD∥CF，BC＝2，则CD＝               .（第5题）             （第6题）               （第7题）6、如图，已知⊙0的半径为4，AB＝6，锐角△ABC内接于⊙0，BD⊥AC于点D，OE⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于              . 7、如图，AD是圆内接△ABC的高，AE是OO的直径，AB＝，AC＝，则AE·AD＝               .  8、如图，△ABC是⊙0的内接三角形，AB＝AC，BD平分∠ABC交⊙0于点D，连接AD、CD.作AE⊥BD于点E，若AE＝3，DE＝1，则△ACD的面积是             .    9、如图：M、N分别为直角坐标系x、y正半轴上两点，过M、N和原点0三点的圆和直线y＝x交于点P，（1）试判断△PMN的形状；（2）连接MN，设直线y＝x交MN于点G，若PG:PN＝3：4，△PGN的周长为6，求△PON的周长.         10、如图，PB为⊙O0的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC、AF。（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值和线段PE的长.             11、如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C.（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；①求tan∠CFE的值；②若AC＝3，BC＝4，求CE的长.         12、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K.（1）求证：KE＝GE；（2）若KG2＝KDGE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE＝，AK＝2，求FG的长.
参考答案1.答案：B.2.答案：8.3.答案：.4.答案：.【解析】由D是劣弧的中点，得，又∵∠ADB＝∠EDA，∴△ABD∽△EAD，∴＝，∴AD²＝DE·DB；由D是劣弧的中点，得AD＝DC，则DC²＝DE·DB，∵CB是直径，∴△BCD是直角三角形．∴BD＝＝＝由DC²＝DE·DB得，＝DE，解得DE＝． 5.答案：.6.答案：.7.答案：3.8.答案：.9.答案：（1）解：△PMN是等腰直角三角形，理由：∵y＝x，∴∠PON＝∠FOM＝45°.∴PN＝PM.∴四边形ONPM内接于圆，∴∠MON＋∠NPM＝180°.∴∠MON＝90°，∴∠NPM＝90°.即△PMN是等腰直角三角形。（2）△PMN是等腰直角三角形，∴∠PMN＝∠PNM∵∠OPN＝∠OPN，∴△PNG∽APON.△PNG的周长：△PON的周长＝PG:PN＝3：4.∴△PNG的周长＝6，∴△PON的周长＝8. 10.答案：（1）如图所示，连接0B，因为PB是⊙O切线，所以∠PBO＝90°，因为0A＝0B，BA⊥PO于D，所以AD＝BD，∠P0A＝∠P0B，所以在△PA0和△PB0中，OA＝OB,∠P0A＝∠P0B，PO＝PO，△PAO≌△PBO（SAS），所以∠PAO＝∠PBO＝90°，所以OA⊥PA，直线PA为⊙O切线。（2）EF2＝4ODOP。因为∠PAO＝∠PDA＝90°，所以∠OPA＋∠AOP＝90°，且∠OAD＋∠AOD＝90°，则∠OAD＝∠OPA，因为∠AOD＝∠POA，所以△OAD∽△OPA，所以，即OA2＝ODOP，又因为EF＝2OA，所以EF2＝4ODOP.（3）因为OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，由三角形中位线定理可知，0D＝BC＝3，设AD＝x，因为tan∠F＝，所以FD＝2x，0A＝OF＝2x－3，在Rt△AOD中，由勾股定理得（2x－3）2＝x2＋3，解得x1＝4或x2＝0（舍去），所以AD＝4，OA＝2x－3＝5，因为AC是⊙O直径，所以∠ABC＝90°，又因为AC＝2OA＝10，BC＝6，所以cos∠ACB＝，因为OA2＝ODOP，所以3（PE＋5）＝25，所以PE＝. 11.答案：（1）证明：如图1中，连接OC.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵CD是⊙O切线，∴.OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠DCA＋∠OCA＝90°，∵AB是直径，∴∠CAB＋∠B＝90°，∴∠ACD ＝∠B.(2) 在RT△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，由勾股定理得AB＝5，∵∠CDA＝∠BDC，∠DCA＝∠B，∴△DCA∽△DBC，∴，设DC＝3k，DB＝4K,∵CD2＝DA·DB，∴9k2＝（4k－5）4k，∴k＝,∴CD＝,DB＝∵∠CDE＝∠BDF，∠DCE＝∠B，∴△DCE∽△DBF，∴,设EC＝CF＝x,∴ ,∴x＝,∴CE＝. 12.答案：（1）由∠KGE＝∠AKH＝∠GKE可证KE＝GE（2）由△GKD∽△EGK可证得KG 2＝KDGE（3）FG＝.